基于DAMDF的彈道導(dǎo)彈進動周期提取

趙振沖，王曉丹，宋亞飛，雷 蕾

(空軍工程大學(xué)防空反導(dǎo)學(xué)院， 西安710051)

0 引言

相比于碎片和誘餌，具有姿態(tài)控制的彈頭在飛行過程中由于受到干擾而產(chǎn)生的進動是其特有的特性。因此，進動參數(shù)的提取是區(qū)分真假彈頭和誘餌、碎片的關(guān)鍵［1-8］。

現(xiàn)有的基于平均幅度差函數(shù)(Average Magnitude Difference Function，AMDF)和自相關(guān)函數(shù)(Autocorrelation Function，AUTOC)的導(dǎo)彈進動周期提取方法，如:AUTOC/AMDF［9］、循環(huán) AUTOC(Circular AUTOC)、循環(huán) AMDF(Circular AMDF)和 CAUTOC/CAMDF［10］，主要存在兩個方面的問題:(1)由于AMDF和AUTOC的處理結(jié)果和原數(shù)據(jù)具有相同的周期，每種方法的處理結(jié)果都包含多個分頻和倍頻峰值，而且當(dāng)信噪比較低時，由于噪聲的影響會出現(xiàn)更多的虛假峰值，因此在提取周期時都會出現(xiàn)分頻和倍頻錯誤。(2)隨著計算步長的增加，函數(shù)幅值會出現(xiàn)明顯的衰減，使得周期提取變得更加困難。文獻［11-12］分別提出了方差分析法和時頻分析法，仍會出現(xiàn)分頻和倍頻錯誤。

基于以上分析，本文提出一種基于修正的雙重AMDF算法的周期估計方法(Double AMDF，DAMDF)。由于利用AMDF和AUTOC函數(shù)處理的結(jié)果具有和原數(shù)據(jù)相同的周期性，并且其平均幅值隨步長增加而衰減，因此對處理結(jié)果利用AMDF進行周期再提取時，二次處理結(jié)果在第一周期處的極值顯著性要明顯強于在各分頻處的極值顯著性。為了進一步增強這種效果，對二次處理的AMDF函數(shù)進行了歸一化修正，使處理后的結(jié)果只在第一周期處有一個比較顯著的峰值。該方法不但克服了分頻的影響，而且能夠有效抑制噪聲和倍頻帶來的干擾。實驗表明，該方法在信噪比低、目標(biāo)平動的情況下仍能準確估計出進動周期。

1 基于AMDF和AUTOC的進動周期估計

AMDF和AUTOC是提取序列周期常用的兩種方法。設(shè)彈頭窄帶雷達回波序列為X(n)，n=1，2，…，N，則平均幅度差函數(shù)可表示為

從P(k)中提取周期有兩種常用方法:

1)在最值處提取周期。估計函數(shù)可設(shè)為

式中:kmin、kmax是預(yù)先設(shè)定的最大、最小步長。則有T=Δk/fs，其中fs為樣本采樣頻率。該方法的優(yōu)點是計算簡單，但缺點也很明顯。假設(shè)目標(biāo)的進動周期為T0，則在 k=nT0，n∈N*，函數(shù)同樣會出現(xiàn)谷值，并且由于目標(biāo)的雷達回波不可避免地將受到噪聲的干擾，因此在實際的計算過程中會出現(xiàn)分頻或倍頻誤差。并且隨著k值的增加，求和項逐漸減少，函數(shù)會出現(xiàn)多個谷值。仿真實驗表明，該方法的誤判率隨著信噪比(SNR)的降低而迅速提高。

2)依據(jù)AMDF和X(n)具有相同周期的特點，以兩個極值的間隔作為周期。即Δk=kmin2-kmin1，其中kmin1、kmin2分別是函數(shù)(1)取極值時對應(yīng)的步長，則有T=Δk/fs。該方法的性能同樣會受到噪聲造成的虛假峰值的嚴重影響。

自相關(guān)函數(shù)是另外一種計算序列周期的有效方法。函數(shù)可表示為

基于該函數(shù)的周期估計同樣有兩種常用方法。一種設(shè)周期估計函數(shù)為

另外一種Δk=kmax2-kmax1，則有T=Δk/fs。該方法同樣存在和AMDF一樣的不足。

由函數(shù)特性可知，AUTOC表征的是X(i)與延時為k的信號X(i+k)之間的相似程度，其峰值顯著性容易受到數(shù)據(jù)平均幅值變化的影響;AMDF計算的是信號X(i)與延時為k的信號X(i+k)之間的幅度差，其谷值的顯著性對噪聲的影響比較敏感。仿真結(jié)果表明:在SNR比較高的情況下，AMDF的估計精度較AUTOC更為精確，AUTOC對回波數(shù)據(jù)的平均幅值的變化比較敏感，如圖1所示，而實際中雷達回波的平均幅度由于導(dǎo)彈的平動作用而不斷變化。但是在SNR較低(小于5 dB)且不考慮平動或平動較小的情況下，AMDF幾乎失效，而AUTOC仍能保持一定的準確性，如圖2所示。

