一種基于LCR發散振蕩響應的控制系統頻率特性辨識方法

萬文軍， 李軍

(廣東電網有限責任公司電力科學研究院，廣東廣州510080)

0 引言

現代控制工程實踐中，除了各種各樣的控制策略與控制算法等方面研究［1－17］之外，漸漸越發需要綜合各學科的知識。其中，控制工程實踐過程大量包括了信號處理方面的知識［18］。

實際的工業過程信號普遍受到各種噪聲干擾的影響。從系統信號頻率譜辨識的角度看，一個好辨識方法必須具有良好的抗噪聲干擾特性。

本文首次提出了一種基于LCR(inductance capacitance resistance)發散振蕩響應的控制系統頻率特性辨識方法。在論述本文提出的方法之前，首先對頻率特性辨識系統、噪聲干擾與功率噪信比、激勵信號的特性等方面的內容進行一些簡述。

1 頻率特性辨識系統

典型的頻率特性辨識系統如圖1 所示。

圖1 仿真試驗方框圖Fig.1 Simulation test block diagram

圖1 所示，在激勵信號作用下，通過2個頻率譜辨識單元分別獲得對象輸入端信號和輸出端信號的頻率譜，之后在頻域中比較輸出和輸入頻率譜的幅值和相位，即可獲得對象的頻率特性。為了考察頻率特性辨識系統的抗干擾特性，在對象輸出端加入噪聲干擾信號。

2 噪聲干擾與功率噪信比

在仿真實驗上，通常選用白噪聲進行加擾，用功率噪信比表述激勵信號或系統受到干擾的程度。

理想白噪聲是指均值為零和所有頻率具有相同能量的隨機噪聲。但實際上理想的白噪聲并不存在，當一個隨機噪聲的頻譜寬度遠大于它所作用系統的帶寬，并且在該帶寬中其功頻譜密度pn(ω)基本上可以作為常數來考慮，就可以把它近似為白噪聲。

2.1 激勵信號的時域功率噪信比

對一定的時窗長度T，激勵信號功率表述為:激勵信號過程值s(t)平方在該時窗長度T的積分或方差，有

噪聲干擾功率表述為:噪聲干擾過程值n(t)平方在該時窗長度T的積分或方差，有

則功率噪信比表述為

式中，NSR稱為激勵信號時域的功率噪信比。

2.2 激勵信號的頻域功率噪信比

激勵信號在頻域功率噪信比表述為

式中:NSR(ω)為激勵信號在頻域的功率噪信比;NP(ω)為噪聲干擾在頻域的功頻譜;SP(ω)為激勵信號在頻域的功頻譜。無特殊說明，本文噪信比均指功率噪信比。

3 激勵信號的特性

對系統施加激勵信號是系統特性辨識的基本前提條件，激勵信號的頻率譜特性對系統頻率特性辨識的結果起到了至關重要的作用。

3.1 二進制隨機序列脈沖信號的特性

二進制隨機序列脈沖信號是以白噪聲為基礎產生的，是常用的辨識激勵信號。然而，該激勵信號在較高的噪聲干擾環境下的激勵和辨識特性并不理想。

3.2 階躍激勵信號的特性

階躍信號是過程控制工程實踐中應用最廣泛的一種試驗激勵信號，單位階躍信號在頻域的頻率譜分布特性［18］表達為

式中:δ(ω)為單位沖激函數;j為虛數單位;ω為角頻率，單位rad/s。

在白噪聲干擾環境下，階躍激勵信號主要存在的缺點分析如下:

