磁性液體兩相界面演變特性的數(shù)值研究

施東曉,畢勤成,周榮啟

(西安交通大學(xué)動(dòng)力工程多相流國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 710049, 西安)

磁性液體兩相界面演變特性的數(shù)值研究

施東曉,畢勤成,周榮啟

(西安交通大學(xué)動(dòng)力工程多相流國(guó)家重點(diǎn)實(shí)驗(yàn)室, 710049, 西安)

為了克服VOF,Level Set等方法在磁性液體兩相流動(dòng)研究中存在的不足,采用界面追蹤法(VOSET, coupled Volume-of-Fluid and Level Set)捕捉相界面,將磁場(chǎng)力作為源項(xiàng)添加到流體運(yùn)動(dòng)的動(dòng)量方程中,建立了磁性液體流場(chǎng)與磁場(chǎng)耦合的數(shù)值方法。推導(dǎo)了麥克斯韋方程的二維理論解并用于驗(yàn)證數(shù)值解,兩者吻合良好,驗(yàn)證了磁場(chǎng)求解的正確性;同時(shí)通過(guò)模擬磁性液體液滴的平衡形狀驗(yàn)證了本數(shù)值方法的準(zhǔn)確性;進(jìn)而分別研究了均勻磁場(chǎng)作用下磁性液體液滴振蕩及非磁性氣泡在磁性液體中上升的問(wèn)題。研究結(jié)果表明,液滴或氣泡均會(huì)沿磁場(chǎng)方向拉長(zhǎng),增大磁場(chǎng)強(qiáng)度或磁化率將導(dǎo)致更顯著的變形;磁感線在相界面出現(xiàn)彎曲,彎曲方向指向磁導(dǎo)率較大的介質(zhì)。

磁性液體;兩相流;數(shù)值模擬;界面追蹤法

磁性液體(ferrofluids或magnetic fluids)是含有顆粒直徑10nm左右的單磁疇磁性顆粒穩(wěn)定膠體懸浮液[1]。與磁流變流體在外加強(qiáng)磁場(chǎng)中會(huì)發(fā)生固化不同,包覆在顆粒表面的活性劑分子使得磁性液體仍可以保持良好的流動(dòng)性。憑借獨(dú)特的磁性與流動(dòng)性,磁性液體在真空密封、揚(yáng)聲器冷卻、生物醫(yī)學(xué)工程等領(lǐng)域已有了一定的實(shí)際應(yīng)用[2]。在這些應(yīng)用中,往往涉及到了帶有相界面的磁性液體兩相流動(dòng)。由于外部磁場(chǎng)施加在相界面上麥克斯韋應(yīng)力的作用,磁性液體的自由表面流動(dòng)與普通流體存在很大的差異。研究表明,磁性液體液滴或磁性液體中的非磁性氣泡均會(huì)沿磁場(chǎng)方向拉長(zhǎng)[3-4],施加一個(gè)非均勻磁場(chǎng)可以控制磁性液體液滴的運(yùn)動(dòng)軌跡[5-6],這使得遠(yuǎn)程非接觸操控液滴成為可能。建立準(zhǔn)確的數(shù)理模型有助于進(jìn)一步揭示磁場(chǎng)和流場(chǎng)的耦合機(jī)制,拓展磁性液體的應(yīng)用。