為了增強兩種函數(shù)在峰值和谷值處的大小，文獻［9］采用AUTOC和AMDF的倒數(shù)相乘的辦法，即

圖1 不加噪聲對平均幅值斜率-0.2數(shù)據(jù)的計算結(jié)果

圖2 低SNR時計算結(jié)果

在此基礎(chǔ)上，為了減少由于k的增加、求和項減少而造成的函數(shù)值的衰減，文獻［10］采用循環(huán)平均幅度差函數(shù)(CAMDF)的倒數(shù)和循環(huán)自相關(guān)函數(shù)(CAUTOC)相乘的方法，即

這兩種方法雖然能在一定程度上加強峰值的顯著性，但是同樣存在虛假峰值(如圖3、圖4所示，T=2 s，f=10 Hz)和函數(shù)幅值隨著步長的增加而衰減的現(xiàn)象。在低SNR情況下，這些不足依然會導(dǎo)致較高的分頻和倍頻錯誤。

圖3 AUTOC/AMDF仿真結(jié)果

綜上分析，利用AMDF和AUTOC提取進動周期的關(guān)鍵就在于如何從處理結(jié)果的眾多虛假峰值中提取出準確的峰值。解決的最好辦法就是只保留第一個周期處的極值，設(shè)法消掉其他極值，特別是由于分頻而引起的極值，這樣就能更加準確地提取出進動周期。

圖4 CAUTOC/CAMDF仿真結(jié)果

2 基于DAMDF的進動周期提取算法

由函數(shù)性質(zhì)可知，周期序列X(n)用AMDF和AUTOC的處理結(jié)果P(k)和D(k)與原數(shù)據(jù)具有相同的周期性，并且函數(shù)幅值由于步長的增加而逐漸衰減。因此，P(k)和D(k)單個周期的顯著性要明顯大于多個周期的顯著性，可用AMDF對其進行二次處理，削弱其在第一周期處極值外的其他極值，使對周期峰值的檢測更加準確和方便。

設(shè)函數(shù)f(x)是周期為T0的實函數(shù)，a為大于零的實數(shù)，稱為衰減因子，則稱函數(shù)

為周期衰減函數(shù)。以f(x)=sin(2πx)，a=0.1為例，其函數(shù)曲線如圖5所示。

圖5g(x)函數(shù)曲線

對g(x)利用平均幅度差函數(shù)提取周期，并將函數(shù)除以求和項數(shù)進行歸一化修正，即

式中:fs為采樣頻率。令Δfk(i/fs)=f(i/fs)-f((i+k)/fs)，則P'(k)可表示為

由AMDF的函數(shù)性質(zhì)可知，P'(k)將在k=nT0fs(n∈N*)處有極小值，設(shè)其為mink，則有

由此可見，第一個極小值要比第n個極小值小n倍。第一個周期處極值比較顯著，其他極值以aT0的速度迅速增強。

影響P'(k)幅值的因素主要有兩個:

1)受步長k的影響。當(dāng)k比較小時，P'(k)受Δfk(i)的周期性的影響比較顯著，這時隨著k的變化極值表現(xiàn)比較明顯。當(dāng)k較大時，極值嚴重衰減，Δfk(i)的變化對P'(k)的影響可以忽略，此時P'(k)主要受ak的影響，近似成線性遞增。對圖5所示函數(shù)利用式(8)進行計算并求倒數(shù)得到的結(jié)果如圖6所示。

圖6 對g(x)=sin(2πx)-0.2x求1/AMDF

2)受衰減因子a的影響。設(shè)周期函數(shù)f(x)的幅度為b，則稱S=|a/b|為g(x)的顯著系數(shù)。當(dāng)S較小時，衰減因子a相對較小，由式(10)可知，此時各極值的遞增速度較慢，但是對結(jié)果求倒數(shù)后各峰值以1/aT0的速度迅速衰減，第一周期處極值的顯著性不受影響。當(dāng)S較大時，衰減因子a相對較大，此時函數(shù)迅速衰減，g(x)的周期特性被衰減特性覆蓋，利用式(8)進行處理時幾乎不會有極值出現(xiàn)。仿真實驗表明，當(dāng)S＜1時，第一周期處極值的顯著性比較明顯。當(dāng)S＞1時，處理結(jié)果幾乎不存在峰值特性。圖7給出了當(dāng)S取不同值時，對g(x)=sin(2 πx)-ax利用P'(k)處理并求倒數(shù)后的結(jié)果。