對一定的時窗長度T，白噪聲頻域功頻譜在數量上等于白噪聲在該時窗長度T的方差或白噪聲頻域功頻譜密度乘以該時窗長度T，表達為

式中，白噪聲頻域功頻譜密度pn(ω)為常數。階躍激勵信號頻域功頻譜為

式中，U為階躍幅值，階躍激勵信號頻域功頻譜與時間沒有關系。階躍激勵信號頻域噪信比為

式(8)可見，在白噪聲干擾環境下，階躍激勵信號在頻域的噪信比正比時間變化，這即是階躍激勵信號主要缺點之一，其具體特性將在4.2節詳細論述。

本文無特殊說明，干擾或噪聲干擾均指白噪聲干擾。

3.3 雙階躍信號

在階躍信號基礎上，采用雙階躍信號，可使信號在頻域的幅頻譜幅值有較大幅度的提高。

2個階躍信號的合成簡稱為雙階躍信號，首先輸出一個單位幅值為1的負向階躍信號，經過一定延時τ后，再輸出一個單位幅值為2的正向階躍信號，其頻域表達為

當取延時τ=31.4 s，則雙階躍信號的過程輸出、頻域幅頻譜分布特性如圖2所示。

圖2 雙階躍信號過程波形和幅頻譜分布特性示意圖Fig.2 Double step signal process waveform and amplitude spectrum distribution characteristic graph

由圖2可見，相對階躍信號，雙階躍信號在頻率0.1 rad/s的幅頻譜幅值增加了3倍。

3.4 持續雙階躍激勵

在環境干擾較大而激勵信號幅值受到限制無法提高時，為了提高辨識質量，可采用持續雙階躍激勵。在每個雙階躍激勵時間段長度大于等于系統階躍響應穩定時間加負向階躍到正向階躍的延遲時間，本文給出的持續雙階躍激勵過程片段如圖3所示。

圖3 持續激勵信號示意圖Fig.3 Continued incentive signal graph

將多次雙階躍激勵的結果在時間上進行離線狀態下的線性疊加。可以證明，相對于單次雙階躍激勵，N次雙階躍激勵的效果可以將激勵信號在頻域的噪信比降低為1/N倍。

4 信號頻率譜辨識方法

4.1 一種點頻濾波器方法

李軍等［19－20］提出了一種用“點頻濾波器方法”獲取過程信號頻率譜分布特性的方法，該方法補充和完善了頻率響應實驗方法。點頻濾波器核心思想是:采用頻率帶寬無限趨于零的無源LCR帶通濾波器，可得到點頻濾波特性。信號通過該濾波器后，只有頻率ω=ωo的信號才能通過濾波器，且其幅值不衰減，其他頻率ω≠ωo信號的幅值均衰減為0。

點頻濾波器方法具有良好的信號頻域分析特性，同時解決了傅式變換算法不能進行信號過程分析的局限性。傅式變換將時間信號變換為各種正弦波信號的線性疊加，但無法對各種正弦波信號的時間過程進行分析，這種信號過程分析也是很重要的。

在較高噪聲干擾環境下，點頻濾波器方法在頻域辨識特性仍然是不佳的。

4.2 基于LCR發散振蕩響應的頻域辨識方法

發散振蕩仍然是以LCR帶通濾波器為基礎的，簡稱為LCR發散振蕩響應。上文指出了階躍激勵信號的主要缺點，以采用點頻濾波器方法獲得的等幅頻率信號為例，如圖4所示。

圖4 階躍激勵信號噪信比特性示意圖Fig.4 Step representation excitation signal noise ratio characteristics letter characteristic graph

對于系統的階躍響應的頻率信號，因為頻率信號的起始部分還包含了暫態分量，以一階慣性對象為例，如式(9)所示，因此只有等這些暫態分量基本衰減到零以后的頻率信號方可準確的反映系統階躍響應信號的頻率譜特性，但此時可能頻率信號的噪信比特性已經相當惡化，如圖4所示。

本文對暫態分量進行一些分析，例如一階慣性對象1/(1+Ts)在單位幅值正弦波信號sin(ωt)激勵下的響應特性為

LCR發散振蕩響應可以顯著提高辨識質量的內在機理在于:在輸入階躍信號激勵作用下，如果使LCR帶通濾波器輸出頻率信號的幅值隨時間呈指數增強，則隨著輸出頻率信號幅值的不斷增強，輸入激勵信號的作用將會越來越弱。則輸出頻率信號的噪信比基本上由輸入激勵信號初期頻域的噪信比特性所決定，時間越靠前，輸入激勵信號頻域噪信比在幅值發散頻率信號中的加權也越大，反之加權越小且最終趨于零。幅值發散頻率信號的噪信比特性，如圖4所示。

