數學代數學習中數形結合思想的運用

摘要：本文從“數系研究”、“函數研究”兩個方面出發，提出了對于數形結合思想中研究環境的對應唯一性及其可替代性的具體論證。并且對初中數形結合思想教學中一些特征題型進行分類，本文分為“定義類”、“代數轉化圖像類”、“圖像轉化代數類”三類進行論述。最后對于初中數學的數形結合思想教育對于學生數學思維培養的作用進行了闡述。

關鍵詞：數形結合；研究環境；例題類型

中圖分類號：G632 文獻標識碼：B 文章編號：1002-7661（2013）14-231-01

在數學的學習中，“數形結合的思想”作為一種數學研究的重要方法，在教育教學的過程中，應該予以著重強調。在數學學習的初級階段，應該讓學生擁有這種思考問題的意識，在解決實際數學問題中能夠有意識應用這種研究方法，使一些復雜的代數問題變得簡單，使一些抽象的代數問題變得更加直觀。作為教師，在課堂中，講解比較抽象的代數概念時，也應該有意識的應用“數形結合的思想”進行講解。因此，在實際應用過程中讓學生領悟到“數形結合思想”的真正意義所在和使用方法，以至于可以讓學生在日常解決問題時使用“數形結合法”時能夠融會貫通。

一、對于數形結合法研究環境的探索

在研究“數形結合思想”時，我們必須要首先引入研究的環境。在研究“數系”時，我們引入“數軸”的概念；在研究“函數”時，我們引入“平面直角坐標系”的概念。注意在教育教學過程中，我們必須向學生強調引入全新研究環境的概念，對于“數形結合法”的實踐的重要作用——為了讓所研究的代數符號，在空間中有具體且唯一的圖形概念與之對應。

這就是我們要說的“數軸”與“平面直角坐標系”，下面我分別具體列述它們的意義：“數軸”作為引入“負數”概念的重要理解方法，在浙教版數學教材七年級上冊中有具體的涉及。數軸作為一條具有“正方向”、“單位長度”、“原點”三要素的一條特殊的直線，能夠清楚的表達數系內的一切有理數。任何代數形式的圖像化，具有一個通性，即“代數形式與圖形，在相同的研究環境下，有且唯一”，這一通性使數學研究保持其嚴密性、客觀性。而保持這種通性的方法只有完善研究環境。

在有理數系研究中，我們利用數軸作為研究環境。其中“正方向”確定了一組數的大小情況；“原點”，確定了整個數軸在整個有理數系中的相對位置；“單位長度”均分數軸，以此確定每一個數的具體位置。由此，我們可以保證每一個數在數軸中的表示“有且唯一”。且圖形統一為落在數軸上的各個點。這種表示方法，滿足“代數形式與圖形轉換”時的“通性”，保證了通過數軸研究有理數系的嚴密性、客觀性。在有關數軸的研究中，我們通常不研究在數軸中的單一的、孤立的數據，通常是一組有限個或者是無限個數據。在研究有限多個數據或無限多個數據時，利用數軸的研究方法具有其優越性。數軸可以利用一串有限多個或無限多個的點、又或是一段線段來直觀地表示具有某一特定性質，如在某一特定區間中的數。這種研究方法在集合的運算及不等式運算中應用得相當普遍。

作為研究環境，在滿足“數形結合”環境的通性，即“代數形式與圖像圖形有且唯一的對應”的情況下應該具有其應有的“可替代性”。在代數研究需要的情況下，我們可以重新定義坐標的圖形意義。在高中數學中，平面直角坐標系與極坐標系可以發生合理的轉換。對于極坐標方程 有特定的平面直角坐標系方程 與之對應。在“原點與極點重合”、“單位長度相等”的情況下，保證兩種代數表達法所對應的圖像完全重合。表面上是代數形式的種類出現了變化，實際上是研究環境出現了變化，使圖像所對應的代數形式更加簡便，方便精確的研究。一般的二維平面直角坐標系只能夠解決一般的平面圖形，對于立體圖形我們利用三維空間直角坐標系來進行數形結合。將在空間直角坐標系中的各個點進行代數化，轉變成 的三維坐標形式，進行代數形式計算。因此具體的圖形計算，在研究環境的幫助下全部可實現代數化。

二、數形結合題型的范例式分類

在利用到“數形結合思想”的題目中，也可以大體的分為幾個類型，“定義類”、“代數轉化圖像類”、“圖像轉化代數類”。在實際教育教學過程中，應該讓學生主觀的建立題型的整理能力。在“數形結合法”適用的題型中，我們也應該注意類型的區別，這樣在實際的應用中才能夠準確地答題。

1、定義類

例如：利用了絕對值的定義，將比較抽象的代數形式，通過基本的定義轉化成了比較直觀的圖形，即線段長度的比較，充分的體現出了“數形結合”的優越性。在教育教學的過程中，我們在引入負數和絕對值概念時，對于數軸的概念必須著重強調。數軸是研究實數系的重要工具，使實數系中的各個數在數軸上有與之唯一對應的圖像表示，是數系問題利用“數形結合法”的橋梁。在高中數學，集合的學習中，對于一般形式的集合，我們可以通過韋恩圖來數形結合表示集合的相關運算。這種求公共部分的方法，屬于求公共部分的原形，是學生理解“數形結合”理念中，圖像的交集與代數式形式的交集的第一步。

2、代數轉化圖像類

例如：在函數的計算中，關鍵的點坐標是必須抓住的。這是提供學生正確的函數解析式的第一步。而這些點的獲取一般我們可以通過研究函數解析式的方法得到，如“連列解析式求交點”等，但是這種一般的方法對于代數計算量的要求往往是極大的。在這種情況下，往往可以從“數形結合法”得到突破。學生們可以暫時脫離函數的大框架，對于關鍵點進行幾何的定位，求得一些邊長來作為關鍵點的橫縱坐標，再聯系函數解析式輕松解得關鍵點的坐標。

3、圖像轉化代數類

例如：在實際的解題過程中，我們可以將復雜的幾何問題，通過設定適當的研究環境（建系），來求的具體的數值。

在一般的幾何知識是不可能求得的情況下，我們不得不聯系函數知識進行求解。首先一步我們必須設定合適的研究環境，即建立合適的“平面直角坐標系”。這一步驟的意義是讓具體的函數圖像在在這個研究環境下具有其代數意義，可以在這個直角坐標系的定義下列出其方便求解未知量的函數解析式。由于研究環境具有其可替代性，因此建系的不同不會影響到求解結果。建立一個適合與自己求解未知量的坐標系，是學生應該掌握的一項本領。應該由自己在平時的題目訓練中總結得出，教師可以對一些一般的圖形情況作適當講解。