氣泡或液滴的運(yùn)動(dòng)是兩相流中的基本問(wèn)題,目前已有學(xué)者針對(duì)磁性液體氣泡/液滴的行為開(kāi)展了相關(guān)的研究。Korlie等采用VOF方法模擬了氣泡在磁性液體中的上升過(guò)程[7];Zhu等運(yùn)用Level Set方法研究了磁性液體液滴在超疏水表面上的非線性變形[8];Liu等采用Particle Level Set方法模擬了微流體流動(dòng)聚焦結(jié)構(gòu)中磁性液體液滴的生成過(guò)程[9]。VOF和Level Set方法因?yàn)榭梢蕴幚韼в袕?fù)雜界面拓?fù)渥兓膬上嗔鲃?dòng)問(wèn)題而被廣泛采用,但這兩種方法均存在各自的缺點(diǎn)。VOF計(jì)算界面曲率及法向不夠準(zhǔn)確,且求得的界面附近的物性分布是不連續(xù)的,將影響表面張力和磁力的計(jì)算精度;Level Set則存在質(zhì)量損失問(wèn)題,難以模擬尖銳的界面。Particle Level Set雖然能夠在一定程度上解決質(zhì)量損失問(wèn)題,但該方法執(zhí)行較為復(fù)雜,通用性不強(qiáng)。界面追蹤法(VOSET)[10]是近幾年剛提出的一種耦合VOF和Level Set方法的新型界面捕捉技術(shù),不僅繼承了VOF方法的高質(zhì)量守恒性,還結(jié)合了Level Set函數(shù)光滑性好的優(yōu)點(diǎn),可以提高界面曲率的計(jì)算精度并光順界面附近突變的物理量。VOSET只需求解流體體積函數(shù)的輸運(yùn)方程,而Level Set函數(shù)則是通過(guò)幾何方法確定,極大地簡(jiǎn)化了計(jì)算過(guò)程。

本文首次將VOSET方法與磁場(chǎng)力模型相結(jié)合,建立了模擬均勻磁場(chǎng)中磁性液體不可壓縮兩相流動(dòng)的二維數(shù)值模型。控制方程包括靜磁場(chǎng)非導(dǎo)電流體的麥克斯韋方程,以及耦合表面張力和磁力的動(dòng)量方程。為了驗(yàn)證麥克斯韋方程求解的準(zhǔn)確性,首先推導(dǎo)了適用于二維坐標(biāo)系下的磁勢(shì)拉普拉斯方程的理論解,并將數(shù)值解與其進(jìn)行對(duì)比。同時(shí)通過(guò)模擬磁性液體液滴的平衡形狀驗(yàn)證了本數(shù)值方法的正確性。隨后根據(jù)本文建立的數(shù)值模型分別研究了均勻磁場(chǎng)作用下磁性液體液滴振蕩及氣泡在磁性液體中上升的問(wèn)題。

1 數(shù)學(xué)模型與數(shù)值方法

1.1 控制方程

假設(shè)納米磁性顆粒在基液中為均勻的單分散狀態(tài),且相互之間不發(fā)生作用,在對(duì)磁性液體宏觀行為的研究中,可以將磁性液體當(dāng)作性質(zhì)單一的均勻流體進(jìn)行處理[7,9]。磁場(chǎng)對(duì)磁性液體界面變形的影響來(lái)源于作用在相界面上的麥克斯韋應(yīng)力,該應(yīng)力可以簡(jiǎn)化為界面上的法向應(yīng)力。考慮不可壓縮兩相流體的流動(dòng),表面張力和磁力存在于相界面,連續(xù)方程及動(dòng)量方程可描述為

(1)

(2)

式中:u、ρ、η和p分別為流體的速度、密度、黏度和壓力;Fσ為表面張力。方程(2)右邊的最后一項(xiàng)為磁力項(xiàng),采用與表面張力相同的處理方式,將磁力以源項(xiàng)的形式添加到動(dòng)量方程中。麥克斯韋應(yīng)力張量τm有如下形式

(3)

式中:μ為磁導(dǎo)率;H為外加磁場(chǎng);I為單位張量。

1.2 界面追蹤法

VOSET采用VOF方法捕捉相界面,保持了兩相間的質(zhì)量守恒;構(gòu)造界面附近的Level Set符號(hào)距離函數(shù)φ用來(lái)計(jì)算界面曲率、法向和光滑不連續(xù)的物性,克服了VOF方法計(jì)算曲率不精確和光滑物性差的缺點(diǎn)。

在VOF方法中,采用流體體積函數(shù)C表示計(jì)算單元中流體占據(jù)單元空間的體積分?jǐn)?shù),定義C=0表示網(wǎng)格內(nèi)全為連續(xù)相,C=1表示網(wǎng)格內(nèi)全為離散相,0

(4)

