以“共頂正方形”為模型的中考試題及變式探究

☉寧夏中衛市沙坡頭區宣和鎮張洪學校 張 寧

以“共頂正方形”為模型的中考試題及變式探究

☉寧夏中衛市沙坡頭區宣和鎮張洪學校 張 寧

一、基本模型

例1 （2008年廣東省初中數學競賽）如圖1，正方形ABCD的邊長為2，點E在邊AB上.四邊形EFGB也是正方形，設△AFC的面積為S，則（ ）.

A.S=2 B.S=2.4

C.S=4 D.S與BE的長度有關

解析：設正方形BEFG的邊長為a，則AE=2-a，CG=2+a.

點評：本題以兩個具有一個公共頂點的正方形為基本模型，主要考查了正方形的性質、三角形面積的求法等知識.由于△AFC的面積不易直接求得，故采用間接求法：利用某些特殊圖形的面積來表示△AFC的面積，這種方法是求不特殊圖形的面積的一種重要方法.在表示△AFC的面積的過程中，還需要有正方形BEFG的邊長，因而這里又體現了“設而不求”的解題方法.從解題過程來看，△AFC的面積與正方形EFGB的邊長無關.本例中所涉及的幾何圖形簡潔優美，內涵豐富，不妨稱之為“共頂正方形”，即有公共頂點的正方形稱之為“共頂正方形”.

二、以“共頂正方形”為模型的中考試題

1.以“共頂正方形”為模型，求陰影部分的面積

例2（2012年湖北潛江市）如圖2，線段AC=n+1（其中n為正整數），點B在線段AC上，在線段AC同側作正方形ABMN及正方形BCEF，連接AM、ME、EA得到△AME.當AB=1時，△AME的面積記為S1；當AB=2時，△AME的面積記為S2；當AB=3時，△AME的面積記為S3；…；當AB=n時，△AME的面積記為Sn.當n≥2時，Sn-Sn-1=______.

解析：設正方形ABMN的邊長為m，則CE=BC=ACAB=n+1-m.

點評：本題以“共頂正方形”為模型，以規律探索的形式考查了圖形面積的求法.設出正方形ABMN的邊長，并以正方形ABMN的邊長表示梯形BCEM、△ABM、△ACE等特殊圖形的面積是解決問題的關鍵，最后用這些特殊圖形的面積來表示△AME的面積.從求解過程可以看出，陰影部分的面積只與△ABM的面積有關，即與正方形ABMN的邊長有關，本題所用的解題方法與例1基本相同.

2.以“共頂正方形”為模型，判斷角的大小關系

例3（2013年臺灣省）如圖3，四邊形ABCD、AEFG均為正方形，其中E在BC上，且B、E兩點不重合，并連接BG.根據圖中標示的角，有下列關于∠1、∠2、∠3、∠4的大小關系的判斷，其中正確的是（ ）.

A.∠1＜∠2 B.∠1＞∠2

C.∠3＜∠4 D.∠3＞∠4

解析：因為四邊形ABCD、AEFG均為正方形，所以∠BAD=∠EAG=90°.

因為∠BAD=∠1+∠DAE=90°，∠EAG=∠2+∠DAE=90°，所以∠1=∠2.

因為△ABE是直角三角形，所以AE＞AB.

因為四邊形AEFG是正方形，所以AE=AG.

所以AG＞AB，所以∠3＞∠4.故選D.

點評：本題以“共頂正方形”為模型，主要考查正方形的性質：正方形的四條邊都相等，每一個角都是直角；同角的余角相等；在同一個三角形中，較長的邊所對的角大于較短的邊所對的角.在解題過程中將邊的大小關系轉化為角之間的大小關系是解決問題的關鍵.

3.以“共頂正方形”為模型，考查綜合運用所學知識推理論證的能力

這類試題以“共頂正方形”為模型，涉及的知識點有線段的相等關系或位置關系、角的相等關系、全等三角形的性質和判定、正方形的性質、勾股定理等，突出數學知識的整體性，主要考查綜合運用所學知識推理論證的能力.

例4（2013年遼寧營口）如圖4，△ABC為等腰直角三角形∠ACB=90°，F是AC邊上的一個動點（點F與A、C不重合），以CF為一邊在等腰直角三角形外作正方形CDEF連接BF、AD.

（1）①猜想圖4中線段BF、AD的數量關系及所在直線的位置關系，直接寫出結論.

②將圖4中的正方形CDEF繞著點C按順時針（或逆時針）方向旋轉任意角度α，得到如圖5、圖6所示的情形.圖5中BF交AC于點H，交AD于點O，請你判斷①中得到的結論是否仍然成立，并選取圖5證明你的判斷.

（2）將原題中的等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC，∠ACB=90°，正方形CDEF改為矩形CDEF，如圖7，且AC=4，BC=3，CD=，CF=1，BF交AC于點H，交AD于點O，連接BD、AF，求BD2+AF2的值.

