貼近課堂主線，促進學生發現——“勾股定理（第1課時）”學程設計與反思

☉江蘇省連云港外國語學校 胡曉偉

貼近課堂主線，促進學生發現
——“勾股定理（第1課時）”學程設計與反思

☉江蘇省連云港外國語學校 胡曉偉

勾股定理是數形結合的典范，完美地將三角形有一個直角的“形”的特點，轉化為三邊之間的“數”的關系；是直角三角形特有的性質；是初中數學教學內容重點之一.

一、“勾股定理（第1課時）”學程設計

1.教學目標

（1）知識技能：了解勾股定理的文化背景，體驗勾股定理的探索過程.

（2）數學思考：在勾股定理的探索過程中，發展合情推理能力，體會數形結合的思想.

（3）解決問題：通過拼圖活動，體驗數學思維的嚴謹性，發展形象思維；獲得勾股定理后能解決簡單的“已知直角三角形兩邊求第三邊”問題.

（4）情感態度：通過對勾股定理的了解，感受數學文化，激發學習熱情；在探究活動中，體驗解決問題方法的多樣性，培養學生的合作交流意識與探索精神.

2.教學重點

探索和證明勾股定理.

3.教學難點

用拼圖的方法探索勾股定理的證明.

4.學程設計

（1）故事引入，引發思考.

相傳兩千多年前，古希臘著名的哲學家、數學家畢達哥拉斯去朋友家做客.在宴席上，其他的賓客都在盡情歡樂，只有畢達哥拉斯卻看著朋友家的方磚地發起呆來.原來，朋友家的地是用一塊塊直角三角形形狀的磚鋪成的（如圖1），黑白相間，非常美觀大方.主人看到畢達哥拉斯的樣子非常奇怪，就想過去問他，誰知，畢達哥拉斯突然恍然大悟的樣子，站起來，大笑著跑回家去了.原來，他發現了地磚上的三個正方形存在某種數學關系.

圖1

你知道他發現的三個正方形之間存在著怎樣的關系嗎？

設計說明：教師給出一個歷史小故事，設置懸念，引發學生思考，點燃學生的求知欲，以景激情，以情激思，為本節課的課堂教學和評價做好充分鋪墊.

（2）自主探索，合作交流.

探究活動一：數一數.

在圖2~4所示的正方形網格中，請你數一數圖中正方形A、B、C各占多少個小格子，完成表格，探究規律.

正方形A的面積（單位面積）正方形B的面積（單位面積）正方形C的面積（單位面積）觀察、探究圖2觀察、探究圖3觀察、探究圖4正方形A、B、C 的 面積的關系直角三角形三邊的數量關系得出結論：等腰直角三角形的三邊滿足a2＋b2=c2的數量關系.

設計說明：語言激勵評價-師生評價.通過小組內的合作交流，搭建本節課小組競爭的平臺.小組之間的比賽開始了！鼓勵學生合作、競爭，積極參與到課堂評價的活動中.鼓勵學生重點講出正方形C的面積的求解方法，挖掘小組學習過程中涌現的“導學小老師”.

探究活動二：議一議.

在圖5～6所示的正方形網格中，你還能數出圖中正方形A、B、C各占多少個小格子嗎？完成表格，探究規律.

正方形A的面積（單位面積）正方形B的面積（單位面積）正方形C的面積（單位面積）得出結論：等腰直角三角形的三邊滿足a2＋b2=c2的數量關系.觀察、探究圖5觀察、探究圖6正方形A、B、C 的 面積的關系直角三角形三邊的數量關系

設計說明：小組內評價、分層評價、獎勵評價－師生評價、生生評價.鼓勵學生重點講出正方形C的面積的求解方法，鼓勵學生的多種思路和多種解法，自然地強調重點、突破難點，滲透割補思想，重點培養“導學小老師”.

（3）歸納結論，探究證明.

探究證明：拼圖游戲——我們一起來驗證！

已知：Rt△ABC中，∠C=90°，AB=c，BC=a，AC=b.求證：a2+b2=c2.

預設：（老師發給每個同學提前準備好的兩組三角形學具）你能分別用這兩組圖片（如圖7），拼出兩個既無縫隙又不重疊的正方形嗎？

圖7

學生活動（有趣地拼圖）.

設計說明：通過使用直角三角形模具完成拼圖過程，讓學生體會應用圖形“割補拼接”面積不變的特點來驗證直角三角形三邊數量關系的猜想，培養學生由數到形再由形到數的數學思想以及轉化的能力.在實驗拼圖探究的過程中發展學生的空間想象力和合情推理能力.