圖7 不同S下P'(k)的圖像

由式(1)、式(3)可知，由于分頻作用，P(k)和D(k)呈現(xiàn)出和雷達回波序列X(n)相同的周期性，在k=nT0，n∈N*處函數(shù)將出現(xiàn)極值。并且隨著k值的增加，求和項逐漸減少，P(k)和D(k)的平均幅值將出現(xiàn)近似線性的衰減，由于k的變化范圍很大，使得這種衰減的衰減因子相對其平均幅值很小，S遠小于1。

基于以上分析，對雷達回波數(shù)據(jù)X(n)利用AMDF和AUTOC進行預(yù)處理后的序列P(k)和D(k)滿足式(7)的形式，因此可以利用式(8)進行二次處理，削弱除第一極值之外的其他極值。同時，為了進一步增強第一極值的顯著性，將二次處理后的DP'(k)和PP'(k)相乘后取倒數(shù)。仿真實驗表明SNR較低時，DP'(k)仍有比較明顯的峰值特征，而P(k)的周期特征很弱，PP'(k)主要受ak的影響，導(dǎo)致其幾乎呈線性遞增(如圖8所示)，但是這反而會加強DP'(k)第一極值的顯著性，從而大大提高低SNR時周期提取的準確性和穩(wěn)定性。這樣不僅能利用在高信噪比情況下AMDF的精確性，同樣可以利用信噪比較低時AUTOC的穩(wěn)定性。

圖8 SNR=2 dB時AMDF-AMDF和AUTOC-AMDF的計算結(jié)果

利用DAMDF進行進動周期提取的步驟可歸納如下:

步驟1:分別利用AMDF和AUTOC對雷達回波序列X(n)進行預(yù)處理，得到P(k)和D(k)。

步驟2:對P(k)和D(k)利用式(7)進行二次處理，得到PP'(k)和DP'(k)。

步驟3:把DP'(k)和PP'(k)相乘，得到函數(shù)φ(k)=DP'(k)·PP'(k)。

步驟4:對φ(k)求倒數(shù)，取 φ(k')=φmax(k')時的km=k'，則 T=km/fs。

3 仿真實驗與分析

設(shè)目標(biāo)為平底錐，高h=1.6 m，底面半徑R=0.3 m，利用FEKO軟件測得目標(biāo)全姿態(tài)角下窄帶雷達回波序列W(n)，當(dāng)目標(biāo)受到第一節(jié)描述的情景時將產(chǎn)生進動，設(shè)進動周期T=2 s，進動角θ=10°，對彈道導(dǎo)彈軌道進行建模，設(shè)定采樣頻率為10 Hz，利用仿真出的實時姿態(tài)角提取39.7 s的動態(tài)回波X(n)，如圖9所示。

圖9 雷達動態(tài)回波序列

分別利用 AUTOC/AMDF、CAUTOC/CAMDF，時頻分析法和DAMDF在SNR=20 dB和SNR=2 dB時的仿真結(jié)果，如圖10所示。

圖10 SNR=20 dB時四種方法的比較

從圖10，圖11中可以看出，DAMDF幾乎消除了除第一峰值之外的其他峰值。

圖11 SNR=2 dB時四種方法的比較

每次方法重復(fù)試驗50次，三種方法利用式(4)進行周期提取的情況下，受不同信噪比影響的正確率，如圖12所示。

圖12 不同SNR情況下各方法性能對比

仿真實驗表明:DAMDF不僅使周期提取變得更加容易，而且通過對原有數(shù)據(jù)的兩次處理，使其具有了比其他幾種方法更好的抗噪性。

4 結(jié)束語

本文對傳統(tǒng)周期提取方法進行了分析，針對其存在的分頻和倍頻現(xiàn)象，以及由于步長增長造成的平均幅值的衰減特性，提出了一種基于雙重AMDF函數(shù)的周期提取方法DAMDF。該方法首先對回波數(shù)據(jù)利用AMDF和AUTOC進行預(yù)處理，然后利用其衰減特性和改進的AMDF進行二次處理，使處理后的結(jié)果只有一個比較明顯的峰值。實驗表明，在信噪比比較低的情況下，該方法的處理結(jié)果仍能保持很好的峰值效果，證明了該方法具有很好的抗噪性和穩(wěn)定性。

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