單水庫汛期分段線性調度的在線策略與分析

汝 海，高 峰，徐寅峰，管曉宏

（1.西安交通大學機械制造系統工程國家重點實驗室，710049，西安；2.西安交通大學電子與信息工程學院，710049，西安；3.西安交通大學管理學院，710049，西安）

關于水電站如何有效調節庫容、使得水庫汛期內總損失最小的問題，已經有大量的研究文獻［1-2］。以往對于水庫汛期調度的研究，通?；诩僭O各個階段自然來水量信息滿足某種假設分布或者事先已知，進而建立優化模型，改進優化算法，采用數值分析等方法，給出水庫的優化控制方法。

水庫汛期來水帶有很強的不確定性，一個汛期內很難符合某種具體規律。在現有預測手段中，洪水預報提前量有限，國內水庫汛期調度中大都采取最保守的調度策略，即在進入汛期前水庫就處于限制水位，使水庫長時間處于低水位發電的狀態。當汛期來水晚于年平均到達時間時，就會因為水庫長時間處于低水位狀態，帶來發電效益以及工農業日常用水調度上的巨大損失。相應地，若不在進入汛期前降低水庫水位，當洪峰過早到達水庫，會造成水庫水位過高，產生大量棄水，甚至有潰壩的風險。

本文針對洪水發生時刻不確定性造成的矛盾，考慮在汛期內單一洪峰過境的情形下水庫的調度問題，從在線理論和競爭分析［3-5］的角度研究水庫發電調度問題，根據單水庫發電調度的具體問題做出一些假設，建水庫和洪水模型，基于模型提出汛期庫容調度策略，隨后設計實驗驗證調度效果。

若洪峰到達水庫的時刻tf在進入汛期時已知，則如何調整庫容以減小汛期內水庫總損失為一個離線優化問題，用Copt（tf）表示汛期離線總損失。若在進入汛期前洪峰到達水庫的時刻tf未知，為在線調度問題，用C（g（·），tf）表示某一水庫庫容調度的在線策略g（·）對應的在線汛期總損失［6-7］。定義該在線策略對應的競爭比為

在線策略集中，競爭比c最接近1的策略g＊（·）為最優在線策略。最優策略表達式為

1 問題背景和建模

1.1 問題背景

假設單水庫在汛期中一段時間內會有一次洪峰過境，并假設洪水總來水量與水庫調節庫容相等。未知洪峰具體到達時間，且需要在汛期開始階段制定庫容變化曲線，如圖1所示。在洪峰到達水庫之前，水庫按照制定的曲線調整庫容大小，當洪峰過境后，水庫恢復最大庫容。

圖1中虛線表示汛期開始時制定的庫容變化策略，實線表示洪水在tf時刻到達水庫對應的實際庫容變化曲線。洪峰到達水庫后，若水庫總庫容超出最大庫容值，則須棄水，造成的損失稱為棄水損失。水庫為了減小棄水損失會提前騰出一部分防汛庫容，使得水庫處在低水位的狀態，從而造成發電效率降低以及水庫發電調度方面的損失，稱為低水位損失。本文致力于如何有效平衡兩部分損失以減小汛期內水庫總損失。

圖1 汛期水電站庫容變化示意圖

1.2 模型建立

汛期總時長為T，時間點用t表示，t∈［0，T］。汛期調度分為n個時段，分別用i表示，i=｛1，2，…，n｝，每個時段時長用Ti表示，每時段中庫容勻速變化，整體庫容曲線為分段線性曲線，如圖2所示。

圖2 庫容分段線性變化示意圖

（1）水庫設定。水庫最大庫容為Vmax，防洪最小庫容為Vmin，定義最大可調節庫容ˉV?Vmax-Vmin。水庫t時刻實時庫容為Vt?？烧{節庫容為

為方便計算，在后文中只討論可調節庫容V（t）。水庫瞬時最大出水量為qmax，持續以最大出水量放水，經過m單位時間可以從最大庫容降到最小庫容，即V=qmaxm，并有|d（Vt）／dt|≤qmax。