解析：（1）①BF=AD，BF⊥AD.

②BF=AD，BF⊥AD.理由如下.

因為△ABC是等腰直角三角形，∠ACB=90°，所以AC=BC.

因為四邊形CDEF是正方形，所以CD=CF，∠FCD=90°，所以∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，即∠BCF=∠ACD.

（2）如圖7，連接DF.

因為四邊形CDEF是矩形，所以∠FCD=90°.

又因為∠ACB=90°，所以∠ACB=∠FCD，所以∠ACB+∠ACF=∠FCD+∠ACF，即∠BCF=∠ACD.

點評：本題第一問以一個等腰直角三角形和一個正方形為基本圖形，主要考查等腰直角三角形的性質、正方形的性質、全等三角形的性質和判定等知識，這個基本圖形其實還是“共頂正方形”，因為等腰直角三角形可補全為正方形.第二問中將等腰直角三角形ABC改為直角三角形ABC，將正方形CDEF改為矩形CDEF，使圖形更具一般性，考查的知識點也由全等三角形轉移到了相似三角形，在求值過程中還用到了勾股定理.本題改編之后更加具有挑戰性，對學生來說具有一定的難度，也體現了中考的選拔功能.

三、以“共頂正方形”為模型的中考試題的變式探究

正方形是最常見的平面圖形之一，它的性質學生非常熟悉.以正方形為基本圖形組成的“共頂正方形”圖形優美、內涵豐富，它在命題中具有廣闊的變化空間.通過對以“共頂正方形”為模型的中考試題進行合理改編，或借助于幾何畫板的測量功能與超級畫板的自動推理功能，可根據考查的目標和重點編擬一些形式優美的幾何試題.

例5 如圖8，正方形ABCD和CGEF是共頂正方形，連接AE，點M是線段AE的中點，連接DM、FM.求證：FM⊥MD，FM=MD.

證明：如圖9，延長DM到點N，使MN=DM，連接DF、FN、NE.

因為M是線段AE的中點，所以AM=ME.

又因為∠AMD=∠EMN，DM=MN，所以△AMD≌△EMN.

所以AD與EN平行且相等.

所以△CDF與△ENF中有兩對邊相等且垂直.

所以△CDF逆時針旋轉90°后可以得到△ENF.

故△FDN是等腰直角三角形.

又因為點M是線段AE的中點，所以FM⊥MD，FM=MD.

說明：本題主要考查正方形的性質、全等三角形的性質與判定、直角三角形的性質，根據已知構造輔助線是解決本題的關鍵.

對圖9稍作變化，可得到例6.

例6 如圖10，在△BEF中，∠BEF=90°，BE=EF， 四 邊 形ABCD是正方形，連接DF，G為DF的中點，連接EG、CG.

求證：EG=CG，EG⊥CG.

證明：如圖11，延長CG至M，使MG=CG，連接MF、ME、EC，延長MF交CB的延長線于點N，MN交BE于點H.

在△DCG和△FMG中，FG=DG，∠MGF=∠CGD，MG=CG，所以△DCG≌△FMG.

所以MF=CD，∠FMG=∠DCG.所以MF∥CD.

因為四邊形ABCD是正方形，所以∠DCB=90°，CD=BC.所以∠HNB=90°，MF=BC.

因為∠BHN=∠FHE，∠BEF=∠HNB=90°，所以∠EFH=∠NBH.

因為∠CBE＋∠NBH=180°，∠EFH＋∠MFE=180°，所以∠MFE=∠CBE.

在△MFE和△CBE中，MF=CB，∠MFE=∠CBE，EF=BE，所以△MFE≌△CBE.

所以∠MEF=∠CEB，EM=EC.

所以∠MEC=∠MEF＋∠FEC=∠CEB＋∠CEF=∠BEF=90°.

所以△MEC為直角三角形.

四、結束語

以“共頂正方形”為模型可以編擬出很多有趣的幾何問題，這些幾何問題表面上有所不同，但它們所蘊含的解題思想是統一的，解決問題的方法是類似的，只要抓住“共頂正方形”基本圖形的特征，綜合運用三角形全等、勾股定理、正方形的性質、三角形相似等相關知識進行探索，不難得出結論.通過這樣的探究活動，不但可以為學生提供很多富有挑戰性和探索性的學習素材，激發學生學習數學的興趣，培養學生的發散思維和創新思維，有助于學生初步形成模型思想，提高學生的數學應用意識，而且對教師數學素養的提升也有一定的作用.

1.中華人民共和國教育部制定.義務教育數學課程標準（2011年版）［M］.北京：北京師范大學出版社，2012.

2.張寧.以勾股圖為模型的中考試題及其變式探究［J］.中學數學（下），2013（1）.

3.張寧.關注“直L形”圖形模型 重視通法的解題功能［J］.中學數學（下），2013（8）.