從開放題到開放的解題教學

☉浙江省杭州春蕾中學 鄭 妤

從開放題到開放的解題教學

☉浙江省杭州春蕾中學 鄭 妤

鄭毓信教授一直倡導從開放題到“開放的數學教學”（見文1、2、3），并指出“開放題的應用事實上只是為我們改進數學教育提供了新的更大的可能性，但其本身卻并不能保證這種可能性的實現，這也就是指，學習空間的開拓并不等于已經取得好的教學效果.”受到啟發，筆者結合新近一些解題教學案例中的有效追問、成果擴大，例談開放的解題教學，與廣大同行研討.

一、案例展示

案例1：平行四邊形新課后的例題教學片斷.

例1如圖1，E、F是四邊形ABCD的對角線AC上兩點，AE=CF，DF= BE，DF∥BE.

（1）求證：△AFD≌△CEB；

（2）求證：四邊形ABCD是平行四邊形.

教學故事：第（1）問很簡單，一般學生利用此前學習的全等（SAS）知識可以證明.第（2）問安排學生講解思路如下：

生1：第（2）問由△AFD≌△CEB，證得AD=BC且AD∥BC.

師：理由是？

生1：根據一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形.

師：如果連接DE、BF，四邊形DEBF是平行四邊形嗎？

生2：是平行四邊形，由前面得到的△AFD≌△CEB，容易得出DF=BE且DF∥BE.

師：正確！如果再連接BD，你們還能得到怎樣的結論呢？

生3：AC與BD互相平分.

生4：EF與BD也互相平分.

師：很好.學會變式思考和深入追問，往往能從“做一題”到“會一類”，提高解題能力.

案例2：等腰三角形習題課上的教學片斷.

例2 已知，點O到△ABC兩邊AB，AC所在直線的距離相等，且OB=OC.

（1）如圖2，若點O在邊BC上，求證：AB=AC；

（2）如圖3，若點O在△ABC內部，求證：AB=AC.

教學故事：第（1）問利用全等很快證出（在圖2中添加兩條垂線段構造直角三角形）；第（2）問的教學對話如下：

生5：如圖3，過點O分別作OE⊥AB，OF⊥AC，E、F分別是垂足.

師：（打斷生5繼續表達）你怎么想到添加這樣的輔助線？

生5：受到上一問的影響，也添加這兩條輔助線，這樣可以得到全等三角形.

師：很好，講解思路時，特別是輔助線的添加要說清楚為什么想到的？是基于什么念頭？

生5：由題意知，OE=OF.根據“HL”可證Rt△OEB≌Rt△OFC，從而∠OBE=∠OCF.又由OB=OC，知∠OBC=∠OCB，所以∠ABC=∠ACD，所以AB=AC.

師：正確！同學們再思考若點O在△ABC外部，AB= AC成立嗎？請畫圖表示.

（學生獨立思考5分鐘后，小組內交流2分鐘）

生6：不成立，我畫出了一種圖形，如圖4.

生7：也有可能成立，如圖5.

師：大家認為怎樣回答這個問題更完整呢？

生7：應該答不一定成立，然后給出圖4、圖5兩種圖形進行解釋.

師：很好！生7的解答值得大家學習，建議大家記一下他的規范解答.這種問題和設問方式在不少綜合題中都有體現.

案例3：習題選自文4.

【閱讀理解】

【問題解決】

（1）如圖6，在△ABC中，BC=2.5，AC=6，AB=6.5.請用“海倫公式”求△ABC的面積.

（2）小怡同學認為（1）中的運算太繁，并想到了一種不同的解法.你知道他想到了什么方法？請寫出來.

師：完成得很好，特別是第（2）問對特殊的“勾股數組”保持著敏感，很快洞察出這道問題的簡潔算法.這兩天我們剛學過平行四邊形這一章，老師還想追問一個問題：

（3）將（1）中的△ABC沿一邊翻折，求得到的四邊形的對角線的長.

（學生經過5分鐘的獨立演算后）

生9：我得到一個矩形，所以對角線的長都是6.5.

師：大家怎么看生9的解答？

師：不錯，對于完整解答似乎還缺少點什么？

生11：應該分三種情況，若沿邊長為2.5的邊翻折，此時得到一個三角形；若沿邊長為6的邊翻折，此時也得到一個三角形；若沿邊長為6.5的邊翻折，就是剛才生10的解答了.

