基于雙框架變速控制力矩陀螺的航天器姿態控制研究

陳 璐，袁建平

（西北工業大學 航天飛行動力學技術重點實驗室，陜西 西安 710072）

隨著空間技術的快速發展，許多空間任務對航天器的姿態機動能力有更高的要求，快速、穩定、高精度的姿態控制系統成為空間技術的重要研究方向。

目前用于衛星姿態機動主動控制的執行機構類型主要有推力器、反作用飛輪、控制力矩陀螺等。控制力矩陀螺包括單框架控制力矩陀螺 （SGCMG）和雙框架控制力矩陀螺（DGCMG）。如果轉子轉速可變，兩者又可變為變速控制力矩陀螺（VSCMG）和雙框架變速控制力矩陀螺（DGV）。控制力矩陀螺的工作原理是，高速轉子（以下也稱飛輪）自轉軸方向繞框架軸轉動，引起飛輪自轉角動量進動而輸出力矩。相比RW，CMG的輸出力矩則大得多，且響應速度更快，功耗更低且使用壽命長。控制力矩陀螺的這些優點，使其成為最有前景的航天器姿態執行機構，并在國內外的許多航天器系統中（如 “ISS”和天宮一號等）得到應用[1-2]。

VSCMG比CMG多一個自由度，因此可以避免CMG群的奇異性。VSCMG是Ford和Hall等人[3]在1997年的AAS/AIAA的飛行力學專業會議上以“框架動量輪”的形式首次提出的。Schaub等人[4]將其命名為VSCMG，并推導基于單CMG和多CMG航天器的動力學方程，并設計了基于速度、加速度的操縱律實現航天器的姿態控制。Yoon研究了基于一個VSCMG的航天器角速度和姿態控制問題[5]，研究了VSCMG群的奇異特性，提出了避免奇異的零運動方法，研究了基于VSCMG航天器的能量/姿態一體化控制系統的自適應控制律。

從上世紀60年代開始，基于DGCMG的航天器姿態控制成為研究的熱點。Bauer[6]采用四桿連接的分析方法研究了基于DGCMG航天器的運動學和動力學方程。Ahmed[7]利用Lagrange方程建立了DGCMG的動力學模型，研究了一種自適應反饋控制律來實現姿態跟蹤。Liu等人[8]提出了一種采用轉子可變速DGCMG為執行機構的空間飛行器姿態最優控制律，采用連續逼近方法，通過變分法估計性能指標變化，應用最速下降法和共軛梯度法得到期望解。周荻[9]研究了基于DGCMG群的航天器姿態動力學模型，設計了穩定的非線性控制律和奇異魯棒+零運動操縱律，并進行了不同構型DGCMGs系統的奇異性分析。

無論是VSCMG還是DGCMG，它們都只有兩個自由度，無法實現三維的姿態控制，為此，文中研究了雙框架變速控制力矩陀螺（DGV）。由于DGV有3個自由度，其能完成三維的航天器姿態機動。本文推導了基于DGV的航天器姿態動力學模型，然后用Lyapunov穩定性理論設計了該非線性系統的控制律和操縱律，并研究了基于加速度的操縱律，仿真結果表明，該執行機構能夠很好地實現航天器三維的姿態跟蹤和快速機動。

1 基于DGV的航天器姿態動力學模型

如圖1所示，DGV主要由外框架、內框架、轉子和力矩電機等一些其它附件組成。外框架軸與內框架軸互相垂直，內框架軸與轉子軸互相垂直，轉子轉速可變，因此DGV系統具有3個轉動自由度。

圖1 DGV結構示意圖Fig.1 The structure of a DGV

本文將航天器本體部分視作剛體，由于控制力矩陀螺框架連同轉子相對于上述部分發生轉動，所以以控制力矩陀螺系統作為執行機構的剛體航天器為多剛體系統。基于此，本文擬采用矢量力學建模方法。此外，本文研究中還做出如下假設：假設DGV的框架、轉子質量均勻分布，安裝也完全對稱。因此，DGV的內外框架及轉子質心重合，即為DGV的質心，由此得出基于DGV的航天器系統質心位置保持不變。

1.1 坐標系定義及轉換關系

定義N-xNyNzN為慣性坐標系，簡寫為{N}；定義C-xByBzB為航天器本體坐標系，質心為航天器質心C，簡寫為{B}；定義O-xFyFzF、O-xGyGzG、O-xHyHzH分別為 DGV 的外框架、內框架和轉子固連的坐標系，簡寫為 {F}、{G}、{H}，三者質心均為DGV的質心O，單位向量分別為{f→1，f→2，f→3}、{g→1，g→2，g→3}、{h→1，h→2，h→3}。

矩陣[AB]表示坐標系 A 相對于 B 的方向余弦，[Mi（α）]表示繞某一固定軸旋轉角度的旋轉矩陣。外框架坐標系（F系）到內框架坐標系（G系），內框架坐標系（G系）到轉子坐標系（H系）的歐拉角分別為ψ和θ，其旋轉軸分別為f→3和g→2。本文中，左上標表示坐標系，右上標表示坐標原點。

