采樣定理的分析及應(yīng)用初探

【摘 要】本文分析采樣定理的過(guò)程及應(yīng)用，并對(duì)采樣后丟失的信息將如何恢復(fù)作了初步的探討。

【關(guān)鍵詞】Shan 函數(shù)；采樣；內(nèi)插；采樣定理

0 引言

模擬信號(hào)的數(shù)字化處理中，首先要對(duì)信號(hào)進(jìn)行模數(shù)轉(zhuǎn)換。但在模數(shù)轉(zhuǎn)換過(guò)程中的“采樣定理”在一些教科書(shū)中只是給出了結(jié)論，沒(méi)有詳細(xì)的推導(dǎo)過(guò)程。要想更深層次地掌握采樣定理，透徹了解信號(hào)的采樣和重建過(guò)程，我們必須掌握它的數(shù)學(xué)推導(dǎo)過(guò)程。本文從數(shù)學(xué)過(guò)程上推導(dǎo)采樣定理，并對(duì)采樣定理在實(shí)際中的應(yīng)用作了簡(jiǎn)單的說(shuō)明。

1 采樣的插值

數(shù)字采樣一定會(huì)某些程度上會(huì)造成信息丟失，對(duì)連續(xù)函數(shù)進(jìn)行采樣后，可以用內(nèi)插進(jìn)行恢復(fù)。

1.1 Shan函數(shù)

在定量的討論采樣的影響前，我們必須建立一種數(shù)學(xué)手段來(lái)對(duì)采樣過(guò)程建模。為了做到這一點(diǎn)，我們使用一個(gè)特殊函數(shù)叫Shan函數(shù)。

Shan函數(shù)即為無(wú)限沖激串（序列）Ⅲ（X），其定義為：

Ⅲ（X）=■δ（x-n）（1）

圖1 頻帶受限函數(shù)

Ⅲ（X）是一個(gè)沿X軸相隔單位間距出現(xiàn)的單位幅值序列。其傅立葉變換為本身，即：

F{Ⅲ（X）}=Ⅲ（S）

1.2 使用Shan函數(shù)采樣

假設(shè)函數(shù)f（x）的帶寬為So，即：

F（s）=0 |S|≥S0（2）

如圖1，如果我們以等間距對(duì)f（x）采樣，則僅在x=nτ處取f（x）的值，在其他地方f（x）被破壞了。我們將取樣過(guò)程模型化為簡(jiǎn)單的用Ⅲ（x/τ）乘以函數(shù)f（x）而得到采樣的函`g（x）。這個(gè)過(guò)程將采樣點(diǎn)之間的函數(shù)值設(shè)為0，而在采樣點(diǎn)的沖激強(qiáng)度保存的函數(shù)的值。采樣后的函數(shù)如圖2所示。

1.3 采樣定理

因?yàn)楹瘮?shù)f（x）已被采樣，采樣點(diǎn)間的信息可能丟失，如果從G（s）得到F（s）即可從g（x）中獲得f（x）。要做到這一點(diǎn)，除了保留中心處于原點(diǎn)的那一個(gè)外，只需消除F（s）所有的復(fù)制品。做到這一點(diǎn)用Ⅲ（s/2s1）去乘G（s）。

其中：s0≤s1≤■-s0（3）

那么：

G（s）·Ⅲ（s/2s1）=F（s）（4）

圖2 采樣后的函數(shù)

即我們以從采樣后的信號(hào)g（x）的頻譜恢復(fù)了原先f(wàn)（x）的頻譜，最初的函數(shù)：

f（x）=F-1{G（s）·Ⅲ（s/2s1）}（5）

對(duì)（5）式右端用卷積定理可得：

f（x）=g（x）·2s1■（6）

只需用采樣后的函數(shù)與一個(gè)形式為sin（x）=sin（x）/x的內(nèi)插函數(shù)做卷積即可。f（x）的頻譜必須受限于s0，采樣間隔τ和帶寬s0必須滿足等式（3），采樣定理已表明一個(gè)間隔t采樣的函數(shù)可以被完全地采樣數(shù)據(jù)恢復(fù)，只要：

τ≤1/2s0（7）

其中：s0是函數(shù)的截止頻率。

圖3 余弦函數(shù)及其頻譜

1.3.1 采樣定理舉例

假定函數(shù)為：

f（t）=2cos（2πf0t）（8）

其頻譜為：

F（s）=δ（s+f0）+δ（s-f0）（9）

如圖3，再假定以相等間隔△t對(duì)f（t）采樣，f（t）的周期是1/f。

g（t）=f（t）■Ⅲ（■）

圖4 采樣余弦函數(shù)，情形一

情形一，過(guò)采樣。假定：

△t=■（■）（10）

表明折回頻率：

fN=■=2f■（11）

并且我們?cè)趂（t）的每個(gè)周期對(duì)四點(diǎn)采樣，圖4表示采樣后函數(shù)及頻譜。因?yàn)镕（s）在高于f之后沒(méi)有能量，f（t）可以根據(jù)采樣點(diǎn)完全恢復(fù)。

