考慮應力敏感與非達西效應的頁巖氣產能模型

田 冷 肖 聰 顧岱鴻

1.中國石油大學石油工程教育部重點實驗室 2.中國石油大學（北京）石油工程學院

頁巖氣藏是典型的非常規氣藏［1－2］，在儲層中存在解吸、擴散和滲流相互作用，因而，其在滲流機理和流動方式上都有異于常規油氣藏，國內外許多學者對頁巖氣滲流規律及其產能模型進行了研究［3－4］。Barenblatt提出頁巖氣雙孔模型［5］，但未考慮頁巖氣解吸和擴散影響；El－Banbi提出線性雙孔模型［6］，首次給出拉普拉斯空間解，但忽略頁巖氣解吸和擴散影響；Ah－Ahmadi等給出了考慮頁巖氣解吸和擴散影響的三孔線性流模型［7］，但沒有考慮微裂縫應力敏感的影響；趙玉龍、張烈輝等給出了頁巖氣擬三孔球形流模型［8］，考慮頁巖氣解吸擴散影響，但考慮人工裂縫為無限導流裂縫，忽略了人工裂縫中非線性流和微裂縫中的應力敏感效應影響；蔡華等在傳統裂縫—基質雙重介質模型基礎上，建立了考慮裂縫應力敏感效應的頁巖氣產能模型［9］，但僅局限于對直井，并且沒有考慮高速非達西流的影響；王海濤等給出了頁巖氣雙孔球形流模型［10］，考慮頁巖氣解吸擴散和微裂縫中的應力敏感效應影響，但考慮人工裂縫為無限導流裂縫，忽略了人工裂縫中非線性流。

筆者簡化壓裂地層為塊狀模型，建立考慮天然裂縫應力敏感和人工裂縫非達西滲流的數學模型，應用全隱式有限差分和牛頓—拉普森迭代法進行數值求解，繪制了頁巖氣產量遞減曲線，并分析了相關因素對氣井產量遞減規律的影響。

1 產能模型建立

頁巖氣多級壓裂地層簡化為塊狀模型，考慮矩形封閉地層中心1口水平井定壓力生產，其他條件做如下假設：①在初始條件下，地層各處的壓力為pi，儲層具有雙孔介質特征；②人工裂縫垂直于井筒，關于井筒對稱且均勻分布，人工裂縫條數為n且完全貫穿儲層，天然裂縫與人工裂縫垂直，氣藏的長、寬分別與水平段和裂縫等長；③人工裂縫有限導流能力，考慮人工裂縫非達西流動和天然裂縫應力敏感效應；④僅人工裂縫向井筒供氣，只考慮氣體從基質向天然裂縫的線性流動，忽略氣體從基質向人工裂縫和井筒的流動；⑤頁巖氣微可壓縮，壓縮系數恒定；⑥頁巖氣解吸滿足Langmuir等溫吸附方程，擴散滿足Fick第一定律；⑦忽略重力和毛細管力的影響。

1.1 應力敏感效應

考慮氣體擬壓力形式下的應力敏感對滲透率影響可以表述為：

式中K為考慮應力敏感的地層滲透率，D；Ki為原始地層滲透率，D；Ψi為原始地層擬壓力，MPa2／（mPa·s）；β為應力敏感系數，（mPa·s／MPa2）；Ψ 為地層擬壓力，MPa2／（mPa·s）。

1.2 非線性流動效應

Forcheimer建議用二次流動項來描述非線性流動：

引入非達西流動效應修正系數（δ），則達西定律修正方程表示為：

式中K為地層滲透率，D；p為地層壓力，MPa；μ為氣體黏度，mPa·s；ρ為氣體密度，kg／m3；δ 為非達西流動效應修正系數；v為滲流速度，m／s；χ為非達西系數，μm0.6；l為長度，m。