坐標系之間的轉換矩陣如下：

其中，[BF]表示DGV的安裝矩陣，是固定的。

坐標系間的相對角速度可以用角速率與旋轉軸的乘積表示：

1.2 航天器姿態運動學方程

由于四元數在描述剛體轉動時有以下優點：不包含三角函數、運算簡單、沒有奇點等，所以文中采用四元數作為姿態描述參數，基于四元數的航天器姿態運動方程為：

1.3 基于DGV的航天器姿態動力學方程

航天器系統關于其質心C的角動量為：

將上式投影到本體系B下，并將轉動慣量的導數代入，整理可得精確的基于DGV的航天器姿態動力學方程：

其中，[I]=B[I]=B[IS]+B[IG]+B[IG]+B[IH]+B[IW]，T→ext表示航天器所受的外力矩，兩者都是在本體系B下。

2 控制系統設計

從基于DGV的航天器系統動力學模型中我們可以看出，DGV的輸出力矩是三維的，而其他附加項對航天器本體的作用也是在三維，所以，必須設計穩定的控制律，以實現航天器的三維姿態機動。本節的主要目標就是，根據Lyapunov穩定理論，設計一種穩定的控制律，能實現航天器跟蹤期望的姿態軌跡。

2.1 控制律設計

本節控制律設計的目的就是，使本體坐標系B和參考系R之間的角速度、姿態趨于0。

構造Lyapunov函數：

對Lyapunov函數進行微分：

Lyapunov穩定性理論要求V˙必須是負半定，才能保證系統的穩定性。設P為一正定的角速度反饋增益矩陣，則V˙可表示為

結合兩式，可得穩定性約束為：

參考轉移定理，可得如下關系

將基于DGV的航天器姿態動力學方程（9）代入式（18），整理可得如下的Lyapunov穩定性約束：

上式被稱作“控制律”。

2.2 基于速度的操縱律設計

為了盡可能發揮“力矩放大效應”，操縱律方程（24）中框架轉動角速度項要盡可能大，而慣性項（加速度項）應盡可能小，因此，忽略框架的加速度項ψ¨和θ¨，可得如下的操縱律方程：

上式與VSCMG的操縱律方程相似，但又包含二次項和。由于二次項的存在，VSCMG的相關操縱律解法并不適用。因此，本文采用牛頓法直接求解上述操縱律方程[17]。

其中，[R]、[S]分別為[3×1]和[3×3]矩陣，但其中每一項都為[3×1]向量，具體如下：

上述操縱律方程不能解析求解，但可以用牛頓法求解如下方程組的根：

忽略二次項，可以得到如下的初值猜測：

采用下式進行循環迭代，直至誤差|f（u→）|足夠小：

在文中后面的仿真過程中，誤差限取為10－9N·m。仿真結果表明，避免奇異的情況下，操縱律方程可以很快求得結果。

3 仿真及結果分析

文中基于Matlab仿真環境編制程序來驗證所推導的航天器姿態動力學模型及非線性反饋控制律和操縱律。航天器各部分的轉動慣量矩陣如下：

B[IS]=diag（[15 45 30]） kg·m2G[IG]=diag（[0.04 0.02 0.02]） kg·m2H[IH]=diag（[0.02 0.02 0.04]） kg·m2H[IW]=diag（[0.3 0.2 0.2]） kg·m2

航天器的姿態跟蹤主要研究對于期望機動軌跡的跟蹤問題，文中選取四元數為姿態描述參數，四元數以正弦規律變化，可以求得期望角速度也按正弦規律變化。參考軌跡姿態四元數的初值為q→（t0）=[0.5 0.5 0.5 0.5]，角速度初值為w→（t0）=[－0.05 0.2 0]rad/s。轉子的轉速初值為 Ω（t0）=500 rad/s，內外框架角、框架角速率初值均為0。

仿真中采用本文所設計的非線性反饋控制律和基于加速度的操縱律，具體的仿真參數為K=200，[P]=diag（[200 200 200]），Kψ˙=0.04，Kθ˙=0.2。 仿真時間設定為 60 s，仿真結果如圖2～圖5所示。

圖2 航天器姿態（四元數描述）Fig.2 Attitude of spacecraft body（quaternion）

圖3 航天器本體角速度Fig.3 Angular velocity of spacecraft body

圖4 框架角度Fig.4 Gimbal angles

圖5 框架角速率Fig.5 Gimbal rates

圖2 、3可以看出，在仿真時間15 s左右，航天器的跟蹤誤差已經很小，達到10－4量級，由此可以說明基于加速度的操縱律，能很好地實現航天器的姿態跟蹤。圖4、5顯示了在姿態跟蹤過程中框架角和框架角速率的變化曲線，其中轉子的角速度在500 rad/s附近。圖5中，在28 s附近，內框架角速率有一處波動，這是由于此時內框架通過奇異位置（θ=－90°），和前文的奇異分析很好地吻合。

4 結 論

本文推導了精確的基于DGV航天器系統的數學模型，并基于Lyapunov穩定性理論設計穩定的反饋控制律和操縱律，實現跟蹤參考軌跡。研究了更為精確的基于加速度的操縱律。仿真結果表明，一個DGV作為姿態執行機構即可完成航天器三維方向的姿態跟蹤。

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