內嵌晃蕩液體減振的流固耦合分析

郭 濤，李國君

（西安交通大學熱流科學與工程教育部重點實驗室，710049，西安）

晃蕩減振方法是指將部分充液的容器附加在彈性結構上，當彈性結構發生振動時，液體在容器內的晃蕩與彈性結構相互作用，從而起到被動減振的效果，其基本結構如圖1所示。該方法具有效果明顯、結構簡單、調節方便、適應性強等優點。Fujino等率先使用實驗的方法研究了影響晃蕩減振器的各項參數，得到了容器寬度越大、液體黏性越小、減振效果越好，且壁面摩擦對減振影響較小等多個結論［1］；Kaneko等采用數值的方法研究了方形晃蕩減振器內液體晃蕩的情形［2-3］；Anderson等通過在深水減振器中加入橫截梁制造淺水晃蕩的方法提高了減振能力［4］；Marsh等研究了淺水晃蕩減振下液體深度與容器寬度對減振效果的影響，認為行進波的能耗作用遠大于駐波，因此行進波的晃蕩減振效果優于駐波晃蕩［5］；徐暉等利用實驗、數值計算等手段研究了內嵌式晃蕩減振對懸臂梁振動衰減的影響，認為懸臂梁內的內嵌晃蕩單元的減振因素包括附加質量調頻、黏性耗散、液體阻礙等［6-9］。

在實驗中，內嵌流體在不同的結構中取得的減振效果差異明顯，甚至不當的參數還會對振動起到激勵的作用［4，7］。目前，關于晃蕩流體減振的理論分析仍沒有統一的結論：國外研究通常認為［1，5］，在自由晃蕩頻率與系統振動頻率相似的情況下，晃蕩減振效果最好，且淺水行進波的減振能力遠大于深水駐波，但對不同的容器寬度，最理想的水深有所不同；徐暉等認為［8-9］，在內嵌式晃蕩減振器中，液體的附加質量調頻效應及吸能效應對減振的影響最大，其次是運動液體對梁運動的阻礙作用力。這些結論都得到了實驗及數值計算結果的支持，但在指導晃蕩減振器的參數選擇時仍有不足，難以達到最優結果。本文采用分離求解器隱式耦合的方法，模擬了內嵌式晃蕩減振器在懸臂梁一階振動中的作用，并從液體的受迫晃蕩機理出發，探討了內嵌流體造成振動衰減的內在原因，目的是為優化選擇晃蕩減振器的參數提供理論依據。

圖1 晃蕩減振器的基本結構

1 物理模型與數值方法

1.1 物理模型

仿照徐暉等的實驗［6］，構建了內嵌晃蕩流體的懸臂梁的物理模型，其結構如圖2所示。鋁合金梁的內部空腔中注入了部分液體，使腔內為氣-液兩相流體狀態，梁靜止時液體靜止在腔下部，梁振動時液體受迫晃動并起到減振的作用。懸臂梁尺寸為600 mm×12mm×30mm，空腔尺寸為550mm×8mm×8mm且距離梁自由端20mm，充液比例為50%，懸臂梁的一階固有頻率約為22Hz。在梁的自由端施加一個22Hz的正弦激勵載荷，或施加一個初始位移，梁將做受迫或自由衰減振動，這樣便可觀察內嵌晃蕩減振器的懸臂梁的瞬態響應。

圖2 內嵌晃蕩流體的懸臂梁結構

圖3 耦合方法在單位時間步內的計算流程

1.2 數值計算方法與兩相流模型

在懸臂梁內置晃蕩減振器后的瞬態響應中，懸臂梁的振動與內嵌液體的晃蕩相互影響，是一個流固耦合過程。本文使用分離求解器交錯迭代的隱式耦合方法進行數值模擬，該耦合方法在單位時間步內的計算流程如圖3所示。固體域使用有限元法離散求解應力-應變矩陣方程，流體域使用有限體積法離散求解Reynolds-Averaged Navier-Stokes方程；分離求解器分別將計算結果（流體域解得液體對梁的作用力，固體域解得梁內壁的位移）作為另一域求解的新邊界條件；在一個時間步內的循環次數由收斂條件及最大迭代次數決定。本方法具有以下優勢：在每個時間步內流體域及固體域均存在未知量，隱式耦合求解可保證計算在時間積分上守恒；在不求解兩域聯立統一矩陣的情況下，交錯迭代能得到相似的計算精度且降低了計算難度；面對不同的耦合問題，可以針對性地采用不同的單域求解器，以保證計算的穩定性與靈活性。