1.3 吸附效應

目前主要運用蘭格繆爾等溫吸附方程來描述頁巖氣吸附、解吸過程，其表達式為：

式中VE是平衡吸附濃度，m3／m3；VL是蘭格繆爾吸附濃度，m3／m3；pL是蘭格繆爾壓力，MPa；ψL是蘭格繆爾擬壓力，MPa2／（mPa·s）。

1.4 數學模型

考慮頁巖氣在儲層中解吸擴散氣體從基質到天然裂縫為擬穩態竄流，天然裂縫到人工裂縫為不穩定竄流，由質量守恒定律分別得到基質、天然裂縫和人工裂縫中流動方程。

1.4.1 人工裂縫

式中Ψj分別為人工裂縫、天然裂縫和基質的擬壓力，MPa2／（mPa·s），j＝F，f，m；x、y分別為距離，m；μ為氣體黏度，mPa·s；φj分別為人工裂縫孔隙度、天然裂縫孔隙度和基質孔隙度，小數，j＝F，f，m；（Ct）j分別是人工裂縫、天然裂縫和基質系統的綜合壓縮系數，MPa－1，j＝F，f，m；Kf、Kfi、Km分別為人工裂縫滲透率、天然裂縫滲透率和基質滲透率，D；t為時間，h；psc為地面標準狀況下的壓力，MPa；T為儲層溫度，K；Tsc為地面標準狀況下的溫度，K；α是基質巖塊形狀因子，m－2；Lf為人工裂縫之間的距離，m。

1.4.2 天然裂縫

1.4.3 基質

由菲克第一定律得到，氣體向基質中的擴散速度可以表示為：

式中V為頁巖氣濃度，m3／m3。

帶入蘭格繆爾等溫吸附方程可以得到：

2）無因次時間

3）無因次應力敏感系數

5）無因次儲容比

6）裂縫導流能力比

7）無因次初始擬壓力

8）無因次蘭格繆爾擬壓力

9）無因次蘭格繆爾體積

10）無因次產量

11）無因次距離

式中Acw為井筒流動面積，Acw＝2LFh，m2；LF為井筒長度，m；h為地層厚度，m；ye是人工裂縫長度，m。

將式（6）～式（8）及邊始條件式無因次化后得到以下方程。

1）人工裂縫

2）天然裂縫

初始條件：

根據無因次產量與無因次擬力的關系，可以得到：

2 產能方程求解

2.1 網格劃分

方程式（21）、（25）、（29）是關于擬壓力的強非線性偏微分方程，難以求出其解析解。因此采用數值解法，利用全隱式有限差分法將其進行離散。

對模型做進一步假設：人工裂縫沿水平井筒均勻分布，所有人工裂縫等效，并且不考慮裂縫之間的干擾。取其中一個流動單元（圖1）進行分析，并對其進行網格劃分（圖1）。

圖1 流動基本單元及其離散示意圖

人工裂縫、天然裂縫和基質離散分別遵循以下原則：①人工裂縫中近井筒附近壓降大，非達西效應嚴重，故將其細分，取較小的步長，而在遠離井筒地帶，由于高的人工裂縫導流能力，可以粗化其模塊，取較大步長；②天然微裂縫考慮應力敏感效應，縫內壓力分布差異大，步長應適當選取，以滿足精度要求；③基質向微裂縫擬穩定竄流，壓力處處相等，便于處理，將基質離散為與微裂縫相同的單元數。

2.2 方程離散

由于偏微分方程中存在非達西流動修正系數（δ），同時δ也是壓力的函數，我們已經知道人工裂縫具有高導流能力。因此一定時間差內，縫內壓差并不大，可以利用前一時間的縫內壓力分布迭代求解的δ作為本次的δ參與求解。將式（22）～式（32）運用全隱式有限差分法離散后的方程如下所示。

2.2.1 人工裂縫

2.2.2 天然裂縫

2.2.3 基質

2.2.4 邊界和初始條件

對于式（30）～式（33），利用牛頓拉普森迭代法進行數值求解。

3 典型曲線繪制及因素分析

通過有限差分和牛頓迭代法獲得無因次產量（qD）隨無因次時間（tD）的變化關系，并做出各種因素影響下的產量qD－tD和產量導數qD－tD雙對數圖版。對典型曲線（圖2）分析得到4個流動階段：①階段Ⅰ——人工裂縫線性流階段。產量導數曲線斜率為－1／2，為前期人工裂縫中線性流階段。②階段Ⅱ——雙線性流階段。產量導數曲線斜率為－1／4，為人工裂縫和微裂縫中雙線性流階段。③階段Ⅲ——竄流階段。產量導數曲線出現“凹”形，此時為基質向微裂縫的擬穩定竄流階段。④階段Ⅳ——邊界控制流階段。此時邊界已經對生產動態產生影響，產量和產量導數曲線迅速下降，出現邊界控制階段。