方程(4)的求解和相界面的重構(gòu)采用了Youngs的PLIC算法[11]。

根據(jù)求得的流體體積函數(shù),通過(guò)迭代幾何計(jì)算方法求出界面兩側(cè)各3倍網(wǎng)格寬度區(qū)域內(nèi)的Level Set函數(shù),步驟如下:①在整個(gè)計(jì)算區(qū)域內(nèi)為L(zhǎng)evel Set函數(shù)賦初值;②標(biāo)識(shí)相界面附近的計(jì)算單元;③計(jì)算標(biāo)識(shí)區(qū)域內(nèi)單元(i,j)到界面的最短距離d,根據(jù)下式確定符號(hào)距離函數(shù)的值

(5)

④用求得的Level Set函數(shù)φ重新求界面法向n=φ/|φ|,根據(jù)新的法向再次構(gòu)造界面,重復(fù)步驟③、④,詳細(xì)的計(jì)算過(guò)程參考文獻(xiàn)[10]。

采用Level Set函數(shù)來(lái)光滑密度、黏度和磁導(dǎo)率

ρ(φ)=ρd+(ρc-ρd)Hε(φ)

(6)

η(φ)=ηd+(ηc-ηd)Hε(φ)

(7)

μ(φ)=μd+(μc-μd)Hε(φ)

(8)

式中:下標(biāo)d和c分別表示離散相和連續(xù)相;Hε(φ)為光滑Heaviside函數(shù)[12],其表達(dá)式為

(9)

本文取系數(shù)ε=1.5Δ,其中Δ為網(wǎng)格寬度。

表面張力由連續(xù)表面力(CSF)模型給出,寫成Level Set函數(shù)形式[12]有

Fσ=-σκ(φ)Hε(φ)

(10)

式中:σ為表面張力系數(shù);κ為界面曲率,由下式得出

κ(φ)=·

(11)

1.3 磁場(chǎng)力模型

一般認(rèn)為磁性液體為非導(dǎo)電流體,且流體中不存在位移電流,描述磁場(chǎng)的麥克斯韋(Maxwell)方程組則可簡(jiǎn)化為

(12)

施加外磁場(chǎng)時(shí),磁性液體內(nèi)部的磁性顆粒磁矩沿外磁場(chǎng)方向排列,使得磁性液體對(duì)外顯磁性,定義單位體積內(nèi)顆粒磁矩的矢量和為磁化強(qiáng)度M。磁感應(yīng)強(qiáng)度B、磁場(chǎng)強(qiáng)度H以及磁化強(qiáng)度M之間滿足本構(gòu)關(guān)系

B=μ0(H+M)

(13)

(14)

引入標(biāo)量磁勢(shì)ψ,定義H=-ψ,將方程(12)的求解轉(zhuǎn)化為求解關(guān)于磁勢(shì)的拉普拉斯方程·(μψ)=0

(15)

在外加磁場(chǎng)作用下,流體中產(chǎn)生的磁界面力可以由麥克斯韋應(yīng)力張量給出Fm=·τm,采用與表面張力相同的處理方式,將表面力轉(zhuǎn)化為體積力,那么單位體積磁力的表達(dá)式為[1]

Fm=-μ0H,TdH+μ0MH

(16)

磁化強(qiáng)度M(μ,H,T)為外磁場(chǎng)和溫度的函數(shù),將式(16)展開(kāi)得

Fm=-μ0MdH+μ0υH,TdH+

μ0MH

(17)

式(17)右邊第一項(xiàng)表示流體-磁壓力項(xiàng),即

(18)

(19)

此外,式(17)右邊第二項(xiàng)為磁致伸縮壓力項(xiàng),即

(20)

將M=(μ-μ0)H/μ0及比容υ=1/ρ代入上式,得ps=0。

基于以上分析,磁力公式(16)最終簡(jiǎn)化為

(21)