計算的時間步長為梁振動周期的1／200，計算總時間為0.4s。計算固體域時，鋁合金與有機玻璃側窗緊密連接，按固體材料設置相應的物性；懸臂梁以一階固有頻率橫振動時，阻尼系數ξ約為0.034 5；考慮梁變形較大時剛度變化引起的非線性因素，設懸臂梁內腔壁面為流固耦合的交界面。計算流體域時，網格變形使用位移擴散模型；平流項離散采用高分辨率差分格式，瞬態項離散采用二階向后歐拉算法；收斂精度為10-5，每一時間步內最多交叉迭代10次。計算精度為雙精度，以避免計算自由表面曲率時存在較大的舍入誤差。本文定義氣-液兩相均為連續相，同時采用基于密度差異的浮力模型、諧波平均方法，以避免交界面上氣相出現偽速度；采用非均質的自由表面流動模型，以便于將一相流體飛濺到另一相后可以重新分離；采用標準κ-ε模型計算均質化的湍流場，以避免計算發散；采用連續表面張力模型、體積加權的體積分數進行光順；采用流體曳力模型計算相間的動量傳遞，曳力系數取0.44；采用耦合法計算兩相的體積分數。

2 數值計算結果及分析

2.1 懸臂梁的瞬態響應

流體及固體域求解時均采用六面體結構化網格，為驗證計算精度及網格無關性，采用3種不同密度的網格分別進行計算，并基于彈性系統振動響應的數值解及解析公式得到固有圓周頻率Pd、阻尼系數ξ及受迫振動的穩態振幅衰減率Ra。不同網格數下計算結果及計算消耗的對比如表1所示。由表1知：3種網格下Pd、ξ和Ra的結果相近，說明本文采用的網格密度對于懸臂梁減振性能的預測影響不大；Ra的實驗值為65.9%［6］，與計算結果偏差較小，證實了本文數值計算的精度；隨著網格數的增加，CPU時間tCPU成比例增加，考慮時間消耗，在隨后的數值計算中采用第1種網格進行數值模擬。

表1 不同網格數下計算結果及計算消耗對比

加入晃蕩流體前后懸臂梁自由端的瞬態響應對比如圖4所示。從圖4中可見，無論是自由振動還是受迫振動，嵌入晃蕩減振器后懸臂梁的振動均得到抑制。由圖中懸臂梁瞬態響應的數值解可以得到：梁的一階自由振動頻率約為22.03Hz，ξ約為0.033，與解析值略有差異，這可能是梁非線性變形的影響所致；加入了晃蕩減振器后，梁的自由振動頻率減小，約為21.65Hz，ξ增大，約為0.048，這說明晃蕩減振器同時改變了梁的自由振動頻率及阻尼。自由振動衰減的主要因素是阻尼增大，除此之外，受附加液體質量等因素影響而改變的梁的自由振動頻率也會抑制原梁固有頻率激勵下的受迫振動的振幅。

圖4 加入晃蕩流體前后懸臂梁自由端的瞬態響應對比

2.2 晃蕩減振器的原理

一個振動周期內流體晃蕩作用力與梁偏轉相位的關系如圖5所示。從圖5中可見：流體對梁的作用力與正弦曲線相似；無論是梁的自由振動還是受迫振動，兩相流體對梁的作用力均滯后于梁自身位移的相位。這種滯后造成了梁的運動方向與流體作用力方向相反的時間比方向相同的時間長。由牛頓第二定律：力與梁運動方向相同時產生激勵沖量加劇振動；力與梁運動方向相反時產生阻尼沖量抑制振動。圖5中受力曲線與0值水平線所圍面積為沖量，其中陰影部分為阻尼沖量，白色部分為激勵沖量，陰影面積遠大于白色面積?？梢?，流體晃蕩作用力的滯后造成了其對梁的阻礙作用大于激勵作用，這是晃蕩減振的直接原因。

