2014年江蘇省高考第15題工件滑動過程的動力學分析

朱柏樹

（江蘇省東臺市教育局教研室，江蘇 鹽城 224200）

圖1

題目.如圖1所示，生產車間有兩個相互垂直且等高的水平傳送帶甲和乙，甲的速度為v0.小工件離開甲前與甲的速度相同，并平穩地傳到乙上，工件與乙之間的動摩擦因數為μ.乙的寬度足夠大，重力加速度為g.

（1）若乙的速度為v0，求工件在乙上側向（垂直于乙的運動方向）滑過的距離s；

（2）若乙的速度為2v0，求工件在乙上剛停止側向滑動時的速度大小v；

（3）保持乙的速度2v0不變，當工件在乙上剛停止滑動時，下一只工件恰好傳到乙上，如此反復.若每個工件的質量均為m，除工件與傳送帶之間摩擦外，其他能量損耗均不計，求驅動乙的電動機的平均輸出功率.

本題中，工件剛滑上傳送帶乙時，其初速度方向與乙的運動方向相垂直，此后，工件在乙上滑動過程中，選擇不同參考系時，其運動情形不同.因此，解答本題的關鍵是先明確所選擇的參考系，再分析工件在乙上滑動過程中的受力和運動情況.在對工件進行受力和運動分析時，需要重點明確以下4個問題：

① 工件所受滑動摩擦力的方向是否變化；

② 工件的運動性質和運動學模型；

③ 工件側向滑動時間與縱向（平行于乙的運動方向）滑動時間的關系，即工件側向與縱向滑動是否同時結束；

④ 工件在乙上滑動的軌跡是直線還是曲線.

為便于分析，在原題所示的情形中，設傳送帶乙的速度為v1.下面先從分析工件受力情況入手，再分別選用傳送帶乙和地面作為參考系，求出解答試題所需的相關運動學物理量.

1 工件的受力及運動分析

1.1 工件的受力分析

工件滑上傳送帶乙后，受到乙的滑動摩擦力作用.滑動摩擦力的大小為F＝μmg，保持不變.

滑動摩擦力的方向與相對運動方向相反，所以，分析滑動摩擦力的方向時，必須選擇傳送帶乙作為參考系.以下分析工件的受力情況時，以乙為參考系.

在圖2中建立如圖所示直角坐標系，將F沿x和y方向分解，兩方向加速度的大小分別為

圖2

工件剛滑上乙時，取極短時間Δt.在Δt內工件在x和y方向都做勻減速直線運動.經Δt時間，工件沿x和y方向的速度大小分別為

兩式相比得

上式表明，經Δt時間后，相對速度v′的方向不變.以此類推，在此后的滑動過程中v′的方向始終保持不變.由此可得出，工件在乙上滑動的過程中，滑動摩擦力F的方向也始終保持不變.

1.2 工件的運動分析

上述分析已經得出，工件在乙上滑動過程中，滑動摩擦力的大小和方向始終保持不變.根據牛頓第二定律，此過程中工件加速度的大小和方向就保持不變，且加速度方向與初速度v′方向相反.所以，在乙的參考系中，工件做勻減速直線運動.

綜合上述分析，以傳送帶乙作為參考系時，工件在乙上相對滑動過程中，前文所提及的4個問題結論如下：

① 工件受到的摩擦力大小和方向均保持不變；

② 工件做勻減速直線運動；

③ 工件側向滑動時間與縱向滑動時間相等，即工件停止側向滑動時，恰好沿縱向也停止滑動；

④ 工件相對于乙滑動的軌跡是直線.上述結論與v1的大小無關，即傳送帶乙的速度v1的大小對工件運動的性質沒有影響.

在原題第（2）問中，因為工件停止側向滑動時，恰好沿縱向也停止滑動，所以，此時工件的速度大小v就等于傳送帶乙的速度2v0.不管傳送帶的速度v1取何值，結論都一樣.

在原題第（3）問中，用Q＝μmgs相（其中s相是工件相對于乙的路程）計算一對滑動摩擦力對系統做功產生熱量時，因為此過程中工件相對運動軌跡是直線，工件相對乙的路程就等于其相對位移的大小，所以才可以用相對位移的大小代替相對路程.

2 在傳送帶乙參考系中，工件相關物理量求解

2.1 工件的運動性質

2.2 工件相關物理量求解

② 末速度v＝0.（在地面參考系中，此時工件與傳送帶乙具有相同的速度v1.）

④ 側向滑過的距離為

另外，在地面參考系中，用x表示工件的位移，y1表示傳送帶乙的位移，y表示工件的縱向位移，則x、y1和L的關系如圖3所示.此過程中y1和y的大小分別為

圖3

3 在地面參考系中，工件相關物理量求解

3.1 工件的運動性質

在地面參考系中，傳送帶乙做勻速直線運動，其加速度a牽＝0，根據a＝a相＋a牽，得a＝a相，則以地面為參考系時，工件在滑動過程中，其加速度的大小與方向均保持不變.因此，在地面參考系中，工件做勻變速運動.

如圖4所示，工件的初速度為v0，方向沿側向，加速度大小為a＝μg，方向與初速度v0間的夾角為π－α.工件加速度的方向與初速度的方向不在同一條直線上，所以，在地面參考系中，工件做勻變速曲線運動，即通常所說的斜拋運動，其運動軌跡是拋物線.

3.2 工件相關物理量求解

在圖4中沿側向和縱向建立如圖所示直角坐標系，將F分解，x和y方向加速度大小分別為

① 滑動時間

在原題第（2）問中，當v1＝2v0時，工件的速度為v＝2v0.

③ 側向滑過的距離

④ 相對于乙的位移大小.傳送帶乙的位移大小

工件的縱向位移大小

相對于乙的位移大小

4 結束語

本題中，分析工件在乙上滑動過程中受力和運動情況時，選擇傳送帶乙作為參考系有著重要的意義.分析工件所受乙滑動摩擦力的方向時，只能選擇乙作為參考系.工件在滑動過程中滑動摩擦力的方向不變的結論，是在乙的參考系中分析得出的.得出工件相對于乙做勻減速直線運動，其相對運動軌跡是直線的結論，也只有在乙的參考系中分析才較為方便.用變換參考系的方法，得出工件在地面參考系中運動的加速度不變的結論，也是建立在乙參考系分析結果的基礎上.

地面參考系和傳送帶乙參考系都是慣性參考系，在兩個參考系中，工件遵循相同的物理規律——牛頓運動定律，具有相同的運動形式——勻變速運動.由于兩個參考系中初始條件的不同，工件具有不同的運動形式，在乙的參考系中工件做勻減速直線運動，在地面參考系中工件做勻變速曲線運動（斜拋運動）.在求解工件滑動過程中相關運動學物理量時，可分別選擇地面或傳送帶乙作為參考系，運用相同的物理規律與方法求解，所求出物理量的結果也是相同的.