圖 5 采樣余弦函數(shù)，情形二

圖 6 采樣余弦函數(shù)，情形三

情形二，臨界采樣。假設(shè)：△t=■（■）

表明折回頻率：

fN=f0（12）

并且每個(gè)周期采樣兩點(diǎn)，如圖5所示，這里我們所采樣的是系統(tǒng)函數(shù)的正負(fù)峰值點(diǎn)，而函數(shù)仍然可以通過(guò)內(nèi)插完全恢復(fù)起來(lái)，如同情形一。在頻域中，相鄰復(fù)制品的沖激在s=f0合在一起，但內(nèi)插函數(shù)的頻域在該點(diǎn)取值1/2，所以函數(shù)仍可以無(wú)失真地恢復(fù)。

情形三，欠采樣。我們令：

△t=■（■）（13）

即fN=■f0（14）

圖6表示這種情況，這里，中心位于s=2fN的頻譜復(fù)制品的左側(cè)的沖激落在s=f0/2處，它處在0和fN之間，內(nèi)插時(shí)，s=f0的能量混疊到頻率f0/2處。圖6表明內(nèi)插如何從采樣點(diǎn)擬合一個(gè)頻率為f0/2的余弦函數(shù)。

可見(jiàn)，欠采樣情況下，未滿足τ≤1/2s0的條件，則會(huì)發(fā)生混疊。假定τ>2s0，當(dāng)F（s）被重復(fù)復(fù)制以形成G（s），各個(gè)復(fù)制品會(huì)重疊的相加在一起。如果我們?nèi)杂煤瘮?shù)內(nèi)插，將不能準(zhǔn)確地恢復(fù)f（x），因?yàn)椋?/p>

G（s）∏（s/2s1）≠F（s）（15）

其混疊形如圖7所示。

圖7 頻域復(fù)制區(qū)間重疊

圖8 用內(nèi)插

圖9 對(duì)輸入模擬信號(hào)的采樣

綜上幾種情況，只有符合τ≤1/2s0的條件，才可能使函數(shù)的采樣點(diǎn)完全恢復(fù)，這就是采樣定理。

1.3.2 采樣信號(hào)的恢復(fù)

將g（x）和等式（6）所用的內(nèi)插函數(shù)卷積在效果上等于在每個(gè)采樣點(diǎn)上復(fù)制一個(gè)sinx/x函數(shù)如圖8所示，等式（6）保證了相互重疊的sinx/x函數(shù)的總和可準(zhǔn)確地恢復(fù)原函數(shù)。

當(dāng)s1=1/2τ，如果1/τ>1/2s0時(shí)，等式（3）允許在sinx/x函數(shù)的頻率選擇有更大的自由度，將s1設(shè)為s0和（1/τ）-s0間的任何值。

設(shè)：

s1=1/2τ（16）

則內(nèi)插函數(shù)為：

■■（17）

可見(jiàn)，只有當(dāng)τ≤1/2s0時(shí)，用內(nèi)插，可將采樣后丟失的信息準(zhǔn)確地恢復(fù)。

1.3.3 采樣定理在A/D轉(zhuǎn)換器中的應(yīng)用。

在A/D轉(zhuǎn)換器中，因?yàn)檩斎氲哪M信號(hào)在時(shí)間上是連續(xù)的，而輸出的數(shù)字信號(hào)代碼是離散量，所以進(jìn)行轉(zhuǎn)換時(shí)必須在系列選定的瞬間對(duì)輸入的模擬信號(hào)采樣，然后將采樣值轉(zhuǎn)換出為輸出的數(shù)字量。

如圖9表示采樣信號(hào)Vs表示模擬信號(hào)Vi，必須滿足：

fs≥2f1max（18）

其中：fs為采樣頻率，f1max為信號(hào)Vi的最高頻率分量的頻率。只有滿足上式，可以用一定低通濾波將Vs還原為Vi，這個(gè)低通濾波器的頻率特性在低于f1max的范圍內(nèi)，濾波器的電壓傳輸系數(shù)應(yīng)保持水平，而在fs-f1max以前迅速下降為零。所以采樣定理為我們規(guī)定了A/D轉(zhuǎn)換的頻率下限。

2 結(jié)束語(yǔ)

本文通過(guò)具體舉例來(lái)分析采樣定理及其應(yīng)用，對(duì)采樣定理后丟失的信息該如何恢復(fù)作了初步的探討。但采樣對(duì)函數(shù)頻譜的具體影響還需進(jìn)一步研究。

【參考文獻(xiàn)】

[1]高西全，丁玉美，編.數(shù)字信號(hào)處理[M].西安：西安電子科技大學(xué)出版社，2008.

[2]鄭君里，等，編.信號(hào)與系統(tǒng)[M].北京：高等教育出版社，2000.

[責(zé)任編輯：曹明明]