融合邊緣特征的馬爾可夫隨機場模型及分割算法

徐勝軍，韓九強，何波，趙亮，肖海燕

（1.西安交通大學智能網絡與網絡安全教育部重點實驗室，710049，西安；2.西安建筑科技大學信息與控制工程學院，710055，西安）

基于區域馬爾可夫隨機場（MRF）模型的圖像分割問題中，通過區域塊結構可以引入圖像更豐富的局部統計信息，但是由于區域先驗的過平滑作用，常導致分割對象輪廓的模糊，甚至出現邊緣帶現象。高互聯的MRF模型可以充分利用更豐富的圖像信息建立MRF的局部統計特征模型，得到更準確的圖像分割結果［1］。Chen等人基于Pairwise MRF理論提出了高階代理鄰域（higher order proxy neighborhoods，HOPS）模型［2］，通過局部區域節點之間的消息傳遞作用，引入了更多的局部特征信息，有效近似MRF的高階鄰域。徐勝軍等人提出了一種局部區域 MRF模型［3］，建立了圖像的區域置信傳播分割算法。雖然這種區域MRF模型有效提升了圖像的分割結果，但是也引入了一些不希望的邊緣效應。由于圖像分割區域之間的邊緣是高度kurkotic［4］，因此，這種基于點對交互的區域 MRF常帶來顯著的模型近似誤差。建立有效描述圖像邊緣先驗的模型是提升圖像分割質量的一個重要途徑。張志等人利用邊緣濾波器獲取圖像的邊緣特征，建立了一種邊緣保持專家場模型［5］。Koray等人基于Cauchy分布建立了一種邊緣先驗模型［6］，這種模型利用像素空間的依賴關系有效地保持了邊緣的清晰度，但是這種Cauchy分布的尺度參數選擇對于邊緣的分布仍有影響。Zhang等人建立了Laplacian先驗模型［7］，提取圖像的邊緣結構，但這種TV先驗不能充分捕獲圖像邊緣，常導致圖像出現分段線性的現象。Katsuki等人利用一種因果高斯MRF模型作為先驗知識［8］，雖然這種模型考慮了圖像的邊緣結構，但并不能有效捕獲自然圖像的統計特征。

本文基于Pairwise MRF模型，提出了一種自適應的區域MRF模型，通過引入空間信息的區域GMM先驗，建立了區域期望最大化（Expectation Maximization，EM）參數估計算法。并針對區域MRF模型的過平滑所導致的圖像邊緣模糊現象，引入了圖像的邊緣特征模型。最終，建立了新的融合邊緣特征的區域MRF分割模型。實驗結果驗證了提出模型不僅獲得了更好的分割結果，而且對邊緣具有一定的保持作用。

1 融合邊緣特征的MRF先驗模型

假定MRF模型局部區域為Yws，其中ws為一個中心位置為s、大小為w×w的區域塊。本文中，w選擇為3。建立的部分二階MRF模型如圖1示，圖像的邊緣如圖2所示。根據Hammersley-Clifford定理［9］，部分二階MRF模型的局部區域Yws的分布由Gibbs分布確定

式中：Pws（Yws｜β）表示區域先驗 Potts模型［3，9］；s、r為節點對，r∈ws；δ（ys，yr）為delta函數

圖1 部分二階MRF模型

圖2 圖像邊緣示意圖

式（1）模型可使局部區域內的像素傾向于取相同的標號值，因而這種區域先驗具有一定的平滑作用，這種平滑對于噪聲圖像或者紋理突變信號的干擾具有魯棒性，因此這種模型在圖像分割中可以得到更平滑的分割結果。但是，對于圖像的邊緣來說，由于這種區域先驗模型傾向于使得區域內部像素取同一個標號值，因而容易導致邊緣的模糊，并且這種局部區域內點對的“短邊緣”先驗常導致具有精細結構的分割對象產生較大的誤分割。為了解決這一問題，本文在區域先驗中引入了一種邊緣先驗約束，如圖1所示，在中心像素ys的3×3局部區域中，為了測量局部區域水平、垂直、對角和反對角4個方向上的邊緣特征，本文定義了一種邊緣保持的先驗模型

式中：VE（Y）表示邊緣先驗；?表示卷積運算；表示4個方向上的模板與標號場Yws的卷積之和，用來描述局部區域圖像在4個方向上的邊緣特征；F=［Fh，Fv，Fd，Fa］是一個邊緣提取模板，分別獲取水平、垂直、對角和反對角4個方向上的邊緣信息。4個模板分別定義如下