老師讓學生把作品展示在黑板上，并讓最快的小組來談談當時是如何考慮拼接的，然后引導學生通過拼好的圖形來發現勾股定理.

學生活動(展示作品，談拼接理由，并在老師的引導下，自主探索、合作交流、師生互動獲得勾股定理證明的推導過程).

證法1：將四個全等的直角三角形圍成如圖8所示的正方形.

圖8

證法2：將四個全等的直角三角形圍成如圖9所示的正方形.

圖9

歸納總結：上面得到直角三角形三邊之間的數量關系，并學會用數學符號表示這種關系.

勾股定理：直角三角形兩直角邊的平方和等于斜邊的平方.

符號語言：如圖10，在Rt△ABC中，∠C=90°，有a2+b2=c2.

圖10

我國是最早發現勾股定理的國家之一，據《周髀算經》記載：公元前1100年人們已經知道“勾廣三，股修四，徑隅五”，把直角三角形中較短的直角邊稱為勾，較長的稱為股，斜邊稱為弦，將此定理命名為勾股定理.

設計說明：通過歸納，培養學生的數學語言和符號語言的表達能力，感受勾股定理的作用.

（4）實踐應用一：應用定理.

①在△ABC中，∠C=90°.若a=6，b=8，則c=______.

②在△ABC中，∠C=90°.若c=13，b=12，則a=_____.

③若直角三角形中，有兩邊長是3和4，則第三邊長的平方為（ ）.

A.25 B.14 C.7 D.7或25

設計說明：小組內評價、分層評價、獎勵評價－師生評價、生生評價.語言激勵評價－師生評價.開展小組競技.

（5）實踐應用二：探索情境.

①如圖11，一棵大樹在一次強烈臺風中于離地面9米處折斷倒下，樹頂落在離樹根12米處.大樹在折斷之前高多少？

圖11

②如圖12，有一個長方形盒子，長、寬、高分別為4厘米、3厘米、12厘米，一根長為13厘米的木棒能否放入？為什么？

設計說明：分層評價、師生評價、生生評價.

（6）回顧反思，提煉精華.

①你這節課的主要收獲是什么？

②該定理揭示了哪一類三角形中的什么元素之間的關系？

③在探索和驗證定理的過程中，我們運用了哪些方法？

④你最有興趣的是什么？你有沒有感到困難的地方？設計說明：引導學生反思，完整認知，讓知識建構完整化.

（7）布置作業，課后延伸.（略）

圖12

二、三點反思

1.定位于“學程設計”

學程設計不同于教學設計，不僅是教案，指向學生，包括三個方面：一是學習內容（學什么），二是學習過程（怎么學），三是學習標準（學到什么程度），就是以過程為核心，以內容為載體，以目標為導向.學程預設時就是把學生獲取知識和能力的過程預設出來，教師要站在學生的角度研究琢磨學生學習知識的路徑（學路）、方法和規律.可以發現，本課時在情境引入、發現性質、定理證明、簡單應用、反思提升等環節，都精心預設了學情，讓師生在學習時有一個很好的抓手，圍繞“核心主線”［1］有序展開，漸入佳境.

2.基于“再創造”發現式的理念

本課時以弗賴登塔爾“再創造”［2］發現式理念為指導，鼓勵學生經歷合情推理、歸納推理、演繹推理，“發現”勾股定理，并進行十分簡單的應用（稍難的應用將在后續課時完成），重在激發興趣，讓學生感悟數形結合思想、積累基本活動經驗等“四基”特色.特別地，由于勾股定理的證法十分多，課堂上的時間有限，因此課堂上教者的駕馭將發揮極大的作用，因為弗氏倡導的“再創造”、“發現式”教學并不是“原生態”的“復古”數學家們當初的努力，而是在教師的引導下、參與下、幫助下完成的.

3.融入HPM的一次努力

由于勾股定理的史料十分豐富，本課是踐行HPM（數學史與數學教學關注的研究領域，具體可參見文3）最佳教學內容.從上面的學程設計可以發現，情境引入、定理發現與證明等環節都體現了數學史內容.事實上，很多同行在教學勾股定理時，都會追求數學史融入的教學設計，這也說明教師們都十分重視數學史在勾股定理教學中的體現.需要指出的是，實際授課時，我們提倡的是數學史與所授知識的融入式“無縫對接”，而不能僅僅滿足于那種無厘頭的嵌入式講解數學史.

1.李善良.理清核心主線，優化教學過程［J］.中學數學月刊，2011（10）.

2.漢斯·弗賴登塔爾.作為教育任務的數學［M］.陳昌平，唐瑞芬，譯.上海：上海教育出版社，1995.

3.汪曉勤.HPM研究的內容與方法［J］.數學教育學報，2006（1）.