λ－Cantor集的對稱性研究

曾 瑩，胡二琴

（湖北工業大學理學院，湖北 武漢430068）

分形是具有自相似性的一類形狀，三分Cantor集是典型的分形幾何集合，筆者對此作進一步推廣，從度量空間的角度對λ－Cantor集的對稱性做進一步分析。

設D是Rn的閉子集，如果對于任意x，y∈D，存在 滿 足 0 ＜c ＜ 1，使 得S（x）－S（y）≤cx－y，則稱映射S：D→D稱為是D 上的壓縮（contraction）映射。顯然，壓縮映射都是連續的。如果等號成立，則稱映射S為壓縮相似映射（contracting similarity）。

把一個有限的壓縮映射族 ｛S1，S2，…，Sm｝，（m≥2），稱為一個迭代函數系（Iterated Function System，IFS）；稱D的非空緊子集F 為IFS的吸引子（或者稱為不變集），若F滿足下面的方程

Hutchinson［1981］證明了一個IFS有唯一的一個吸引子，通常吸引子是一個分形［2－4］。

下面介紹Hausdorff度量。用D表示D的全部非空緊子集組成的集類。對于AD而言，所有與A距離不大于δ的D上的點組成的集為A的δ平行體，即

Aδ＝ ｛x∈D，存在a∈A，使得x－a≤δ｝。設A，B是D的兩個子集，定義A，B的Hausdorff度量為

可以驗證，d是D上的一個度量，即對任意集合A，B，C∈D，下面三條成立：

（ⅰ）d（A，B）≥0，當且僅當A＝B時等號成立；

（ⅱ）d（A，B）＝d（B，A）；

（ⅲ）d（A，B）≤d（A，C）＋d（C，B）。

引理1 （D，d）是完備度量空間，d是D 上的完備度量，即D中的每個柯西列都收斂到D中的一個元素。

將Cλ稱為λ－Cantor集，當λ＝時，Cλ就是我們通常所說的Cantor三分集。

定義兩個字母的符號空間Ω＝｛0，1｝!，并引入下 面 度 量： 設 x，y ∈ Ω， 令 dΩ（x，y） ＝2－inf｛n：xn＋1≠yn＋1｝，［4］

引理2 （Ω，dΩ）是完備度量空間。

證明 設 ｛ωn｝是Ω中的Cauchy列，則任意n≥1，存在N（n），當m，m′≥N（n）時，有d（ωm，ω）＜2－n。從而當m≥N（n）時，ωm和ωN（n）的前n項相同。

令a＝ ｛an｝＝ ｛ωN（n）的第n項｝，則dΩ（a，ωm）≤2－n對m≥N（n）成立。從而a為Cauchy列的極限列。證畢。

故

其次，證明K是閉集。令f：Ω→R是由下式定義的映射：

其中ω＝ω1ω2ω3…，而ωj∈ ｛0，1｝。

下一步證明f（ω）是連續的。

所以f（ω）是緊度量空間的連續映射象，從而K＝f（ω）是個閉集。

由于K滿足集方程，而且是非空閉集，故K也是IFS的不變集，由不變集的唯一性，得到Cλ＝K。

最后證明對稱性。

［1］ Munkres J R.拓撲學［M］.北京：機械工業出版社2006：204－205.

［2］ Falconer K.分形幾何［M］.北京：人民郵電出版社2007：113－118.

［3］ Hutchinson J E.Fractals and self－similarity［J］.Indiana Univ.Math.1981，30：713－747.

［4］ 文志英.分形幾何的數學基礎［M］.上海：上海科學技術教育出版社1999.