典型的LCR帶通濾波器電路，如圖5所示。

圖5 LCR帶通濾波器Fig.5 LCR band-pass filter

圖5 中X(s)、Y(s)表示LCR電路輸入、輸出信號的Laplace形式，可以用下面的傳遞函數表述兩者之間的關系為

式中:R表示電阻，單位Ω;TI表示積分常數，單位s;TD表示微分常數，單位s;s表示復數頻率單位。

不失一般性，在圖 5中，令 TI=TD=TO，則式(11)轉換為

式(12)單位階躍響應為

對式(13)進行拉氏反變換得到

式中，ωo=1/To、為LCR帶通濾波器的中心頻率，當R取值為正且趨于0，得到式(15)、即為點頻濾波器［19］。

式(15)表明，在階躍激勵下，點頻濾波器輸出為中心頻率ωo的等幅正弦波信號。

如果式(14)中，－2＜R＜0，則式(14)輸出正弦波信號的幅值隨時間呈指數增強，如圖6所示。但如果將式(14)乘以一個收斂指數函數，則得到

式(16)可見，輸出正弦波信號仍然是等幅的，如圖6所示。但也存在另一個問題，隨著時間的增加，式(14)輸出正弦波信號的幅值將趨于無窮大，絕對會造成物理設備計算出錯，主要是數值范圍的超限。因此在計算上加以限制，例如在輸出10個周期正弦波信號后就截止計算，也可以在計算時間上加以限制。

圖6 頻率信號輸出過程示意圖Fig.6 Frequency signal output process characteristic graph

5 仿真實驗

大多數的過程對象具有類似低通濾波器的特性，對于圖1所示的頻率特性辨識系統，激勵信號通過對象傳遞后，在對象低通截止頻率之外的相對高頻率信號將會有較大幅度的衰減，特別是在較高強度的噪聲干擾環境下，這些相對高頻率信號的噪信比特性將顯著的惡化。

本文定義一個基本的實驗指標:首先確定圖1中對象傳遞函數為1/(1+50 s);施加噪聲干擾功率為激勵信號功率的30%，即噪信比為3:10，對應噪聲干擾的平均幅值為激勵信號平均幅值的55%;最高辨識頻率取對象低通截止頻率(0.02 rad/s)的3倍頻率0.06 rad/s;對象幅頻增益辨識基本誤差取±30%。

5.1 對象階躍響應特性

圖1中對象在噪信比3:10的階躍響應特性，如圖7所示。

圖7 系統階躍響應示意圖Fig.7 Step response of system characteristic graph

圖7可見，對象的階躍響應信號受到了嚴重的噪聲干擾，仿真實驗環境是比較苛刻的。

5.2 階躍激勵下用點頻濾波器方法進行對象頻率特性辨識

在階躍激勵下，采用點頻濾波器方法得到的對象頻率特性幅頻增益辨識結果，如圖8所示。

圖8 幅頻特性仿真試驗結果圖AFig.8 Diagram of amplitude-frequency relationship A

圖8 可見，頻率特性辨識結果基本是沒有意義的。

5.3 階躍激勵下用LCR發散振蕩辨識方法進行對象頻率特性辨識

取LCR發散振蕩回路和收斂指數函數的R=－0.2 Ω，在階躍激勵下，采用LCR發散振蕩辨識方法得到的對象頻率特性幅頻增益辨識結果如圖9所示。

圖9 幅頻特性仿真試驗結果圖BFig.9 Diagram of amplitude-frequency relationship B

圖9 可見，頻率特性辨識質量相對圖8得到了較大幅度的改善，但仍然沒有達到基本實驗指標的要求。

5.4 雙階躍激勵下用LCR發散振蕩辨識方法進行對象頻率特性辨識

取LCR發散振蕩回路和收斂指數函數的R=－0.2 Ω，采用雙階躍激勵信號，負向階躍到正向階躍延時52 s，在雙階躍激勵下得到對象頻率特性辨識結果，如圖10所示。

圖10 幅頻特性仿真試驗結果圖CFig.10 Diagram of amplitude-frequency relationship C

圖10 可見，雙階躍激勵下獲得的辨識特性相對理想，達到基本實驗指標的要求。

5.5 雙階躍持續激勵下采用LCR發散振蕩辨識方法進行對象頻率特性辨識

取LCR發散振蕩回路和收斂指數函數的R=－0.2 Ω，采用雙階躍持續激勵，負向階躍到正向階躍延時52 s，總時間長度1 800 s。將時間1 800 s分成6個300 s時間段看待，效果上相當于進行了6次雙階躍激勵。其激勵信號過程波形和得到的對象頻率特性辨識結果如圖11所示。

