應用中值定理驗證中值等式的實例分析

汲守峰

（唐山學院 基礎教學部，河北 唐山063000）

應用中值定理驗證中值等式是高等數學中的重點內容，同時也是教學難點。內容主要涉及連續函數的介值定理（零點定理）和微分中值定理，包括費馬定理、羅爾定理（廣義羅爾中值定理）、拉格朗日定理、柯西定理［1］、泰勒定理及積分中值定理。另外，利用函數的單調性也可以討論與中值有關的問題。一般來說，討論中值的存在性需要用到介值定理、微分中值定理和積分中值定理；討論唯一性通常利用函數的單調性或反證法，微分中值定理和積分中值定理有時還可以用來求函數極限。以下將通過幾個典型的例題進行分析。

1 利用廣義羅爾中值定理證明中值等式

例1 設函數f（x）在（0，＋∞）上連續且可微，f（0）＝1，f（x）≤e－x，求證存在一點x0，使得f（x0）＝－e－x0。

證明 首先證明廣義羅爾中值定理。

設f（x）在區間［a，＋ ∞）（或（－ ∞，a］）上連續，在（a，＋∞）（或（－∞，a））內可導，且f（x）＝f（a）（或f（x）＝f（a）），則至少存在一點ξ∈ （a，＋∞）（或ξ∈ （－∞，a）），使得f′（ξ）＝0）［1］。

僅在區間［a，＋∞）給出證明。

若f（x）＝f（a），x≥a時結論顯然成立。

設x0＞a，f（x0）≠f（a）（不妨設f（x0）＞f（a）時），由連續函數介值定理及f（x）存在且等于f（a）可知，存在x1（x1∈ （a，x0））與x2（x2＞x0），使得

函數f（x）當x＞a時可導，對f（x）在［x1，x2］上應用羅爾中值定理可知，存在ξ∈ ［x1，x2］（a，＋∞），使得f′（ξ）＝0。

本例中，設g（x）＝f（x）－e－x，由f（x）連續且可導知g（x）也連續可導，且g（0）＝f（0）－e－0＝0g（x）＝0，由廣義羅爾中值定理知，存在x0∈（a，＋∞），使得g′（x0）＝f′（x0）＋＝0，即f（x0）＝－.

2 利用微分中值定理證明中值等式

例2 設函數f（x）在［－2，2］上二階可導，且｜f（x）｜≤1，f′（0）＋［f′（0）］2＝4，證明在（－2，2）內至少存在一點x0，使得f（x0）＋f″（x0）＝0。

證明 由拉格朗日中值定理可知，存在x1∈（－2，0），x2∈ （0，2），使得

f（0）－f（－2）＝2f′（x1），f（2）－f（0）＝2f′（x2）。

因為｜f（x）｜≤1，所以

令 g（x）＝ f2（x）＋ ［f′（x）］2，則 ｜g（x1）｜≤ 2，｜g（x2）｜≤2，因為g（x）在［x1，x2］上連續，且g（0）＝4，若設g（x）在［x1，x2］上的最大值g（x）≥4，顯然，g（x）取最大值的點在（x1，x2）內，即g（x0）＝g（x），又g（x）在［x1，x2］上可導，由費馬定理可得g′（x0）＝0，即

由于g（x）≥4，可知f′（x0）≠0（若不然，f′（x0）＝0，則有g（x0）＝f2（x0）≥4｜f（x0）｜≥2，與｜f（x）｜≤1矛盾），于是f（x0）＋f″（x0）＝0，x0∈ （－2，2）。

例3 設函數f（x），g（x）在［a，b］內存在二階導數，且g″（x）≠0，f（a）＝f（b）＝g（a）＝g（b）＝0。則以下結論成立：（1）g（x）≠0，x∈ （a，b）；（2）存在ξ∈ （a，b），使得

