折合質量在兩體問題中的應用

殷正徐

（江蘇省沭陽高級中學，江蘇 沭陽 223600）

“兩體問題”在物理競賽中是一個重要的考查點，也是自主招生的重要考點.通過折合質量可以把“兩體問題”降維為“單體問題”，使運動情景更加清晰，數學運算大大簡化.

1 兩體問題中的折合質量

二質點系統是最簡單的質點系統，通常把二質點孤立系統問題稱為二體問題.二體問題中系統動量守恒，質心保持勻速直線運動或保持靜止.

圖1

如圖1所示，設質點1和質點2的質量分別為m1和m2，它們的位矢分別為r1和r2，質點1受到質點2的作用力為f12，質點2受到質點為1的作用力為f21，由牛頓第三定律，有

兩質點動力學方程分別為

聯立求得

令a12＝a1－a2，a12是質點1相對質點2的加速度.方程改寫為

方程（1）就是質點1相對質點2的相對動力學方程，這樣我們就把兩質點的動力問題轉化為一個質點相對于另一質點的動力學問題.二體問題的這種處理稱為等效單體問題.

2 等效單體問題的動力學方程和動能定理

2.1 動力學方程

方程μa12＝f12，說明質點1在質點2參考系中運動時所遵守的動力學方程仍滿足質點1（稱動質點）受到的力與質點1相對于質點2的加速度成正比，折合質量被視為單體的質量.

2.2 動能定理

2.2.1 相對動能表達式

設兩質點相對于參考系O的速度為v1，v2，相對于平動質心參考系O′的速度分別為v1′，v2′，設質點1相對于質點2的相對速度為

在質心系O′中質點系的總動量為0，有

聯立以上兩式可得

由此寫出二質點系統相對質心系O′的動能Ek′和相對速度u＝12的關系式為

二質點系統對質心系的動能可用相對速度表示，故稱為相對動能（又稱為資用能），記作Ekr.特別注意，相對動能表達式中折合質量被視為單體的質量.

2.2.2 動能定理

其中A1內是內力相對于質點2對質點1做的功，證明如下.

由質點系動能定理得

由柯尼希定理得

由于二體系統是孤立系統，故f外≡0，則質點系質心速度不變，質心系的質心動能EkC不變.同樣由于f外≡0，外力所做的總功也為0，即A外≡0.所以兩體系統的質點系動能定理可寫成

上式參考系為慣性參考系O，其中A內為內力對質點1和質點2做功之和，即

而A1內＝f12·Δr12是內力相對于質點2對質點1做的功，得證.

3 質點與等效單體的比較（見表1）

表1

4 折合質量在自主招生題中的應用

例1.（2006年清華大學）如圖2所示，質量分別為m1和m2的木塊用勁度系數為k的輕彈簧連接起來，用繩子拉緊兩物體，使彈簧壓縮.某時刻將繩子燒斷，試求兩木塊的振動周期.（不計兩木塊與地面間摩擦力）

圖3

解析：本題是典型的二體運動問題，兩個物體都在運動使每個物體的位移與彈簧的形變都不同.下面通過應用常規解法與應用折合質量解法的對比，感受應用折合質量方法解決二體問題的優越性.

解法1（常規解法）：設m1、m2兩物體的質心在點O，因兩物體在水平方向不受外力，故點O保持不動.以點O為原點沿彈簧方向建立x軸，如圖3所示，物體m1、m2對應的速度為v1、v2，對應的坐標變化為Δx1、Δx2.由動量守恒得

在某段時間Δt內

將彈簧看成由兩部分組成，設m1到點O段的彈簧的勁度系數為k1，m2到點O段的彈簧的勁度系數為k2，由彈簧的串聯關系得

兩物體受到彈簧的彈力大小相等、方向相反，得

由簡諧運動的周期公式得

由（3）～（6）式得

由對稱性可知，木塊m1____、m2的振動周期相等，即

解法2（折合質量解法）：兩木塊運動可以等效為單體運動問題，其折合質量為

其由簡諧運動的周期公式得

通過上述兩種解法可以看出，用折合質量解決兩體問題簡潔明了、直擊要點.

例2.（2009年復旦大學）質量為M，長為L的小船在無阻力的水面上靜止漂浮，有一質量為m的人以相對于船為a的

加速度開始在船板上步行，此時船相對于水面的加速度是

解析：人與小船分別組成系統在水面上不受外力，人與小船間相互作用力為

其中

以地面參考系中，小船受力仍為f，由牛頓第二定律得

由（7）～（9）式得

本題（C）選項正確.

本題直接告之人相對船的加速度，根據等效單體的動力學方程可以求出人與船的內力，再巧妙利用等效前后其作用力相同，從而避免了復雜的相對運動轉化.

例3.（2012年卓越）一質量為m＝40kg的孩童，站在質量為M＝20kg的長木板的一端，孩童與木板在水平光滑冰面上以v0＝2m/s的速度一起向右運動.若孩童以a＝2m/s2相對木板的勻加速度跑向另一端，并從端點水平跑離木板時，木板恰好靜止.

（1）判斷孩童跑動的方向；

（2）求出木板的長度l.

解析：（1）木板由運動做減速運動變為靜止，則其受力方向應與運動方向相反，要求孩童應沿著木板運動的方向跑動，即孩童開始時應站在木板的左端，向右跑.

（2）設孩童相對木板的速度為u，初始時刻兩者速度相同均為v0，則

由于冰面光滑，孩童和木板組成的系統在水平方向上不受外力，所以動量守恒，即

最終木板恰好靜止，即要求木板相對冰面的速度v＝0，由此可得

此時，孩童相對木板的速度為

將兩體轉化為單體問題，內力為F＝μa，內力的功為A1內＝μal.

由單體問題的動能定理式（2）得

其中

聯立（9）～（13）式解得

將已知數據代入上式得l＝2.25m.

本題與例2雖然求解物理量不同，但兩體運動情景卻驚人的相似，這種“不謀而合”說明高校非常重視兩體問題的考察.

圖4

解析：兩質點間的相對速度為

折合質量為

質點系的資用能（相對質心的動能）為

兩質點在逐漸遠離的過程中，質點系的資用能轉化為萬有引力勢能（質點系的質心動能不變）.欲使兩質點能夠相距無窮遠，初始時體系的折合機械能（資用能與萬有引力勢能之和）必須大于等于0，即

聯立（14）～（17）式解得

1 程稼夫.中學奧林匹克競賽物理教程（力學篇）［M］.合肥：中國科學技術大學出版社，2012.