根據局部區域先驗Potts模型式（1）和本文提出的邊緣特征先驗式（3），建立融合邊緣特征的區域先驗MRF模型如下

式（5）中，局部區域約束可以有效平滑圖像噪聲或者紋理突變信號對分割結果的干擾，防止分割結果中出現小的斑點分割，而邊緣約束條件的引入可以有效彌補區域平滑先驗的過平滑現象，保持圖像分割結果的邊緣。

2 GMM模型和EM算法

本文中，定義X為觀察圖像，Y為觀察圖像對應的標號場。Ω=｛1，2，…，K｝為一個有限標號集合，圖像分割問題就是對任意像素xi∈X分配一個標號yi∈Ω，這個標號過程通常假定是高斯的，即

式中：αk是GMM的第k類的混合比值，其均值為μk，方差為。觀察圖像X為已知數據，但其中含有未知數據Y，因而GMM的參數μk、常采用EM算法估計。但是，實際中即使圖像滿足高斯的假定，標準EM算法也不能得到參數的最優估計［10］，這是因為常規GMM假定像素是獨立分布的，缺乏像素的空間約束，因而造成類參數估計的誤差。特別是常規GMM模型對噪聲干擾很敏感［11］。引入空間約束的一種方法是在GMM中通過MRF來建立空間的約束關系，但是通過EM算法求解MRF容易陷入局部最小，另一種方法采用非MRF空間約束的方法，利用相鄰像素之間的相似關系，建立局部約束的GMM。Greenspan等人利用像素的空間位置和像素值組成一個4維向量，并作為GMM的輸入數據，構建了一種約束GMM框架［12］。Tang等人假定像素的灰度值服從高斯分布，建立了一種鄰域加權GMM［13］，但該方法中采用中心像素鄰域的類概率均值替代中心像素點的類概率，這種平滑常導致邊緣的模糊。朱峰等人通過局部區域內像素類的中值概率，建立了鄰域信息的加權分布［14］，可以有效抑制噪聲，并保持邊緣，但這種中值概率仍不能完全反映局部區域的特征空間關系。為了有效利用像素的局部空間約束關系，本文提出了一種局部自適應加權空間GMM，如下式所示

式中：ω（d，xs，xl）是一個權值函數，權值的大小根據中心像素xs和其鄰域像素xl之間的距離按級數成反比，ω（d，xs，xl）定義如下

其中d是MRF鄰域的階次，節點對為s，r∈ws。本文提出的區域GMM利用像素的距離對權值進行衰減，不僅可以有效避免較大的區域中鄰域像素對局部特征的平滑，而且包含了更多的空間約束關系。

對于GMM的參數估計，最大似然估計是一個常用的求解概率分布的參數估計方法，圖像X的對數似然分布為

對于對數和問題，直接求解上式是一個困難的問題。EM算法可以通過迭代的方法對這種包含未知變量Y的參數估計問題進行有效估計。這種方法由兩步組成：期望步和最大化步。期望步根據最大化步在上一次迭代估計的參數θ（p-1）求取未知變量Y的期望；最大化步對lg［L（θ｜X）］采用最大似然法求取關于θ的估計。EM算法求解式（9）的迭代公式如下

3 融合邊緣特征的區域MRF模型

在概率MRF框架下，圖像分割問題就是給定觀察圖像X，尋求一個標號場Y的最優組態，使得MRF全局分布的概率最大化，即

式中：P（X｜Y）為給定觀察圖像X的條件分布；P（Y）為標號場Y的先驗分布。

把融合邊緣特征的先驗分布和數據似然分布代入上式，得到新的分割模型如下

式中：第1項稱為模型的區域似然能量項；第2項稱為融合邊緣特征的先驗能量項；γ（t）是一個 MRF先驗參數，其值的大小控制著鄰域像素標號的平滑程度。

通常γ（t）的大小根據經驗選擇。在分割過程中，較大的γ（t）值使得MRF的先驗能量項在全局能量中占主導作用，因而分割的結果更平滑，但這種過平滑容易導致圖像細節特征的缺失；如果γ（t）的值較小，則能量函數中，似然能量項占主導作用，導致圖像的分割結果忽視了空間先驗信息。本文提出一種變γ（t）的方法，令