圖5 一個振動周期內流體晃蕩作用力與梁偏轉相位的關系

圖6 距離懸臂梁自由端25mm處晃蕩減振器內在一個振動周期的自由表面變化

從能量角度看：若梁的受力曲線保持簡諧形狀且與自由端位移曲線在相位上保持同步，則說明梁帶動液體晃蕩，或液體帶動梁振動，能量轉化只是在液體的機械能與梁的機械能之間進行，能量的衰減來自于液體剪切流動引發的黏性耗散及梁自身的阻尼耗散；若梁的受力曲線在相位上滯后于自由端位移曲線，則說明梁帶動液體晃蕩，梁在將部分機械能傳遞給液體后，由于運動方向提前改變而需要繼續消耗機械能來消除液體的阻礙，并繼續帶動液體晃蕩，此時能量通過梁與液體的沖撞不斷地轉化為兩者的內能，這樣能量的衰減速度大大提高；若梁的受力曲線在相位上提前于自由端位移曲線，則液體的機械能不斷轉化為梁的機械能，液體引發并加劇了梁的振動。假設梁的受力曲線保持簡諧形狀，晃蕩力滯后1／4周期時液體始終阻礙梁振動，此時減振效果最好；反之，若晃蕩力提前1／4周期時液體始終激勵梁振動。

距離懸臂梁自由端25mm處晃蕩減振器內在一個振動周期的自由表面變化如圖6所示。從圖6中可見：氣液分界面及液體質心隨梁的位移相位φ的變化而不斷變化，當梁在振動平衡位置且具有最大振動速度時（見圖6a或6e），液體明顯偏離平衡位置且聚集在梁振動速度的相反方向上，此時相對速度較??；當梁振動速度逐漸減小時，梁內液體由于梁對其做正功而加速（見圖6b或6f），液體質心不斷遠離梁振動速度負向上的壁面而向正向壁面移動，液體質心繼續移動且通過相對平衡位置，此時液體對梁的作用力反向，相對速度在最大值附近；當梁達到最大位移（見圖6c或6g）時，部分液體沖擊側壁并沿側壁運動到達頂壁（或底邊），但還未達到最大相對位移，此時相對速度減??；當梁速度反向且繼續向平衡位置移動 （見圖6d或6h）時，液體在側壁附近，此時相對速度的方向開始反向，液體通過側壁直到梁再次經過平衡位置。液體的相對運動受流固耦合影響而不再具有完全對稱性，但仍具有一定的周期性?？梢姡后w對梁的作用力滯后是液體晃蕩滯后引起的。

3 液體自由晃蕩對梁振動的影響

液體的晃蕩位移相對于梁的振動具有滯后性，致使梁振動受到抑制。液體在簡諧激勵下的晃蕩可認為是液體進行穩態的簡諧受迫晃蕩與液體在變加速度下進行瞬態自由晃蕩共同作用的結果。液體的穩態受迫晃蕩與外界激勵具有同步性，不會產生滯后，實際上液體晃蕩的滯后是由伴隨的自由晃蕩產生的。液體在容器內偏離了勢能最低的位置后會產生自由晃蕩，如果液體的自由晃蕩頻率低于容器搖擺頻率，則當容器達到最大位移且速度開始反向時，壁面附近的液體受到壁面約束而與容器保持同步，而遠離壁面的液體則受自由晃蕩影響后的相對速度仍未反向，所以液體的整體晃蕩相位將滯后于容器。反之，如果液體的自由晃動頻率高于容器搖擺頻率，則當容器達到最大位移之前液體先貼近壁面并受到約束，所以液體的整體晃蕩相位將與容器搖擺相一致，此時減振容器的搖擺頻率即為固體振動頻率。由此可見，造成振動衰減的液體滯后效應是由自由晃蕩頻率低于固體振動頻率產生的。液體的一階自由晃蕩具有最大的質量偏移，其造成的能量耗散最多，因此本文只考慮一階自由晃蕩頻率對減振的影響。

在簡諧水平激勵下，內嵌晃蕩液體勢能的最低位置不斷變化，此時晃蕩劇烈，能量衰減快，這樣瞬變的自由晃蕩頻率難以直接考察。為此，本文提出采用時均加速度下液體的駐波頻率來代替液體的自由晃蕩頻率，并使用固體振動頻率與駐波頻率的比值γ的方法間接地考察自由晃蕩對振動的影響。液體晃蕩是自由表面波傳播的過程，當外在加速度固定不變且波幅遠小于水深及波長時，表面波到達壁面后會形成反射波，并與原來的波經疊加形成駐波，即自由晃蕩以固定頻率小波幅進行。簡化模型的駐波圓周頻率解析解如下

