城軌列車反推自動停車控制算法

張夢楠，徐洪澤

（北京交通大學軌道交通控制與安全國家重點實驗室，100044，北京）

城軌列車自動駕駛系統(tǒng)（ATO）主要用于列車 運行速度和運行狀態(tài)的自動控制，是列車安全、高效運行的重要保障。自動停車是ATO系統(tǒng)的重要功能之一，即實現(xiàn)列車在站臺或屏蔽門處的精確制動。對于城軌列車，停車點處誤差需要控制在±（0.3～0.5）m之間。因此，設計高性能的自動停車控制器以滿足停車精度的苛刻要求是十分必要的。

列車停車精度主要受到2個因素的制約。首先，閘瓦摩擦系數(shù)的非線性是導致停車精度下降的一個重要原因［1］。由于閘瓦摩擦系數(shù)受到閘瓦材料、列車運行速度的影響，因此其實際值與理論設計值會存在一定偏差，從而使制動力偏離設計值。制動系統(tǒng)的動態(tài)特性是影響停車精度的另一個因素［2］。實際的制動力在制動指令發(fā)出后通常要經過一定時間才能達到期望值，如果這一過渡過程在控制器設計階段被忽略，那么實際的停車點將嚴重偏離期望的停車點。

早期的列車控制系統(tǒng)采取PID控制方法，根據(jù)運行模式控制列車的目標速度［2］。現(xiàn)階段，針對列車控制系統(tǒng)的非線性特性，控制器通常采用智能化方法，如模糊控制、預測控制和神經網絡控制［3-4］。文獻［5］從能耗的觀點提出用遺傳算法對列車運行過程進行優(yōu)化。為處理列車模型中的不確定參數(shù)，控制器同時采取了自適應控制策略［6-7］。文獻［7］基于Pade近似和自適應方法處理制動模型中的時滯及外部擾動。盡管上述方法從不同方面提升了控制器的性能，但被控對象中的非線性和輸入時滯這2個問題仍然沒有得到充分的解決。

近年來，研究人員針對時滯系統(tǒng)相繼提出了很多與延時相關的研究成果，常用的反推技術也被擴展到時滯系統(tǒng)的控制中［8］。但是，由于控制器無法利用當前時刻狀態(tài)，所以輸入時滯系統(tǒng)的控制仍然是一個開放的問題［9］。Bekiaris等利用反推技術處理了具有輸入延時、狀態(tài)延時的線性系統(tǒng)［10］，Mazenc等則進一步將反推控制策略擴展到具有時滯的非線性系統(tǒng)中［11-12］。然而，上述方法由于對實際應用中的輸入時滯、非線性等問題缺少分析，因而使用受到限制。

本文提出一種新型反推自動停車控制器，用以消除制動過程中閘瓦摩擦系數(shù)的非線性特性以及系統(tǒng)輸入時滯的影響，實現(xiàn)城軌列車的自動停車控制。首先，建立了描述列車制動動態(tài)特性的非線性數(shù)學模型，克服了傳統(tǒng)模型中制動減速度難以測量的缺點；接著，基于Krasovskii泛函算子研究了當前時刻狀態(tài)與過去時刻狀態(tài)之間的關系，并結合反推技術設計了自動停車控制器，使制動系統(tǒng)鎮(zhèn)定；最后，利用Matlab仿真軟件對制動系統(tǒng)進行了數(shù)值仿真，結果表明，該方法在獲得理想的停車精度的同時保證了列車運行的平穩(wěn)性。

1 電空制動系統(tǒng)模型

1.1 電空制動系統(tǒng)工作原理

電空制動系統(tǒng)已廣泛應用于高鐵、城市軌道交通中，其信號流和單輪物理模型如圖1所示。圖中的信號流包括微制動控制單元（MBCU）、電空閥、中繼閥以及基礎制動裝置。首先，MBCU根據(jù)控制器發(fā)出的制動減速度指令β0產生對應制動力的電信號I0，電空閥將I0轉化為空氣壓力信號p0，中繼閥實現(xiàn)流量放大功能，使制動缸內的壓力p迅速達到p0。基礎制動裝置包括制動缸和制動閘瓦，是產生最終制動力的實際裝置。閘瓦作用在車輪上的壓力為K，車輪與閘瓦之間的摩擦系數(shù)為μ。根據(jù)力矩平衡原理，實際制動力B=Kμ。

