淺談數學概念的教與學

何成達

摘 要：歷史表明，重要的數學概念對數學發展的推動作用是不可估量的，數學概念是數學的重要組成部分，又是其基礎和基本技能的核心，清晰的數學概念是思維的前提，又是判斷推理的基礎。闡述在教學中如何讓學生更有效地學習數學概念。

關鍵詞：數學概念；了解；明確；鞏固

數學概念是思維的細胞，是感性認識飛躍到理性認識的結果，數學概念是學生形成正確數學觀的重要理論依據。由于概念本身具有的嚴密性、抽象性和確定性，因此在新課程理念下的數學概念教學，應充分調動學生參與課堂教學活動，使學生經歷觀察、分析、類比、猜想、歸納、抽象、概括、推廣等思維活動，通過不同形式的自主學習、探究活動，體驗數學概念的產生和發展過程。據此對數學概念的學習應足夠重視。教學中怎樣才能使學生更有效地學好數學概念呢？

一、使學生了解數學概念產生的背景，領略大師之智慧

很多數學概念的形成都有相關背景。如牛頓對力學的研究促進了微積分的發明，在解代數方程的過程中產生了虛數，功的計算就是向量數量積的物理背景。眾所周知，豐富多變的現實世界和實際生活也是數學概念的來源之一。很多數學概念在生活中就有原型，如出租車、手機計費問題就是函數的實例。學生通過對概念的歷史背景、專業背景、生活背景的了解，認清數學家發明、發現的動因，觸及隱藏在概念中的數學家們的思想方法，領略大師們的智慧和閃亮之處。激發學生認知內驅力，激活學生的思維或興趣，創造性地發揮學生潛能。

二、明確概念的內涵和外延，辨明相關概念之間的關系

概念的內涵是反映在概念中的對象的本質屬性，外延是具有概念所反映本質屬性的對象。挖掘新概念的內涵與外延是學習概念的必有過程。有些概念由于其內涵豐富多樣、外延廣泛，表述抽象，應用多變，邏輯性強，很難一步到位，需要分成若干個層次，逐步加深提高。概念教學中要以典型豐富的實例為載體，引導學生展開觀察、分析各事例的屬性、抽象概括共同本質屬性，歸納得出數學概念。然后聯系實際，研究概念發生的條件范圍，剖析其中隱含的各種關系，聯想有關的實物、圖形，掌握本質屬性，加深對概念的理解，明確其內涵。同時不能忽略對概念的外延學習，要認清概念所反映對象的各種類型，進而辨析各種類型之間的關系，尋找它們之間的區別與聯系，這樣才能系統地掌握概念，對概念有一個整體把握。中學教材中有許多概念具有相似的屬性，對于這些概念的教學，教師可先引導學生研究已學過的概念屬性，然后構建新知識生成的空間，引導學生去感受、去類比、去體驗，讓教學知識在積極的教學體驗、比較中形成。在尋找新舊概念之間聯系的基礎上掌握概念。數學中有許多概念都有著密切的聯系，如平行線段與平行向量、平面角與空間角、方程與不等式、映射與函數等等，在教學中應善于尋找、分析其聯系與區別，有利于學生掌握概念的本質。概念精細化是完善概念教學的保證。在概念形成的基礎上，對所學概念進行適當拓展，有時甚至會做出某種推論，這個過程被認知心理學家稱為“精致”。在數學學習中，“精致”的實質是對數學概念的內涵與外延進行盡量詳細的“深加工”。對“概念要素”進行具體界定，以使學生建立更清晰的概念表象，獲得更多的概念例證，恰當地組合正例和反例，加強辨析。正例適應學生學習概念的初始階段，比較有利于學生區分、鑒別和概括概念的本質屬性；反例提供了最有利于辨別的信息，適當使用不但會使學生對概念的理解更精確，而且可以排除無關特征的干擾，對概念的細節把握更加準確，預防不必要的混淆，從而達到學生對概念更透徹地理解和認識。