當洪峰到來，水庫總水量超出最大庫容的部分為棄水。棄水量為

式中：Vf是一次洪峰過境到來的總水量。

（2）來水量設定。進入汛期后，在［0，T］內的某一未知時刻，水庫會經歷一次洪峰，設洪峰到達時刻為tf，tf∈［0，T］。為簡化分析，假設洪水總來水量會在洪峰到達時刻全部到達水庫，洪水總體積為Vf，且總量等于調節庫容，即Vf=ˉV。非洪峰時刻的瞬時來水量為wt，放水量為Qt，在無庫容變化需求時，放水量與來水量相等，Qt=q（t）+wt。q（t）為t時刻庫容變化量，d（V（t））／dt=q（t）。

（3）決策量。V（t）在線策略g（·）為分段線性變化的實時庫容大小。如圖2所示，g（·）曲線表示在洪峰到達前的庫容變化曲線。策略決定的水庫瞬時庫容為

（4）損失函數。C（g（·），tf）表示汛期總損失，g（·）為庫容變化策略，tf為洪峰到達時刻。

式（9）中：等號右邊2項分別表示低水位損失和棄水損失；α、β是對應的損失懲罰系數，根據實際損失比例，給出兩個懲罰系數的大小關系為β／α＞T／2。

如圖1所示，損失函數等價于求解陰影部分面積與損失懲罰系數α的乘積再加上棄水損失。當庫容勻速變化，則庫容曲線在t∈［ti-1，ti］內為一條直線，如圖3所示，對應的陰影面積為梯形。當tf∈［ti-1，ti］時，由式（8）、式（9）得區間［ti-1，ti］內的總損失函數

圖3 洪峰時段庫容變化示意圖

2 離線策略分析

離線策略預先知道汛期來水序列，從而針對來水序列設計最優對應庫容調整策略，用Copt（tf）表示洪峰在tf時刻到達水庫的最小損失，相應的庫容調整策略gopt（·）為tf時刻的最優策略。

對于本問題，若事先知道洪峰到達時刻為tf，tf∈［0，T］，則最優策略為水庫在［0，tf-m）時段一直維持最高水位發電，之后從tf-m時刻開始全力放水，于是在tf時庫容恰好達到防汛庫容，而當tf時刻洪峰到來之后，水電站又恢復最高水位的發電調度，從而使得整體損失最小，即

其離線最優性在參考文獻［8］中給出了證明。

洪峰在汛期內任意時刻到達水庫，其最小損失值是一個定值。當tf＜m時，需從汛期開始前放水至最低水位，損失值不變。當tf∈［0，T］時，Copt（tf）為一個定值。因此，式（1）中的目標函數等價于求解·），tf）｝。使得在線損失最小的策略即為最優在線策略。

3 在線策略求解與分析

在線情形下，洪峰到達水庫的時刻未知。將汛期劃分為n個勻速放水時段，每時段時長Ti任意，且每個時段內庫容勻速變化，如圖2所示。研究目標為汛期整體在線損失最小，等價于制定合適的｛0，t1，t2，…，tn-1，T｝與｛V（0），V（t1），V（t2），…，V（tn）｝，使汛期整體在線損失最小，其中t0=0，tn=T。

3.1 庫容分段線性變化的幾個性質定理

當庫容分段線性變化時，有如下3個定理。定理1 在某一時段［ti-1，ti］內，庫容勻速變化，當洪峰在該時段內到來時，區間內損失最大值出現在洪峰時段起點或終點處到來的情形下。

證明：等價于證明當tf∈［ti-1，ti］時，有

在時段［ti-1，ti］內的庫容變化曲線如圖3所示，由式（10）得策略在時段［ti-1，ti］內的損失函數

驗證當tf在區間［ti-1，ti］內時損失函數的凸凹性質，需要求解損失對于tf的二次導數。

策略在時段［ti-1，ti］內庫容均勻變化，則tf時刻庫容的線性表達式為

損失函數是凸函數，則損失最大值只會出現在區間兩端點處，即tf=ti-1或tf=ti處。

證畢。

當tf＜ti-1時，時段［ti-1，ti］內的損失為0，當tf＞ti時，時段［ti-1，ti］內的損失為固定的低水位損失值。定理1證明，汛期內最大損失值只出現于洪峰在各個時段的起止端點處到達的情形，即｛0，t1，t2，…，tn-1，T｝處。

