逆矩陣的應用

摘 要：矩陣作為高等代數這一偉大數學圖騰重要分支的一大重要部分，在我們的生活，學習，工作，更是在人類的進步中發揮了卓越的工具作用。可逆矩陣是矩陣知識的一個基礎支流，作為矩陣乘法的逆運算，是矩陣的一種重要運算，在解決矩陣問題中起著重要的作用。因而矩陣的逆，在解決實際問題時，往往可以起到事半功倍的效果。本文將重點闡述矩陣的逆在通訊領域中的簡單應用。

關鍵詞：矩陣；矩陣的逆；保密通信

中圖分類號：O151.21 文獻標識碼：A 文章編號：1674-7712 （2014） 10-0000-02

矩陣的逆是矩陣理論中一個很重要的概念，也是較難理解的一部分，在矩陣理論中占有很重要的地位，對矩陣的逆的研究自然也就成為高等代數研究的主要內容之一。然而在很多線性代數教科書中矩陣的逆的應用幾乎沒有涉及到，很多學生也無從認識到矩陣的逆的作用。為了讓學生對矩陣的了解不只是停留在抽象的概念結論中，而應對所學知識進一步認識，深刻理解，掌握矩陣的逆的本質，本文將重點分析矩陣的逆在保密通信中的應用，探索矩陣逆的重要性。

一、可逆矩陣在通信方面的應用

保密通信是當今信息時代一個非常重要的課題，無數科研人員先后提出了許多較為有效的保密通信模型.其中，最基本的則是加密技術的保密通信模型.

二、加密保密通信模型

（一）在英文中有一種對消息進行保密的措施，就是把英文字母用一個整數來表示。然后傳送這組整數。這種方法是很容易根據數字出現的頻率來破譯，例如出現頻率特別高的數字，很可能對應于字母E。

（二）可以用乘以矩陣A的方法來進一步加密。假如A是一個行列式等于±1的整數矩陣，則A-1的元素也必定是整數。而經過這樣變換過的消息，同樣兩個字母對應的數字不同，所以就較難破譯。

（三）接收方只要將這個消息乘以A-1就可以復原。

基于加密技術的保密通信模型如下：

發送方采用某種算法將明文數據加密轉換成密文數據后發送給接收方，接收方則可以采用對應的某種算法將密文數據解密轉換成明文數據。

三、在保密通信中的應用

從模型中可以看出，一種加密技術是否有效，關鍵在于密文能否還原成明文。

設有矩陣方程C=AB，其中B為未知矩陣。我們知道，如果A為可逆矩陣，則方程有唯一解C=A-1C，其中A-1是A的逆矩陣。因此，可逆矩陣可以有效地應用于加密技術。

設A為可逆矩陣，B為明文矩陣，C為密文矩陣。

（1）加密算法

加密時，采用下面的矩陣乘法：

（2）解密算法

解密時，采用下面的矩陣乘法：

B=CA-1或B=A-1C

其中，A-1是A的逆矩陣。

例如，針對上面的加密密鑰矩陣A，解密密鑰矩陣A-1為

如果密文矩陣C為 ，則相應的明文矩陣B應等于

（3）加密矩陣的生成

初等矩陣是可逆的，而且初等矩陣的乘積也是可逆的。因此，通信中可以考慮利用若干個初等矩陣的成績乘積作為編碼矩陣。它的生成方法如下：從單位矩陣出發，反復利用第一類和第三類初等變換去乘它，而其中的乘數必須取整數。這樣得到的矩陣將滿足A=±1，而A-1也將具有整數元素。

（4）應用實例

例：2008年諜戰大片《潛伏》中的地下工作者余則成收到王翠平傳遞來的秘密消息是一個4行5列的矩陣 ，他們約定：消息的每一個英文字母用一個整數來表示：

然后利用Matlab軟件求解此題，容易得到滿足題意的只有一個矩陣：

由英文字母與整數間的對應可得到密信內容為“ACCOMPLISH THE TASK”.

四、結束語

通過本篇論文對可逆矩陣在生活通信保密工作的重要應用，我們得知逆矩陣可以簡化生活中的難解決的問題，使我們的工作事半功倍，更解決了實際的問題。我們由此再一次證明了可逆矩陣的重要性。

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[作者簡介]周鑫（1983.07-），女，河南周口人，現任職于四川大學錦江學院，助教，碩士研究生，研究方向：概率論與數理統計。