圖11 幅頻特性仿真試驗結果圖DFig.11 Diagram of amplitude-frequency relationship D

圖11 可見，雙階躍持續激勵下獲得的辨識特性比較理想，激勵時間長度在工程實際中完全可以接受。

5.6 LCR發散振蕩辨識方法固有特性和使用方法

在未加入噪聲干擾前，LCR發散振蕩辨識方法得到的對象頻率特性與對象理論頻率特性相比存在一定的固有誤差如圖12所示:固有誤差與LCR回路電阻的絕對值呈正相關性，當R=－0.125 Ω得到的固有誤差不大于－2.5%，當R=－0.25 Ω得到的固有誤差不大于－5%，從工程角度看是完全可以接受的。

圖12 頻率特性誤差圖Fig.12 Frequency characteristic error chart

使用LCR發散振蕩辨識方法也有一定的要求，在每次激勵信號發出前，LCR發散振蕩器應有1小段時間處于跟蹤輸入狀態，此時輸出狀態為0，在發出激勵信號時同步將LCR發散振蕩輸出轉換為辨識狀態。對于持續激勵，一般需將一段激勵和激勵響應數據單獨分離出來并進行時間延拓，最后將多次辨識結果進行線性疊加。

總的看來，LCR發散振蕩辨識方法是目前出現的抗干擾性能較好的一種頻率譜辨識方法。

6 實際應用

采用雙階躍信號和基于發散振蕩響應的頻率譜辨識方法對一個實際過程控制系統的對象頻率特性進行辨識。選擇某電廠鍋爐爐膛壓力控制系統進行對象頻率特性的辨識，具體采用人工操作的方式先給定一個負向階躍－15 Pa、接著給定一個正向階躍30 Pa、之間的轉換時間τ=30 s，得到的過程響應趨勢如圖13所示。

圖13 爐膛壓力控制系統在雙階躍激勵信號下閉環響應過程趨勢圖Fig.13 Closed-loop response process trend graph of furnace pressure control system under the double step excitation signal

將試驗獲得的實際過程數據(調節器輸出信號數據和過程信號數據)進行離線辨識。

根據干擾分析結果，該過程干擾頻率主要分布在0.06～0.16 rad/s區間，大體呈正態分布，相當于對白噪聲進行帶通濾波后的特性，在給定階躍幅值下的時域噪信比大約在1∶5。為了減小固有誤差分布，依據經驗采用變電阻的方法，越靠近干擾中心頻率電阻絕對值越大，具體變化如表1所示。

表1 電阻與頻率的關系Table 1 Relationship between resistance and frequency

在分別采用點頻濾波器方法和LCR發散振蕩辨識方法，得到的該系統對象頻率特性幅頻增益辨識結果，如圖14所示。

圖14 爐膛壓力控制系統對象頻率特性幅頻增益離線辨識結果示意圖Fig.14 The object of furnace pressure control system frequency characteristic amplitude-frequency gain offline identification result schematic diagram

火電廠爐膛壓力控制系統普遍存在過程干擾較大的問題，分析圖13和圖14可看出，采用LCR發散振蕩辨識方法獲得的辨識結果比較理想，其辨識結果較好反映出了該系統對象頻率特性幅頻增益的特征。在頻率0.06 rad/s后，采用點頻濾波器方法所得的幅頻增益在2.2～3.0區間波動，采用本文方法獲得的頻率與增益關系曲線較為光滑下降。

7 結語

雙階躍激勵信號在頻域有較高的幅頻譜幅值特性，基于發散振蕩響應的頻率譜辨識方法具有較好的抗干擾特性，兩者結合可以較大幅度的提高頻率特性的辨識質量。將雙階躍激勵信號和基于發散振蕩響應的頻率譜辨識方法投入到實際應用中，取得了良好的辨識效果。這些方法將在頻域范圍的控制系統性能分析、頻率特性和參數模型辨識等方面有重要的應用和參考價值。

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