定理2 在策略集中，若洪峰在最后的時段，即第n時段內到達水庫，庫容｛V（0），V（t1），V（t2），…，V（tn-1）｝任意給定，當且僅當V（tn）=0（tn=T），使得汛期內總損失上限最小。

證明：如圖4所示，在第n時段內，庫容變化曲線的直線方程為

式中：x為不考慮洪水因素，水庫以均勻速率放水至最低水位的時間點。當x=T時，末水位恰好落在0水位處。相應的策略集分別用y1（·），y2（·），y3（·）表示，等價于證明g（·）=y2（·）時的損失上限最小。由定理1得最大損失出現在區間兩端。最大值比較則只需比較tf=tn-1和tf=tn時3種策略集對應的總損失。

圖4 第n時段庫容變化策略集

當tf=tn-1時，因為y1（·）、y2（·）、y3（·）的初始庫容V（tn-1）相等，代入式（10）計算，有

當tf=tn-1時，3個策略集的總損失大小相等。

在tf=T時，對應的汛期總損失由式（10）求解。代入數值計算得到

即調度策略g（·）=y2（·）時，損失上限最小。

證畢。

定理2證明，在所有策略集中均有最優策略的末水位V（tn）=0（tn=T）。

定理3 在第i時段內，當時段長度Ti與時段末水位V（ti）任意給定時，有且僅有一個時段初始水位V＊（ti-1）使得洪峰在tf=ti-1和tf=ti到來造成的汛期總損失相等，且該損失即為時段內最小的損失上限。

證明：等價于證明有g（ti-1）=V＊（ti-1），使得C（g（·），ti-1）=C（g（·），ti）時g（·），tf）最小。

當tf=ti-1時，區間［ti-1，ti］內的棄水大小由式（8）得sti-1=V（ti-1），代入式（10）得

當V （ti-1）增 加 時，C（g（·），ti-1）增 加，C（g（·），ti）減 小。有 且只 有 一個 V＊（ti-1）使C（g（·），ti-1）=C（g（·），ti）。根據函數增減性得：

當V（ti-1）＞V＊（ti-1）時，C（g（·），ti-1）＞C（g＊（·），ti-1）；

當V （ti-1）＜V＊（ti-1）時，C（g（·），ti）＞C（g＊（·），ti）。

當且僅當V（ti-1）=V＊（ti-1）時，洪峰在區間內到達造成的損失上限最?。?-9］。

證畢。

定理3證明了在一個庫容勻速變化的時段內，當洪峰在時段初與時段末到來造成的損失相等時，該時段內的損失上限最小。

3.2 在線策略

如圖2所示，汛期內水庫有n個不同時段，時段時長分別為Ti，各時段共有n+1個端點分別表示為｛0，t1，t2，…，tn-1，T｝，每個時段內庫容獨立勻速變化。此條件下庫容調整的最優在線策略ULB（Uniform Loss Bound）算法如下。

當洪峰到來后，水庫維持在最高庫容處發電調度。ULB策略的瞬時庫容大小為

n個時段長度均為T／n，即Ti＊=T／n。在洪峰到來前，各個端點處的庫容為

對于每一個水庫模型，策略中對應的參數都有具體參數值，所以策略是確定性策略。

庫容按最優策略調整時的最優競爭比為

式中的參數對于任意給定的水庫均為確定值。

式（25）等價于

下面采用歸納法證明。

（1）當n=1時，T1=T／n=T。由定理3得C（g（·），t0）=C（g（·），tn）時，損失上限最小。等式兩端分別將式（22）、式（10）代入得

顯然命題在n=1時成立。

（2）假設在n=k，k≥1時命題成立。當tf∈［t0，tn］時，損失上限大小為βV（t0），當且僅當 Ti=T／k，且

（3）當n=k+1時，t1時刻任意給定，從t1至tn時刻共有k個時段，這k個時段等價于第2點假設，Ti+1=T／k，i=｛1，2，…，k+1｝。只需求解使得損失最小的V（t0）和T1。由定理3得，當tf∈［t0，t1］時，要使損失上限最小，當且僅 當C（g（·），t0）=C（g（·），t1）。