圖1 電空制動系統(tǒng)示意圖

1.2 電空制動系統(tǒng)數(shù)學模型

理想制動力計算公式為

式中：B0為理想制動力；kb為比例系數(shù)；μ′為理想閘瓦摩擦系數(shù)；p0為制動缸內的標準壓強［13］。同樣，列車的實際制動力計算公式為

式中：B為實際制動力；μ為實際閘瓦摩擦系數(shù)；p為制動缸內的實際壓強。

制動缸壓強的動態(tài)特性描述為

式中：T為制動缸的時間常數(shù)［13-14］。

取列車運行方向為正方向，由式（2）和式（3）得

式中：β=B／mb為實際制動減速度；β0=B0／mb為控制器輸出，表示期望制動減速度。

實際上，閘瓦摩擦系數(shù)為列車速度v的非線性函數(shù)，μ=μ（v），其表達式為

式中：α1、α2和α3為未知正常數(shù)，其值可由實驗得到。由文獻［14］，閘瓦摩擦系數(shù)的表達式為

實際制動控制中閘瓦摩擦系數(shù)的設計值通常取為μ′=α3=0.221。

除了非線性特性，列車制動系統(tǒng)中還同時存在時滯現(xiàn)象。引起輸入時滯的因素很多，包括壓力空氣的傳播速度，MBCU計算和分配制動減速度的時間，電空閥、中繼閥的響應時間等。用參數(shù)τ表示制動系統(tǒng)中全部的時滯。

基于上述分析，制動系統(tǒng)非線性數(shù)學模型為

式中：x1為列車的位置；x2為列車的速度；u（t）為停車控制器發(fā)出的制動指令，其物理意義為期望的減速度；τ為制動系統(tǒng)延時；g（x2）=0.624e-0.168x2+1；ˉz=kbμ′p／mb。由于列車裝備了速度傳感器、位置傳感器、壓力傳感器以及空氣彈簧，因此狀態(tài)變量均為可測的。控制系統(tǒng)框圖如圖2所示，圖中的s為拉普拉斯算子。

圖2 控制系統(tǒng)框圖

2 自動停車控制器設計

2.1 自動停車控制器設計目標

列車的制動過程可以由速度-位置曲線來描述。假設列車的初始位置-xr＜0，狀態(tài)變量x1∈［-xr，0］；列車初始速度v0＞0，狀態(tài)變量x2滿足x2∈［0，v0］；期望的停車點為原點。那么，城軌列車實際制動的速度-位置曲線如圖3所示。

圖3 城軌列車制動曲線

控制器的設計目標為：列車制動初始位置為-xr，制動初始速度為v0，在保障列車運行平穩(wěn)性的前提下，基于制動系統(tǒng)（8）設計自動停車控制器u（t），使得列車準確地在坐標原點處停車。

2.2 自動停車控制器設計

令ˉz（t）=z（t）／T，式（8）可以重寫為

顯然，z（t）為無延時子系統(tǒng)的虛擬輸入。由于無延時子系統(tǒng)具有下三角結構，因此可以通過經典的反推控制策略設計z（t），使子系統(tǒng)漸近穩(wěn)定。

步驟1 令z1=x1，為使無延時子系統(tǒng)第一個方程漸進穩(wěn)定，x2的期望值

為一正定函數(shù)［15］。

步驟3 基于反推控制思想，實際控制器u（t）=u（x，~z）應當使得狀態(tài)變量~z→0，t→∞。將~z（t）用2個Krasovskii泛函算子來表達，即Ψ：Cin→R和Π：Cin→R，有

式中：Cin=C（［-τ，0］，Rp）表示定義域為［-τ，0］、值域在集合Rp上的全部連續(xù)函數(shù)，p為正整數(shù)；xt（·）表示xt（θ）=x（t+θ），-τ≤θ≤0；φ（θ）表示函數(shù)x（·）的初始狀態(tài)，即x（t0+θ）=φ（θ），-τ≤θ≤0，t0為初始時刻；L為負常數(shù)。

引理1 針對系統(tǒng)（15），設計控制器

則Krasovskii泛函算子Π（t）以指數(shù)收斂到0。證明 由Π（t）的定義可得

將控制器（19）代入到Π（t）的導數(shù)中，可得

由于L＜0，故Π（t）以指數(shù)收斂于0。證畢。

下面提出系統(tǒng)的可鎮(zhèn)定條件假設、延時假設以及邊界條件假設。

假設1 對于?x1∈［-xr，0］和x2∈［0，v0］，存在常數(shù)c1、c2和c3，滿足

式中：G1（x）為非負函數(shù)。

假設2 系統(tǒng)延時τ及常數(shù)c1～c3滿足如下不等式

假設3 列車制動初始位置為-xr，初始速度為v0，|βmax|為最大制動減速度，則上述變量滿足：／2|βmax|；系統(tǒng)狀態(tài)變量滿足x1∈［-xr，0］，x2∈［0，v0］，z∈［0，|δβmax|］，其中δ為比例系數(shù)；狀態(tài)變量均為連續(xù)的且一階導數(shù)存在。