圖2 典型曲線及流動階段劃分示意圖

3.1 應力敏感效應

文中考慮微裂縫中的應力敏感效應，圖3表明：應力敏感對前期幾乎沒有影響，其主要影響微裂縫中的流動階段，也就是竄流及其后流動階段。隨著應力敏感系數的增大，無因次產量和產量導數曲線整體下移，分析其機理可知，裂縫壓力降低，裂縫發生閉合，滲透率降低，氣體流動滲流阻力增大，從而使產能減小。

圖3 不同應力敏感系數的典型曲線圖

圖3中A和B階段應力敏感效應顯著，而A、C階段應力敏感較弱。分析其機理為：A階段主要是人工裂縫線性流階段，此時裂縫中壓力并沒有降低，應力敏感效應并沒有發生；B階段為天然裂縫中線性以及基質向裂縫竄流前期階段，此時竄流量不足以彌補裂縫中的虧空量，導致壓力降低，應力敏感效應顯著發生；C階段為竄流后期，由于解吸發生，竄流量能夠很好地補充虧空量，裂縫壓力基本沒有下降，應力敏感效應消失；D階段為邊界控制流階段，流動到達邊界后，無外來流體補充，裂縫中壓力降低，此時應力敏感影響顯著。

3.2 非達西效應

人工裂縫中非達西效應的影響主要通過非達西修正系數（δ）是否等于1來體現，圖4給出了考慮和不考慮非達西效應下的無因次產量及其導數典型曲線，分析可知：高導流能力人工裂縫中，非達西效應影響顯著，考慮非達西效應時，曲線整體下移，這是由于附加阻力的存在，導致滲流能力降低，產能下降。

圖4 考慮非達西效應影響典型曲線圖

圖5 蘭格繆爾參數影響典型曲線圖

3.3 吸附效應

頁巖氣吸附效應中最重要的兩個特征參數就是蘭格繆爾壓力和蘭格繆爾體積，通過分析繪制的典型曲線圖版（圖5）可以得到，pL和VL主要是影響竄流階段以及產量衰減出現的早晚，pL越大（pL取1.5MPa、5MPa和10MPa）竄流階段出現得越晚，產量越晚出現衰減；同時，VL越小（VL取1.5m3／m3、5m3／m3）竄流階段出現得越早，產量越早出現衰減。

從微觀機理分析，隨著蘭格繆爾體積和蘭格繆爾壓力增大，吸附氣含量增大，隨壓力降低，基質中的吸附氣向裂縫中解吸擴散，使得裂縫中壓力降落速度減慢，所需時間延長，從而竄流階段出現的時間向后延遲，出現圖中“凹”形向右移的現象。同時，由于基質中頁巖氣解吸，補充了氣體的虧空，使得壓力降低緩慢，封閉邊界的影響較小，當頁巖氣解吸達到一定程度后，解吸量不足以彌補邊界的影響，產能開始顯著降低，邊界控制流動階段顯著發生。

4 結論

1）建立了考慮應力敏感和非達西效應、頁巖氣吸附、解吸產能模型，運用數值方法繪制典型曲線，并對其產能影響因素進行了分析。

2）通過對典型曲線的分析，頁巖氣流動分為4個階段：人工裂縫中的線性流階段；人工裂縫和天然裂縫中的雙線性流階段；基質向天然裂縫中的竄流階段；氣藏邊界控制流動階段。

3）考慮天然裂縫中的應力敏感效應，由于頁巖氣解吸，竄流以及邊界控制的影響，天然裂縫中應力敏感效應階段性發生，其中在天然裂縫雙線性階段，竄流前期階段以及后期邊界控制流階段，應力敏感顯影顯著發生，并且應力敏感系數越大，無因次產量導數曲線下移量越多，產能降低越顯著。

4）高導流能力人工裂縫中非達西效應顯著發生。考慮非達西效應時，產量導數曲線前期下降。因此，在實際氣藏開發中不能忽視非達西效應的影響，尤其是對于高生產壓差氣井。

5）分析表征頁巖氣吸附特性的兩個特征參數——蘭格繆爾壓力和蘭格繆爾體積，得知兩者主要影響竄流階段以及邊界控制流階段發生的早晚。

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