三、重視同一概念的多種表達方式，多角度認識概念

同一概念往往有不同的表述方式，可用語言文字表達，也可用數學符號表述，也可用圖象、表格等形式表述。文字表達的數學概念精練、簡明、準確，所以對有些數學概念的辨析要“咬文嚼字”。數學符號表達的概念，簡潔明了，易記易用；圖形表示的概念直觀、形象，便于觀察、聯想。比如，等差數列的文字定義為：一個數列從第二項起每一項與前一項的差等于同一個常數，那么這個數列是等差數列。符號表達式為：an-an-1=d（d為常數，n≥2）。或者2an=an+1+an-1

（n≥2）。再如，二次函數的表達式有：一般式、頂點式、交點式。函數概念有兩種定義，一種是初中給出的定義，是從運動變化的觀點出發，其中的對應關系是將自變量的每一個取值，與唯一確定的函數值對應起來；另一種是高中給出的定義，是從集合、對應的觀點出發，其中的對應關系是將原象集合中的每一個元素與象集合中唯一確定的元素對應起來。從歷史上看，初中給出的定義來源于物理公式，而函數是描述變量之間的依賴關系的重要數學模型，函數可用圖象、表格、公式等表示，所以高中用集合與對應的語言來刻畫函數，抓住了函數的本質屬性，更具有一般性。認真分析兩種函數定義，其定義域與值域的含義完全相同，對應關系本質也一樣，只不過敘述的出發點不同，所以兩種函數的定義，本質是一致的。當然，不同表述方法各有優點。因此，學習數學概念時，掌握同一概念的多種表示方法，從多角度認識概念，以便在解決具體問題時靈活選用，提高應用概念的能力。

四、嘗試使用相關概念解決有關問題，鞏固、加深對概念的理解

很多學生對概念的學習只停留在概念的記憶上，而忽略了對

概念的理解和應用。只有在應用過程中，大腦才能高速運轉，才能不斷地分析、綜合，對獲取的信息不斷地加工、整理，進而進行判斷推理。通過應用既能加深對概念的理解，又能提高分析解決問題的能力。數學概念形成之后，通過具體例子，說明概念的內涵，認識概念的“原型”，引導學生利用概念解決數學問題和發現概念在解決問題中的作用，是數學概念教學的一個重要環節，此環節操作的成功與否，將直接影響學生對數學概念的鞏固以及解題能力的形成。在實際教學中，一定程度上存在著為概念而概念的想法，把數學中的概念與定理、公式和基本訓練割裂開來，甚至對立起來。有的教師認為講清概念，就是講清課本中的一些定義或者名詞、術語，滿足于使學生記住，甚至熟背這些定義或者名詞、術語。雖然在定理、公式教學中，必須涉及有關概念，但并不自覺，更不能有意識地使學生加深對概念的理解。學生對學習數學概念的目的不明確，產生學而無用的想法，這也是學生對數學概念的掌握不能鞏固，不善于應用的一個主要原因。因此，運用數學概念解決問題是概念鞏固、升華的過程。

五、總結提煉，使概念系統化

不會總結，就不會進步。只有不斷總結，才能使所學概念條理化、系統化，使其內容更為精煉，更容易記憶和掌握。數學的概念是很抽象的，要使學生掌握它，并靈活應用，絕不是一件簡單的事。如果忽視了概念系統化和精細化工作，學生就只能一知半解，不成體統。學生獲得某些概念需要經過從局部到整體、由淺入深的過程，一下子就求全求深，學生反而不能掌握，造成概念模糊。只有在學習、應用過程中不斷體會、總結、提煉，才能使概念系統化。比如，基本初等函數是函數的下位概念。我們可總結提煉為一張概念圖來表示函數的概念系統。

總之，中學數學新課標提出了與時俱進地認識“雙基”的基本理念，而概念教學是“雙基”教學的重要組成部分，通過概念教學使學生認識概念、理解概念、鞏固概念、應用概念，這是數學教學的根本目的。只有真正使學生在參與過程中產生內心的體驗和創造，才能達到認識數學思想的目的。

參考文獻：

[1]曹才翰，章建躍.中學數學教學概論[M].北京師范大學出版社，1990-01.

[2]章建躍，陶維林.概念教學必須體現概念的形成過程：“平面向量的概念”的教學與反思[J].數學通報，2010（01）.

編輯 張珍珍