式中：t為BP算法迭代的次數；γ（0）為一個給定的較小初值。在迭代初始，γ（t）選擇較小的先驗參數值，似然能量項占主導作用，圖像的分割結果由其特征信息主導，避免了較大的γ（t）在算法迭代初期造成圖像分割結果的過平滑，隨著迭代次數的增加，γ（t）逐漸增大，先驗能量項起主導作用，可以有效捕獲圖像較大的區域特征，因而可以提升圖像的分割質量。

本文模型中，區域特征模型有助于具有相似特征的像素聚合成一類，但這種區域模型對圖像的邊緣像素定位不準確，而邊緣特征先驗模型的引入有效彌補了區域特征模型的缺點，本文模型融合了區域特征模型和邊緣特征模型的優點，可以對圖像進行準確分割。

根據上式，圖像分割問題就是求取上述能量的全局最小。基于MRF模型的能量最小化算法中，BP算法［15］是一個高效推理算法，這種算法通過節點消息的傳遞，迭代運行直到收斂，得到MRF全局能量最小。算法詳細描述參見文獻［3］。

依據本文提出的融合邊緣特征的區域MRF模型，實現圖像分割的融合邊緣特征MRF模型分割算法（算法1）步驟如下：

（1）給定輸入圖像X=｛x1，x2，…，xN｝，分割類數K由人工指定，參數γ（0）=1.0；

（2）GMM 參數的初始化由K-means算法估計：θ（0）=｛μk（0），σk（0）｝k=1，2，…，K；

（3）采用EM 算法根據式（10）、（11）迭代估計GMM 參數θ（p）= ｛μk（p），σk（p）｝k=1，2，…，K，直到

（4）由步驟（3）估計的 GMM 參數μk、和給定的MRF模型先驗參數γ（0），根據式（13）對圖像進行初始化分割；

（5）基于提出的 MRF模型，根據區域BP算法［3］進 行 區 域 消 息 迭 代，算 法 迭 代 運 行 直 到或者達到最大迭代次數，算法終止，迭代過程中，模型式（13）中γ（t）按照式（14）進行更新；

（6）基于 MAP準則估計標號場Y=｛y1，y2，…，yN｝，得到圖像的最優分割結果。

4 實驗結果分析

為了驗證基于本文IEFRMRF模型的圖像分割算法，分別采用人工加噪聲圖像和自然圖像作為實驗對象，并與基于傳統高斯 MRF（CGMRF）模型、局部區域高斯MRF（LRGMRF）模型的BP算法分割結果進行對比。估計GMM參數時，由于EM算法對隨機初值比較敏感，易陷入局部最小，因而GMM的初值采用K-Means算法進行初始化，分類數由人工指定。

實驗1 人工加噪聲圖像分割結果對比。本文采用的人工加噪聲實驗圖像如圖3所示。

圖3 人工加噪聲圖像

將圖3b分割為4類，設計圖像4類均值分別為50、100、150和200，并加均值、方差分別為（0，900）的高斯噪聲，圖像大小為300×300像素。3種模型分割結果對比如圖4所示。

圖4 人工加噪聲圖像分割結果對比

由分割結果可知，CGMRF模型對噪聲干擾比較敏感，出現了較多的誤分割斑點。LRGMRF模型由于采用了區域GMM，因而對噪聲具有一定的魯棒性，但是由于區域的平滑作用，在圖像邊緣出現了較明顯的誤分割。本文提出的IEFRMRF模型不僅具有較好的抗噪性，而且考慮了邊緣的懲罰，因而在邊緣區域獲得了較好的分割效果。表1給出了不同模型分割結果的誤分率對比。從表1可以看出，在客觀指標上，本文模型具有更好的分割效果，和基于CGMRF模型、LRGMRF模型的分割結果相比，分割準確率分別提高了47.9%和21.4%。誤分率定義如下

表1 采用3種模型對人工加噪聲圖像的誤分率比較

圖5 采用3種模型對圖像beach的分割結果對比

圖6 采用3種模型對圖像mouton的分割結果對比

5 結 論

本文提出了一種基于融合邊緣特征的區域MRF模型的圖像分割方法，利用局部區域信息建立了局部空間加權的GMM模型，建立了GMM模型參數的估計算法，并把圖像的邊緣特征有效融合到區域MRF模型中。提出的模型不僅利用區域特征抑制了圖像噪聲和紋理突變信號的干擾，而且有效保持了圖像的邊緣結構，通過分割對比實驗，驗證了本文提出模型的有效性。

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