兩發(fā)子彈可以打在同一個(gè)靶點(diǎn)嗎？——浙江省高考理綜第23題的分析

陳顯盈 尤愛(ài)惠

（1.溫州中學(xué)，浙江 溫州 325000；2.永嘉實(shí)驗(yàn)中學(xué)，浙江 永嘉 325100）

1 高考試題及參考答案

試題.（2014年浙江理綜）如圖1所示，裝甲車在水平地面上以速度v0＝20m/s沿直線前進(jìn)，車上機(jī)槍的槍管水平，距地面高為h＝1.8m.在車正前方豎直立一塊高為2m的長(zhǎng)方形靶，其底邊與地面接觸.槍口與靶距離為L(zhǎng)時(shí)，機(jī)槍手正對(duì)靶射出第1發(fā)子彈，子彈相對(duì)于槍口的初速度為v＝800m/s.在子彈射出的同時(shí)，裝甲車開(kāi)始做勻減速運(yùn)動(dòng)，行進(jìn)s＝90m后停下.裝甲車停下后，機(jī)槍手以相同方式射出第2發(fā)子彈.（不計(jì)空氣阻力，子彈看成質(zhì)點(diǎn)，重力加速度g取10m/s2）

圖1

（1）求裝甲車勻減速運(yùn)動(dòng)時(shí)的加速度大小；

（2）當(dāng)L＝410m時(shí)，求第1發(fā)子彈的彈孔離地的高度，并計(jì)算靶上2個(gè)彈孔之間的距離；

（3）若靶上只有1個(gè)彈孔，求L的范圍.

參考答案：根據(jù)條件，已知v0＝20m/s，v＝800m/s，h＝1.8m，s＝90m，另外第（2）問(wèn)還已知L＝410m.浙江省教育考試院主編的《浙江考試》2014年高考增刊第2期提供的參考答案如下.

2 常見(jiàn)解法分析

本題考查相對(duì)運(yùn)動(dòng)、勻變速直線運(yùn)動(dòng)、平拋運(yùn)動(dòng)等知識(shí)點(diǎn)，在能力上考查了繪圖能力和分析推理能力.第（1）問(wèn)考查的是勻減速直線運(yùn)動(dòng)，難度不大.第（2）問(wèn)考查的是相對(duì)運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)，難度一般，但是要注意2個(gè)問(wèn)題：① 兩發(fā)子彈相對(duì)地面的初速度不同，分別為v＋v0和v；②兩發(fā)子彈到靶的初始距離不同，分別為L(zhǎng)和L－s.第（3）問(wèn)與第（2）問(wèn)相比，考查的也是相對(duì)運(yùn)動(dòng)和平拋運(yùn)動(dòng)，但側(cè)重考查對(duì)知識(shí)點(diǎn)的綜合應(yīng)用、繪圖能力和分析推理能力，難度較大.

筆者與考生在考后對(duì)第（3）問(wèn)進(jìn)行交流時(shí)，很多考生提出：若只有1個(gè)彈孔，第一反應(yīng)是可能兩發(fā)子彈打在同1個(gè)靶點(diǎn)上，其次才會(huì)想到其中1發(fā)子彈沒(méi)打到靶上.于是，考生會(huì)出現(xiàn)許多不同的解法.

圖2

解法1：直接認(rèn)為能打在同一靶點(diǎn)并計(jì)算L.

如圖2所示，若靶上只有1個(gè)彈孔，可能是兩發(fā)子彈打在同一個(gè)靶點(diǎn).設(shè)兩條平拋曲線交點(diǎn)的水平距離為L(zhǎng)0，則

第1發(fā)子彈離地高度

第2發(fā)子彈離地高度

需2次下落高度相等，

由（1）～（3）式推導(dǎo)并代入數(shù)據(jù)可得

所以，若靶上只有1個(gè)彈孔，則靶點(diǎn)（即交點(diǎn)）到槍口的水平距離為L(zhǎng)＝L0＝3690m.

解法2：通過(guò)兩條平拋曲線交點(diǎn)排除打在同一靶點(diǎn)的可能性，再確定為第1發(fā)子彈沒(méi)打到靶上、第2發(fā)子彈會(huì)打到靶上情況并重新計(jì)算確定L范圍.

圖3

如圖3所示，若兩條平拋曲線有交點(diǎn)，第1發(fā)子彈離地高度

第2發(fā)子彈離地高度

需2次下落高度相等，

由（1）～（3）式推導(dǎo)并代入數(shù)據(jù)可得

兩條平拋曲線的交點(diǎn)在（3690m，－99.45m），即交點(diǎn)在水平地面之下.可見(jiàn)，兩條平拋曲線在地面以上是沒(méi)有交點(diǎn)的，也就是兩發(fā)子彈不可能在同一靶點(diǎn).于是可以確定為以下情況：第1發(fā)子彈沒(méi)打到靶上、第2發(fā)子彈會(huì)打到靶上.

第1發(fā)子彈落點(diǎn)的水平距離為

第2發(fā)子彈落點(diǎn)的水平距離為

若只有1個(gè)彈孔，從圖3中可以看出，L的范圍為492m＜L≤570m.

點(diǎn)評(píng)2：該解法體現(xiàn)了部分考生的解題思維，盡管結(jié)果是正確的，但是其解法比較耗時(shí)，是不合理的.與解法1相比，排除了不在同一個(gè)靶點(diǎn)的可能，但是花費(fèi)了一定的時(shí)間.

解法3：通過(guò)計(jì)算兩次落點(diǎn)得出第1發(fā)子彈沒(méi)打到靶上、第2發(fā)子彈會(huì)打到靶上的情況并確定L范圍.

該解法同前文《浙江考試》提供的參考答案，但是該參考答案的表述過(guò)于簡(jiǎn)單，沒(méi)有對(duì)在同一靶點(diǎn)可能性的排除進(jìn)行說(shuō)明，也未畫出草圖.筆者根據(jù)該參考答案的解題思路進(jìn)行完善，其具體解題思路如下.

（1）先直接分別計(jì)算兩次落點(diǎn)距離.

第2發(fā)子彈落點(diǎn)的水平距離為

（2）畫出草圖，并標(biāo)上落點(diǎn)距離.

如圖4（甲）所示，已知L2＞L1，可以畫出草圖，并標(biāo)上落點(diǎn)距離，可見(jiàn)兩條平拋曲線在水平地面之上沒(méi)有交點(diǎn).

圖4

（3）畫出靶板并想象移動(dòng)，確定L范圍.

如圖4（乙）所示，若只有1個(gè)靶點(diǎn)，說(shuō)明第1發(fā)子彈沒(méi)打到靶上，第2發(fā)子彈會(huì)打到靶上.畫出靶板并想象移動(dòng)，可以確定L的范圍為492m＜L≤570m.

點(diǎn)評(píng)3：該解法比較合理.與解法2相比，解法3不是通過(guò)交點(diǎn)排除在同一靶點(diǎn)的可能性，而是利用標(biāo)有落點(diǎn)距離的圖像來(lái)排除同一靶點(diǎn)可能性，同時(shí)利用圖像來(lái)快速直觀地確定L范圍.

3 試題拓展分析

圖5

圖6