1.4 數(shù)值方法

在二維均勻直角網(wǎng)格上采用有限容積法離散控制方程,磁勢(shì)方程(15)的離散采用二階精度的中心差分法,方程(1)和(2)的求解在交錯(cuò)網(wǎng)格上執(zhí)行,壓力與速度的耦合采用SIMPLER算法。一個(gè)時(shí)間步長(zhǎng)內(nèi)的計(jì)算過(guò)程如下:①由t時(shí)刻的流體體積函數(shù)Cn根據(jù)VOSET方法求出Level Set函數(shù)φn;②求解方程(15)獲得磁場(chǎng)分布Hn;③ 由求得的φn和Hn計(jì)算表面張力和磁力,代入方程(2),求出t+1時(shí)刻的速度場(chǎng)un+1;④根據(jù)新的速度場(chǎng)un+1,采用Youngs的PLIC界面重構(gòu)技術(shù)構(gòu)造下一時(shí)刻的界面Cn+1。

2 結(jié)果與分析

2.1Maxwell方程求解與驗(yàn)證

導(dǎo)磁圓球在均勻磁場(chǎng)中的磁勢(shì)方程存在理論解[1],可用于驗(yàn)證Maxwell方程的數(shù)值解。球坐標(biāo)系下磁勢(shì)理論解表征的是三維磁場(chǎng)分布,針對(duì)二維情況,圓球模型不再適用,應(yīng)采用無(wú)限長(zhǎng)圓柱體模型,如圖1所示,計(jì)算區(qū)域?yàn)長(zhǎng)X×LY,中心圓柱體半徑為R,內(nèi)部磁導(dǎo)率為μ1,外部磁導(dǎo)率為μ2,施加豎直向上的均勻磁場(chǎng)H0。

圖1 計(jì)算模型示意圖

(22)

式中:r為空間中任意一點(diǎn)到圓心的距離。方程(22)的解為

(23)

根據(jù)磁勢(shì)定義可求得磁場(chǎng)分布

(24)

Maxwell方程的邊界條件[1]為

n·(B1-B2)=0

n×(H1-H2)=0

(25)

式中:n為界面法向;B1、B2、H1和H2分別表示界面兩側(cè)的磁感應(yīng)強(qiáng)度和磁場(chǎng)強(qiáng)度矢量。由式(25)可知B場(chǎng)在界面法向連續(xù),即B1n=B2n;H場(chǎng)在界面切向連續(xù),即H1t=H2t。當(dāng)r→∞時(shí),H=H0j(j=ersinθ+eθcosθ),因此E=-H0。根據(jù)界面邊界條件,求得系數(shù)A和D

(26)

采用有限容積法離散磁勢(shì)方程,對(duì)于二維直角坐標(biāo),磁勢(shì)方程(15)可寫成

(27)

選取計(jì)算參數(shù):LX=0.02m,LY=0.02m,R=0.002m,μ2=μ0,μ1=2μ0,H0=1 kA·m-1,網(wǎng)格200×200。圖2對(duì)比了y軸上的磁場(chǎng)值,理論解求得圓內(nèi)磁場(chǎng)值為0.667 kA·m-1,數(shù)值解為0.662kA·m-1,兩者基本吻合,表明Maxwell方程求解是正確的。

圖2 沿y軸(x=0.01 m)的磁場(chǎng)強(qiáng)度

圖3給出了圓柱周圍磁場(chǎng)及磁感線的分布,圓柱內(nèi)部磁場(chǎng)分布均勻,磁感線與外磁場(chǎng)同向;圓柱內(nèi)外磁導(dǎo)率的突變導(dǎo)致磁感線在界面附近發(fā)生扭曲,而在遠(yuǎn)離圓柱的區(qū)域又恢復(fù)為均勻。