式中：a為等效合加速度；B為等效容器寬度；d為等效水深；i為駐波階數。忽略容器形狀、晃蕩幅度等因素的影響，假設時均加速度下的駐波頻率為液體在相同加速度下的瞬時自由晃蕩頻率。當γ=1、簡諧加速度的瞬時值小于時均值時，液體瞬時自由晃蕩頻率小于振動頻率，液體晃蕩滯后。盡管液體的實際瞬時自由晃蕩頻率受諸多因素的影響，其與駐波頻率的比例關系并不固定，但駐波頻率確實在液體自由晃蕩頻率的變化范圍內。對于確定的晃蕩減振器，γ可以作為衡量液體滯后現象發生的量度：γ值越大，振動頻率將在更多的時間內大于液體瞬時自由晃蕩頻率，晃蕩液體的滯后現象越明顯，液體阻尼沖量所占的比例就越大；在晃蕩強度相同的情況下，相同質量的液體對固體振動的衰減效應越強。因此，γ較大，意味著晃蕩液體的滯后及減振能力較大。下面用2個數值模擬的算例來驗證γ的參考作用。算例1 薄片方形容器內擁有一階駐波頻率為5Hz的水，質量為1g，容器分別以2.5Hz、10Hz的簡諧頻率振動，振幅恒定為5mm，此時考察γ分別為0.5、2.0時液體晃蕩對容器的作用力。假設在等振幅晃蕩的3～5個周期，內嵌水的受迫晃蕩趨于穩定。此區間內嵌水對容器的作用力與容器振動相位的關系如圖7所示。

圖7 內嵌水對容器的作用力與容器振動相位的關系

從圖7中可見：當容器以2.5Hz頻率振動時，容器振動頻率低于時均加速度下的駐波頻率，容器的受力曲線相位相對于容器位移相位時前時后，此時晃蕩對容器壁面的總沖量約為1.039 6×10-3N·s，其中激勵沖量約為4.964×10-4N·s，抑制沖量約為5.432×10-4N·s，凈抑制沖量占總體的4.5%，顯然減振效果不好；當容器以10Hz頻率振動時，容器振動頻率高于時均加速度下的駐波頻率，受力曲線相位基本上落后于容器位移相位，第4周期的相位差尤較大，此時晃蕩對容器壁面的總沖量約為2.843×10-3N·s，其中激勵沖量約為1.213×10-3N·s，抑制沖量約為1.63×10-3N·s，凈抑制沖量約占總體的14.65%，顯然減振能力增強。這證實了較大的γ更容易造成液體晃蕩相位滯后，從而減振效果得以增強。

算例2 在懸臂梁內嵌入3種不同大小的減振器，通過改變充液比例或懸臂梁尺寸使γ發生變化，以此模擬懸臂梁自由衰減振動過程，同時用等效阻尼系數ξeq來考察減振器內單位質量液體的減振能力

式中：ξt為梁內置減振器后的整體阻尼系數；ξs為懸臂梁自身阻尼系數；Qw、Qb分別為晃蕩液體與懸臂梁的質量。數值模擬的參數與計算得到的減振效果如表2所示。從表2結果可見，3種不同的晃蕩減振器中，ξeq均隨著γ的增加而增大，這佐證了隨著γ的增大，液體的晃蕩滯后效應增強，相同質量的液體可以產生更多的阻尼沖量。

在設計或優化內嵌式晃蕩減振器時，相較于數值模擬方法，γ計算簡單、易行，是一個設計參考依據，但不能用于不同晃蕩減振器之間的橫向比較，僅可作為設計或優化已知晃蕩減振器中某一項參數時的參考依據。表2中的數據也證實了這一點。

表2 不同γ下3種減振器的減振能力對比

4 結 論

內嵌式晃蕩減振除了流體黏性耗散、附加質量改變固有頻率等因素外，內部液體的相對運動，即受迫晃蕩滯后于梁的振動，也是造成液體阻尼沖量大于激勵沖量的主要原因。滯后現象越明顯，阻尼沖量的比例越大，液體晃蕩的減振效果越強。液體受迫晃蕩時受自由晃蕩頻率的影響，自由晃蕩頻率小于振動頻率將造成受迫晃蕩滯后。簡諧加速度激勵下液體瞬時自由晃蕩頻率難以預測，其對受迫晃蕩滯后的影響可以用振動頻率與時均加速度下的駐波頻率的比值γ來考察。用數值模擬的方法分析固定頻率晃蕩的方形容器內液體的作用力，以及內置不同尺寸減振器的懸臂梁自由衰減振動，都證實了一個較大的γ值有助于提高單位質量晃蕩液體的減振能力，該方法可為晃蕩減振器的參數設計與優化提供參考。

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