關于反比例函數的幾個結論的探索及應用

☉重慶市第十八中學 胡 蓉

關于反比例函數的幾個結論的探索及應用

☉重慶市第十八中學 胡 蓉

近幾年，數學中考越來越關注下面提到的定理和結論的考查，本文擬對其進行初步地探索，以拋磚引玉，希望引起大家的重視.

結論3： 設直線AB分別與x軸、y軸相交于點M、N，則△ACM≌△NDB.

同理，AC=DN.

又∠ACM=∠NDB=90°，所以△ACM≌△NDB.證畢.

結論4：AM=BN.

證明：由△ACM≌△NDB?AM=BN.證畢.

結論5：AN=BM=CD.

證明：AM=BN?AM+AB=BN+AB?AN=BM.

因為CM∥BD，CM=BD，所以四邊形CDBM是平行四邊形，所以BM=CD.故AN=BM=CD.證畢.

結論6：設直線AB與直線OE相交于點F，則FA=FB，FM=FN.

證明：設直線OE與直線CD相交于點G，則CG=DG.

又因為AM=BN，所以FM=FN.證畢.

例1（2009年山東威海中考）一次函數y=ax+b的圖像分別與x軸、y軸交于點M、N，與反比例函數的圖像相交于點A、B.過點A分別作AC⊥x軸，AE⊥y軸，垂足分別為C、E；過點B分別作BF⊥x軸，BD⊥y軸，垂足分別為F、D，AC與BD交于點K，連接CD.

②由文中的結論4，可得AN=BM.

（2）若將△BEF沿直線EF對折，點B落在x軸上的點D，作EG⊥OC，垂足為G，證明△EGD∽△DCF，并求k的值.

由OA=2，AB=4，得OC=4，CF=1，所以點F的坐標為（4，1）.

（2）易證∠EGD=△DCF=90°，∠GED=∠CDF，所以△EGD∽△DCF.

從上述解答中我們發現，若將△BEF沿直線EF對折，點B落在x軸上的D點，則OD=2AE.

根據結論4和結論5，CA=DB，CB=DA.

由切割線定理，得CE2=CA·CB，DF2=DB·DA，所以CE=DF.

過點D作DH∥CE，交EF于點H，則∠DHG=∠CEG.因為∠DHG+∠DHF=180°，而弦切角∠CEG+∠DFH=180°，所以∠DHF=∠DFH，所以DH=DF=CE.又因為∠CGE=∠DGH，所以△CGE≌△DGH，所以CG=DG，所以CG-AC=DG-BD，所以AG=BG，即點G是線段AB的中點.

這類問題在近幾年的中考中已經成為一道靚麗的風景線.本文的定理以及根據定理得出的若干結論并不能概括此類問題的全部特點，但窺一斑而知其全貌，我們已經領略到此類問題十分豐富的內涵，引領學生繼續探索新的結論，對開發智力、培養能力一定會有不同尋常的作用.