圖3 磁場(chǎng)及磁感線分布

2.2 磁性液體液滴的平衡形狀

為驗(yàn)證本文建立的模型及方法,首先計(jì)算了初始靜止的磁性液體液滴在均勻磁場(chǎng)中的平衡形狀問(wèn)題,并將計(jì)算結(jié)果與Flament等人的實(shí)驗(yàn)結(jié)果[13]進(jìn)行對(duì)比。半徑R=0.001 m的液滴位于8R×8R的區(qū)域中心,磁化率為2.2,表面張力為3.07 mN·m-1,不計(jì)重力,壁面采用無(wú)滑移速度邊界條件,計(jì)算網(wǎng)格取128×128。圖4給出了不同大小磁場(chǎng)作用下液滴的平衡形狀及高寬比與實(shí)驗(yàn)結(jié)果的對(duì)比。定義液滴在平行和垂直于磁場(chǎng)方向上的直徑的比值E來(lái)表征液滴的變形程度[14]。圖4中工況1～4所對(duì)應(yīng)的磁場(chǎng)大小分別為1.2、2.4、2.9及3.7 kA·m-1。可以看出,計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果吻合較好,證明本文的數(shù)值算法可有效地計(jì)算磁性液體的兩相流動(dòng)問(wèn)題。

圖4 計(jì)算結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果[13]的對(duì)比

2.3 磁性液體液滴振蕩

下面模擬磁性液體液滴在均勻磁場(chǎng)中的振蕩過(guò)程。計(jì)算區(qū)域?yàn)?.08 m×0.08 m,半徑為0.01 m的圓形液滴位于區(qū)域中心,液滴及周圍空氣的物性參數(shù)為ρd=103kg·m-3,ρc=1 kg·m-3,ηd=10-3Pa·s,ηc=10-5Pa·s,μd=10μ0,μc=μ0,σ=0.1 N·m-1。外加豎直向上的均勻磁場(chǎng)H0=2kA·m-1,不考慮重力,四周設(shè)為無(wú)滑移固壁,計(jì)算網(wǎng)格取112×112。

施加磁場(chǎng)后,麥克斯韋應(yīng)力在液滴沿磁場(chǎng)方向的兩極取最大[7],為保持法向應(yīng)力平衡,液滴沿磁場(chǎng)方向拉伸成扁長(zhǎng)形狀,而表面張力阻礙了液滴的進(jìn)一步拉伸,因此在磁力和表面張力的共同作用下液滴沿豎直方向振蕩變形,如圖5a～5f所示。圖5g～5i為對(duì)應(yīng)于圖5a～5c時(shí)刻的磁感線分布,可以看出磁感線隨液滴形狀的變化而改變,且磁感線朝著液滴方向彎曲,這是由于液滴磁導(dǎo)率大于空氣磁導(dǎo)率。

(a)0s (b)0.07 s (c)0.16 s

(d)0.24s (e)0.30s (f)0.37 s

(g)0s (h)0.07 s (i)0.16 s

2.4 磁性液體中氣泡上升

考慮8R×16R的計(jì)算區(qū)域,半徑R=0.004m的氣泡初始位于(4R,4R),均勻磁場(chǎng)豎直向上,網(wǎng)格取112×224。采用Eo數(shù)和Mo數(shù)描述氣泡的運(yùn)動(dòng)特性

(28)

(a)無(wú)磁場(chǎng) (b)豎直磁場(chǎng)(Bom=4)

圖7為0.16 s時(shí)不同磁場(chǎng)中的氣泡形狀及磁感線分布,Bom=2時(shí)磁場(chǎng)較弱,氣泡仍為扁平的橢圓形;隨著磁場(chǎng)強(qiáng)度的增大,氣泡逐漸沿磁場(chǎng)方向變形,且磁場(chǎng)越強(qiáng)變形越明顯。磁感線在氣泡附近發(fā)生扭曲,并背離氣泡方向彎曲,與磁性液體液滴的情況相反。

(a)Bom=2 (b)Bom=4

(c)Bom=6 (d)Bom=8

另外,由磁力公式(21)可知,磁力的大小與磁化率成正比,因此氣泡的運(yùn)動(dòng)行為還受磁化率的影響。圖8展示了相同磁場(chǎng)作用下不同磁化率時(shí)的氣泡形狀(Bom=4,t=0.16 s),可以看出氣泡的變形程度隨著磁化率的增加而增大。

(a=1 (b=2

(c=3 (d=4

圖9給出了氣泡的高寬比、最終速度與Bom及磁化率的關(guān)系。由于增大磁場(chǎng)強(qiáng)度(Bom)或磁化率均會(huì)增大磁力,從而促進(jìn)了氣泡沿磁場(chǎng)方向上的變形。氣泡的高寬比越大,受到的阻力越小,上升得越快,因此氣泡的形狀影響著氣泡的上升速度。