證明 （1）若存在c∈（a，b），g（c）＝0，由羅爾中值定理可 知，存在c1∈ （a，c），c2∈ （c，b），使得g′（c1）＝g′（c2）＝0，再由g（x）在［a，b］上存在二階導數，對g′（x）由羅爾中值定理可知，存在η∈（c1，c2），使g″（η）＝0，這與g″（x）≠0矛盾，故特設成立。

（2）令h（x）＝f（x）g′（x）－f′（x）g（x），由f（x），g（x）在［a，b］內存在二階導數，所以h（x）在［a，b］上可導。又f（a）＝f（b）＝g（a）＝g（b）＝0，則h（a）＝h（b）＝0。

由羅爾中值定理可知，存在ξ∈ （a，b），使得h′（ξ）＝f″（ξ）g（ξ）－g″（ξ）f（ξ）＝0，由（1）及g″（x）≠0，得

例2和例3的證明除了對微分中值定理能夠熟練運用外，根據題意構造函數也是非常關鍵的一個環節，構造的函數既要符合在區間上連續與可導的性質，還要求其一階導數能與結論中的函數相吻合。一般來講，可直接根據結論構造函數，也有部分題目中并未明確構造的函數類型，構造輔助函數時需要一定的技巧，但也有規律可循。

3 利用積分中值定理證明中值等式

例4 設函數f（x）在［0，1］上連續，在（0，1）內可導，f（1）＝f（x）dx（c＞1），證明至少存在一點ξ∈ （0，1），使得f′（ξ）＝ （1－ξ－1）f（ξ）。

因為e1－ξ0，所以f′（ξ）＝ （1－ξ－1）f（ξ）。

利用積分中值定理去驗證中值等式時，也可以用積分中值定理的推廣形式［3］：

函數f（x）在（a，b）上連續，而在x＝a及x＝b為第一類間斷點，或只有一個第一類間斷點而另一間斷點是連續點，則在（a，b）上至少存在一點ξ，使f（x）dx＝f（ξ）（b－a）。

4 利用單調性或反證法討論中值的唯一性

例5 設f（x）在（a，b）內可導，證明f（x）的任何兩個不同的零點之間一定有函數f（x）＋f′（x）的一個零點，并由此證明方程（x－2）ln（x－1）＋＝0在（1，3）內有且僅有一個實根。

證明 假設f（x）在（a，b）上任意兩個不同的零點為x1，x2（x1＜x2），即f（x1）＝f（x2）＝0，由f（x）＋f′（x）＝0，解該微分方程得f（x）＝Ce－x（C為任意常數），構造函數令g（x）＝exf（x），則函數g（x）在［x1，x2］上連續，在（x1，x2）上可導，且g（x1）＝g（x2）＝0，由羅爾定理可知，至少存在一點ξ∈ （x1，x2），使得g′（ξ）＝0，即ex（f（ξ）＋f′（ξ））＝0，也就是f（ξ）＋f′（ξ）＝0。

構造函數f（x）＝ （x－3）ln（x－1），則f′（x）＝ln（x－1）＋，f（1）＝f（3）＝0，且f（x）在（1，3）內可導，x＝11，x2＝3是f（x）的兩個零點，由前面所證結論可知，在（1，3）內一定存在f（x）＋f′（x）＝ （x－2）ln（x－1）＋的一個零點，即方程（x－2）ln（x－1）＋＝0在（1，3）內至少有一個實根。

所以g（x）在（1，3）內嚴格單調遞增，因此方程g（x）＝0在（1，3）內至多有一個實根，方程（x－2）ln（x－1）＋＝0在（1，3）內至多有一個實根。

5 結語

介值定理、中值定理不僅可以用來驗證中值等式，而且還可以證明一些不等式方程。驗證中值的唯一性時除了單調性外還可以用反證法等方法。

［1］ 同濟大學數學系.高等數學：上冊［M］.6版.北京：高等教育出版社，2007：136.

［2］ 劉玉璉.數學分析講義［M］.北京：高等教育出版社，2004：212－213.

［3］ 王海玲.微分中值定理的推廣及應用［J］.長春理工大學學報，2003（3）：81－85.