基于上述分析，當制動系統(tǒng)滿足假設1～3，則閉環(huán)自動停車控制器（19）可以表示為

2.3 自動停車控制器性能分析

首先引入Krasovskii泛函算子γ：Cin→R

選取參數(shù)c5～c9及kΠ如下

根據(jù)c2的定義，式（32）可進一步化為

根據(jù)式（30）和（33），U2的導數(shù)滿足

由于c1～c9均為正常數(shù)，所以Krasovskii泛函的導數(shù)為負定的。根據(jù)文獻［15-16］，泛函U（t）滿足Lyapunov-Krasovskii穩(wěn)定性定理對初始條件的要求，因此可得制動系統(tǒng)（8）、（9）為一致漸近穩(wěn)定的［16］，即列車在期望的停車點處準確停車。

3 數(shù)值仿真

為驗證自動停車算法的有效性，在Matlab／Simulink環(huán)境下對非線性時滯系統(tǒng)進行了數(shù)值仿真。仿真基于地鐵動車組實際制動過程，列車最大制動減速度為-1.2m／s2，為保證列車的平穩(wěn)性，實際的制動減速度不超過最大制動減速度的限制；列車初始制動速度為72km／h，初始制動位置為-290m；制動缸壓力的上升時間常數(shù)為1.5s，即T=0.65s；制動系統(tǒng)輸入延時τ=0.4s，制動時間約為75s。Matlab／Simulink仿真框圖如圖4所示。

圖4 仿真結構框圖

圖5 列車的位置曲線和速度曲線

列車制動過程的位置曲線和速度曲線如圖5所示，列車實際停車曲線如圖6所示。圖5和圖6顯示，自動停車反推控制器克服了制動模型中非線性、輸入時滯等因素的影響，實現(xiàn)了城軌列車的自動停車功能，表明控制器對輸入時滯具有良好的魯棒性。列車的速度曲線和位置曲線均以過阻尼的形式收斂到原點，避免了振蕩，體現(xiàn)了列車的平穩(wěn)制動過程。實際停車曲線顯示列車準確地在期望停車點處停車，獲得了較高的停車精度。由圖6可見，在制動的初始階段，由于系統(tǒng)輸入延時的存在，列車會保持初始制動初速度不變繼續(xù)運行一段距離，而高性能的停車控制器合理地補償了這一距離對停車精度造成的影響。

列車實際制動減速度曲線如圖7所示，制動減速度指令曲線如圖8所示。

圖6 列車實際停車曲線

圖7 實際制動減速度曲線

圖8 制動減速度指令曲線

圖7 顯示，在整個制動過程中制動減速度的數(shù)值滿足最大制動減速度的約束，且制動減速度曲線較為光滑，保障了列車運行的平穩(wěn)性以及乘坐的舒適性。由于系統(tǒng)的輸入時滯，實際制動減速度的響應存在0.4s延時。由圖8可以看出，制動減速度指令同樣滿足最大減速度的約束，且制動過程中牽引單元不工作。隨著列車的速度不斷降低及向期望停車點不斷靠近，控制器也不斷調整制動減速度指令，且最終收斂于0，實現(xiàn)了自動停車功能。

4 結 語

本文根據(jù)電空制動系統(tǒng)的工作原理，建立了具有輸入時滯的非線性城軌列車制動模型。該模型克服了傳統(tǒng)模型中制動減速度難以測量的缺點，反映了電空制動系統(tǒng)的動態(tài)特性以及閘瓦摩擦系數(shù)的非線性。基于該模型并結合Krasovskii泛函算子設計了反推自動停車控制算法。這一算法的主要改進在于基于預測的思想和反推控制技術，將誤差信號表示為2個與延時相關的Krasovskii泛函算子，并且其中一個泛函算子是指數(shù)收斂的。通過Lyapunov-Krasovskii定理，證明了閉環(huán)系統(tǒng)的穩(wěn)定性和收斂性。利用Matlab／Simulink仿真軟件對制動系統(tǒng)進行了數(shù)值仿真，結果表明：該算法不僅對系統(tǒng)中的延時和非線性具有良好的魯棒性，從而可獲得較高的停車精度，并且可以保障列車運行的平穩(wěn)性。本文提出的控制算法對于自動停車控制器的設計與應用具有實際意義。

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