師：正確！生11的分類意識很強，盡管最后解答只是生10的那一組解，但在完整解答時并不能漏去所有可能的情況，也就是這類問題需要“先分類、再取舍”，分類的過程體現了數學火熱的思考.

二、教學反思

上述案例是近期解題教學中的積累，一個共同點就是初始問題都具有封閉性，但經過有效追問、師生對話，使得原本相對封閉的數學題得到開放、發展，追求了開放的解題教學.以下再圍繞上述三個案例所追求的開放的數學教學展開相關反思.

反思之一：重視變式教學，促進自主學習

張奠宙教授曾說：“在中國的數學教育領域，變式問題從來不是紙上談兵式的理論研究，而是具有廣泛的課堂教學實踐基礎的課題.”［5］如，20世紀80年代顧泠沅在總結青浦數學教學經驗的《學會教學》一書中，就對變式教學進行了系統而深入的研究與理論分析，并將數學變式分為概念性變式和過程性變式兩類.［6］上文三個案例在追問、對話中，都實現了初始問題的變式發展，追求了開放的數學教學.值得指出的是，我們應該通過課堂上教師追問下變式的示范，引導學生在學習數學、解答問題時學會自主變式，將問題生長、發展，即讓學生在潛移默化中學會學習，學會反思，學會發展，善于探究和深入思考.

反思之二：善于引導追問，展示火熱思考

眾所周知，教師與醫生一樣，都是專業技術人員.一線教師需要在課堂上與學生充分對話，并根據對話的內容做出即時的決策，常常要對預設內容做出調整，或按課前預設的核心主線展開有效追問與引導，提高教學效益.而有效引導或追問的前提是知道、了解學生已經知道了什么，掌握到什么程度，這正是美國教育心理學家戴維·奧蘇貝爾的觀點：“影響學習的唯一最重要的因素就是學習者已經知道了什么，要探明這一點，并應據此進行教學.”［7］在此基礎上，通過追問將學生的思考展示出來，把冰冷的答案形式恢復成火熱的思考是我們應該追求的.如在上文“案例2”中，當學生6回答出另一種可能后，如果倉促結束問題，可能不少學生對這類問題的完整解答仍然沒有深刻的理解，將來還會出現“一錯再錯”的現象.但是引導和追問生7“怎樣回答這個問題更完整呢？”于是，生7用完整的解法示范了這類問題的規范解答.

反思之三：倡導認真傾聽，思辨他人思路

日本著名教育學者佐滕學指出：“教師的關鍵不在于說而在于聽.我也認識到當今世界很多優秀的教師，大家都認為教師的工作重心是傾聽.對學生來講同樣如此，只有更好的傾聽，才能達到更好的學習效果.我們需要明確的是‘互相學習’和‘互相說’是完全不同的兩件事.”［8］佐滕學提出師生需要學會傾聽的建議是值得重視的.當然，認真的傾聽是為了更好的理解，然后對他人的思路做出思辨、評價和取舍是更重要的.在上文“案例3”中，生9的解答出錯，生10的解答不全面，這時如果師生對他們的解法沒有進一步的思辨，難以保證這樣的開放式教學有什么好的效果，一定意義上，反而會產生負面效應.在這個意義上，所謂的開放的數學教學，需要教師作為專業人士駕馭全局，認真傾聽、敏于診斷、即時追問和引導，并帶動學生注意思辨他人的思路，唯有這樣堅持下去，一方面能提高解題教學的效果，達到“做一題，會一類，通一片”的效果，另一方面，也是培養學生質疑、批判的思辨意識，對學生的“長遠利益”也是大有好處的.

1.鄭毓信.開放題與開放式教學［J］.中學數學教學參考，2001（3）.

2.鄭毓信.再論開放題與開放式教學［J］.中學數學教學參考，2002（6）.

3.鄭毓信.“開放的數學教學”新探［J］.中學數學月刊，2007（7）.

4.夏盛亮.引導回歸教材，倡導開放教學——一次縣級期末卷的命題取向分析［J］.中學數學（下），2014（1）.

5.張奠宙，于波.數學教育的“中國道路”［M］.上海：上海教育出版社，2013.

6.鮑建生，顧泠沅，等.變式教學研究［J］.數學教學，2003（1）.

7.［美］戴維·奧蘇貝爾.教育心理學：一種認知觀點［M］.北京：人民教育出版社，1994.

8.［日］佐滕學.21世紀學校改革的方向［J］.人民教育，2014（1）.FH