由式（28）得

由式（31），V（t0）對T1求一階導數，可以推導得到，當且僅當 T=T-T／k 時，11βV（t0）有最小值。解得T1=T-T1／k=T／（k+1），即Ti=T／n，代入式（31）得

證畢。

最優策略的競爭比由式（27）得

在n值任意給定時，當且僅當汛期均勻分成n段，且洪峰在每個分段點處到達造成的總損失相等時，汛期內的損失上限最小。符合以上條件的在線策略為最優在線策略。

4 數值仿真與分析

選取某水庫從2005年到2010年間的汛期來水數據，進行數值仿真實驗。該水庫位于陜西省漢江流域，最 大庫容25.85×108m3，最 小庫容15.65×108m3。最大發電用水量1 216m3／s，選取汛期2個月，以天為單位，T=60d，m=3d，根據水庫歷年數據換算得到α=0.001元／d·m3，β=0.187元／m3。

4.1 策略損失對比

圖5中直線表示水庫分5個調度時段 （n=5）庫容均勻變化時，在線調度策略ULB算法針對多次不同來水序列的總損失上限；點陣為n=5的隨機策略（在n=5的條件下，隨機設定各個時段長度以及初始庫容大小，進而計算該條件下的調度策略，稱為隨機策略）對應多次不同來水序列的總損失上限。

圖5 ULB策略與隨機策略的損失對比

圖6 為選取2005到2010年間多次單洪峰過境的調度時段（每個時段長度不等），隨機調度策略與ULB策略分別對應的損失上限。上方虛線為隨機策略對應的損失值，下方實線為ULB策略對應的損失值。

在各種不同來水序列下，與不同策略的對比中，實驗驗證了時段數n確定時，ULB策略是損失上限最小的在線策略。并且與傳統調度策略相比，ULB策略有效降低了損失及損失上限值，損失平均降低了7.09%。

4.2 調度時段數與庫容變化及損失上限的關系

當調度時段數為n=2與n=5時，分別求其最優的庫容變化曲線以及對應的隨tf∈ ［0，T］變化的損失函數曲線。如圖7所示，虛線為n=2時對應的曲線，實線為n=5對應曲線；圖7a為兩n值對應的汛期內水庫在洪峰到達前的庫容調整策略曲線，圖7b為汛期內洪峰在［0，T］時刻到來對應的汛期內總損失大小。

水電站分段均勻調整庫容時，當可調節時段劃分越多時，對應的汛期初始水位越低，汛期總損失上限也越小。洪峰在每個調度時段端點處到達水庫時，造成的汛期總損失較大，在調度時段中段到達水庫時，造成的汛期總損失相對較小。

圖6 ULB策略與傳統策略的損失對比

圖7 庫容變化曲線與損失對比

5 結 語

本文討論了短期調度水電站汛期內遇到單一洪峰的水電站庫容調度問題，用在線算法的思想進行分析與決策。首先討論了各種情形下的離線策略，確定離線損失為一個定值，競爭比的大小只與在線損失大小有關。進而分析了多時段可變庫容條件下的在線策略，當且僅當庫容變化區間長度相等且洪峰在各個調度區間的端點處到來造成的損失大小相等時，水電站汛期在線總損失上限最小。給出了最優在線策略ULB策略與最優競爭比cULB，并證明了最優性。最后，用安康水庫實際數據設計實驗，驗證了算法性能，ULB策略有效降低了水電站汛期內的損失上限。

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