懸鏈線幾何性質的研究

謝 菲，孫明珠

懸鏈線問題的提法：設A和B是鉛垂面上兩個等高點，一條柔軟的繩索掛在 A、B上（圖1），在所有連接A、B的平面曲線中，求出一條曲線，使得其重力勢能最小.懸鏈線的方程：

本文將研究懸鏈線的一些幾何性質，諸如面積、旋轉體體積、曲率中心、漸屈線等.

圖1 懸鏈線

一、面積與面積形心

圖2 懸鏈線和直線圍成的面積

單單由懸鏈線構不成面積，還需要和其他直線或曲線結合才能圍成面積.比如，圖2所示，求懸鏈線和x軸、y軸以及x=x1所圍成的圖形之面積S1，或求懸鏈線和y軸、y=y1所圍成的圖形之面積S2.下面就分別推導這兩種情況下的面積公式.

形心又稱作面積中心，坐標公式為

據此，對于S1有形心坐標的積分表達式：

二、旋轉體體積

圖3 S1繞y軸旋轉一周

圖4 S1繞x軸旋轉一周

1.求S1繞y軸旋轉一周所形成的旋轉體（圖3）的體積Vy由求旋轉體體積的圓筒微元法Vy=Σ2πxiyiΔxi，有積分表達式：

2.求S1繞x軸旋轉一周所形成的旋轉體（圖4）的體積Vx由求旋轉體體積的切片微元法Vx=Σπyi2Δxi，有積分表達式：

3.第二古魯金定理：平面圖形繞與其不相交的軸旋轉一周所得立體的體積，等于平面圖形的面積與形心繞同一轉軸旋轉的周長之積.即 Vx=2πycS，Vy=2πxcS.

對于S1，我們驗證一下第二古魯金定理的正確性。

這恰好等于式（7）和式（6）得到的結果.于是我們可以推出S2的形心坐標：

謝菲/天津工業大學理學院講師（天津300387）；孫明珠/天津工業大學理學院教授 （天津300387）。

讀者可以驗證：對于面積S2，用積分表達式求得的形心坐標，結果與此完全相同.

三、曲率半徑

四、曲率中心與漸屈線

圖5 曲率中心與漸屈線

圖中M為懸鏈線上的一點，K為M點的曲率中心，ρ為曲率半徑.根據曲率中心的定義，曲率半徑ρ與M點的切線垂直.M點的切線斜率為y′=tanα=shx

所以

設 K 點的坐標為（x1，y1），M 點的坐標為（x，y），則有

圖5中曲率半徑ρ的直線方程為

據此，用Matematica軟件通過下面一段程序畫出懸鏈線的漸屈線如圖5所示.

漸屈線像一個“V”字.

[1]孫明珠等.游戲中的數學文化[M].北京：國防工業出版社，2011.

[2]同濟大學數學教研室.高等數學（第六版）[M].北京：高等教育出版社，2007.