(a)氣泡的高寬比及速度與Bom的關(guān)系

(b)氣泡的高寬比及速度的關(guān)系

3 結(jié) 論

本文對(duì)磁場(chǎng)力模型進(jìn)行了詳細(xì)推導(dǎo),采用與表面張力相同的處理方法,給出了磁力的最終表達(dá)式,并作為源項(xiàng)添加到動(dòng)量方程中,結(jié)合VOSET方法,建立了模擬磁性液體不可壓縮兩相流動(dòng)的二維數(shù)值模型。推導(dǎo)了Maxwell方程的二維理論解,并分別計(jì)算了均勻磁場(chǎng)中磁性液體液滴振蕩與氣泡在磁性液體中上升的問(wèn)題,得出以下結(jié)論。

(1)Maxwell方程的數(shù)值解與推導(dǎo)的理論解吻合較好,表明本數(shù)值方法求解Maxwell方程的正確性。

(2)麥克斯韋應(yīng)力在磁性液體液滴沿磁場(chǎng)方向的兩極取最大,為保持法向應(yīng)力平衡,液滴被拉長(zhǎng)為扁長(zhǎng)的形狀,而表面張力阻礙了液滴的進(jìn)一步拉伸,液滴最終在磁力和表面張力的作用下振蕩變形。

(3)磁性液體中的非磁性氣泡在磁場(chǎng)作用下克服表面張力沿磁場(chǎng)方向拉伸變形,增大磁場(chǎng)強(qiáng)度或磁導(dǎo)率均會(huì)增大氣泡的高寬比,減小了氣泡在運(yùn)動(dòng)方向上的阻力,提高了上升速度。

(4)磁感線隨著液滴或氣泡形狀的變化而變化,并在界面附近(磁導(dǎo)率突變的位置)發(fā)生扭曲,彎曲方向指向磁導(dǎo)率較大的介質(zhì)。

(5)本文建立的磁性液體流場(chǎng)與磁場(chǎng)耦合的數(shù)值方法,可以為帶有相界面的磁性液體流動(dòng)研究提供理論基礎(chǔ)。

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(編輯 荊樹(shù)蓉)

NumericalInvestigationontheEvolutionCharacteristicsofTwo-PhaseInterfaceinFerrofluids

SHI Dongxiao,BI Qincheng,ZHOU Rongqi

(State Key Laboratory of Multiphase Flow in Power Engineering, Xi’an Jiaotong University, Xi’an 710049, China)

To overcome the disadvantages of VOF and Level Set methods in the research of ferrofluid two-phase flows, a numerical method coupling the flow field with magnetic field of ferrofluids was developed, where the evolution of interface was captured by the VOSET (coupled Volume-of-Fluid and Level Set) method, and the magnetic force was added into the momentum equation as a source term. To verify the accuracy of solving magnetic fields, a 2D analytical solution of Maxwell equations was derived and used to validate the numerical solution. The numerical results were in good agreement with the theoretical values. Then, the equilibrium shape of a ferrofluid droplet was simulated which verified the validity of our numerical method. Based on the proposed method, the droplet oscillation and rising bubble problems in the presence of magnetic fields were numerically investigated. The results showed that both the droplet and bubble were stretched in the direction of magnetic field, and the increase in either magnetic field strength or magnetic susceptibility would lead to a more significant deformation. Note that the magnetic field lines were distorted in the vicinity of interface with the bending direction pointing to the medium with a higher susceptibility.

ferrofluids; two-phase flow; numerical simulation; interface tracking method

2014-02-04。

施東曉(1987—),男,博士生;畢勤成(通信作者),男,教授,博士生導(dǎo)師。

國(guó)家自然科學(xué)基金資助項(xiàng)目(11072189);國(guó)家“863計(jì)劃”資助項(xiàng)目(2008AA05Z417)。

時(shí)間:2014-06-13

10.7652/xjtuxb201409021

O359.1

:A

:0253-987X(2014)09-0123-07

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