激活已有經驗 引發自主探究——小學數學體積教學之我見

許崇麒

通常情況下可以講數學空間與圖形部分的知識分為三個系列：一是圖形認識與論證部分，如一個圖形的認識、一個圖形的要素認識、一個圖形的性質研究、兩個圖形的關系研究；二是圖形測量與計算，如一維長度的認識、測量工具和度量單位、平面圖形周長的計算，二維面積的認識、測量工具盒度量單位、平面圖形面積的計算，三維體積的認識、測量工具盒度量單位、物體表面積和體積的計算；三是圖形位置與變換部分，如位置、方向、坐標，平移、旋轉和對稱。

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中小學數學（第一學段、第二學段）“圖形與幾何”領域分割成圖形的認識、測量、圖形的運動、圖形與位置四部分內容。體積屬于“圖形與幾何”領域中“測量”內容。小學數學教材涵蓋：一維的測量（長度），直邊圖形的測量（線段、常見直邊平面圖形邊長及周長的測量）、曲邊圖形的測量（圓的周長）；二維的測量（面積），直邊圖形的面積（常見直邊平面圖形的面積、長正方體的的表面積）、曲邊圖形的面積（圓的面積、圓柱的表面積）；三維的測量（體積），直邊圖形的體積（長正方體的體積）、曲邊圖形的面積（圓柱的體積、圓錐的體積）。（注：本文暫不研究角度的測量。）

《義務教育數學課程標準（2011年版）》中初中（第三學段）數學“圖形與幾何”領域有圖形的性質、圖形的變化、圖形與坐標三部分內容。其中小學“圖形的認識”與初中“圖形的性質”、小學“圖形的運動”與初中“圖形的變化”、小學“圖形與位置”與初中“圖形與坐標”內容上相互呼應承接，但是中學階段沒有與小學的“測量”相對應的內容。

小學數學三維的測量（體積）主要研究長方體、正方體、圓柱和圓錐的體積。初中階段，沒有關于體積測量的新授知識。高中階段，必修課程“數學2：立體幾何初步、平面解析幾何初步”中，第一部分立體幾何初步的第一點“空間幾何體”板塊中會再次對柱體進行研究，“了解球、棱柱、棱錐、臺的表面積和體積的計算公式（不要求記憶公式）”研究，這一階段的研究是在小學研究了圓柱、圓錐等立體圖形的體積的基礎上，從“冪勢既同，則積不容異”（即祖暅原理）的角度論證柱體的體積計算公式。

可見，小學數學對圖形體積測量的研究內容不多、較為簡單、理解樸素。在小學階段完成了體積測量最為基礎的知識學習與經驗儲備，這部分知識與經驗將在相當長的一段時間內作為重要的知識與經驗基礎參與到后續的學習中。因此小學階段“體積測量”的相關知識經驗還是較為重要的。

一、提出問題

首先，我們了解一下小學階段教材（人教版）中體積知識的編排體系。

體積的學習在小學階段分兩次學習。第一次學習是五年級下冊，建立“體積”的概念、認識體積單位、計算體積大小并推導長正方體體積計算公式；第二次學習是六年級下冊，認識圓柱圓錐后，推導圓柱圓錐的體積計算公式。可以看出，小學數學關于體積方面只研究少數幾個圖形（4個）的體積；體積的學習是在建立在長度測量的知識經驗基礎之上學習的；面積與體積的是穿插學習的，教材將長方體、正方體、圓柱和圓錐四個圖形的體積與四個立體圖形的體積分成兩組，中間穿插“圓”的周長和面積。人教版教材編寫的這一特點與京版教材及師大版教材的編排規律時一致的，且在近一次的教材修訂都沒有改變這一編排順序，想必這是一種較為合理的安排，那么這樣編排的意義又何在呢？其次，在小學階段又應該如何幫助學生建立“體積”的概念？概念理解到什么程度？

再有，在調研中發現，很多學生在課前已經知道了長正方體、圓柱和圓錐的體積公式，有的甚至能夠代入數值運用公式解決簡單的問題，這種情況下，是不是老師就不需要講了呢？是不是我們的課堂就沒有意義了呢？

二、分析問題

（一）關于體積概念的建立

“物體所占空間的大小，叫做物體的體積。”這是教材對體積的定義。這句話對于理解體積的概念有多大幫助呢？把這句話背下來是否就是掌握了體積的概念了呢？答案當然是否定的。很贊同張奠宙教授在《從體積的定義說起》文章中的觀點，首先這個定義不是嚴格的定義，另外“這樣的定義，可能越說越糊涂，把本來簡單明白的事情搞復雜了”，所以這句話“不必背誦”。對體積的教學不要在“什么是體積”上做文章，可以通過挖掘體積的本質特征以及數學活動中來理解概念，如比較體積的大小、用體積單位度量體積大小、等積變形、體積公式推導等。

第一次建立體積概念的是五年級下冊第三單元認識了長方體和正方體之后學習的。

如何幫助學生有效的建立體積這一概念呢？追蹤課堂，我們總結出以下三點。

第一，建立良好的長度和面積概念。長度和面積是體積學習的基礎，良好的長度概念和面積的概念對建立體積概念有著積極的作用。如果在長度和面積的探究過程中就對長度、面積、測量工具、測量單位、計算公式等有良好的經驗積累和深刻感受，那么在探究體積的概念時便會游刃有余。

換一個角度來說，長度、面積概念的建立，直接影響著體積概念的建立。對比課改十幾年前后的課堂，我們發現了課堂教學的巨大變化。現在的教學十分重視對基礎概念的挖掘，重視讓學生通過操作活動在動手實踐中理解概念、領悟概念的本質，因此學生對長度、面積概念的建立良好。

例如在《面積的初步認識》一課，教師設計了一系列的活動幫助學生建立面積的概念：1.初步建立面積的概念。首先通過“摸一摸”引導學生認識物體的表面，由“物體的表面的大小”感知面積；其次借助平面圖形比較同一個物體的兩個面面積的大小，由“封閉圖形的大小”感知面積。2.深入理解面積概念。比較長方形和正方形的面積、三角形和長方形面積時，通過“九個小圓片的面積就是這個大正方形的面積嗎？”“九個小正形的面積等于這個大正方形的面積嗎？”“四個小三角形的面積是不是大三角形的面積？”等問題，理解用面積單位密鋪后可得“面積”的大小。后續的“猜一猜”游戲中，啟示學生有了面積單位并不一定能確定面積的大小，也不一定能準確比較面積的大小，要想確定面積的大小、準確比較面積的大小對格子有一定的要求（統一面積單位），這個環節既是對“面積”概念的深入理解，也是為接下來《面積單位》的學習做好鋪墊。3.區分“周長”和“面積”概念。“什么相等，什么不等？”將周長和面積兩個概念在對比中鞏固，在對比中區分，避免混淆。4.生活中的面積。介紹生活中的面積，感受生活中的數學，激發學習興趣，同時為后續的面積單位、面積單位的換算作鋪墊。

這樣的課堂教學緊密聯系生活實際，在深入分析教材編寫意圖的基礎上，提供廣泛的學習資料，以積累豐富的表象；注重實踐操作，整節課貫穿動手實踐與操作，學生在摸一摸、涂一涂、比一比等一連串的數學活動中進行思考、感悟，在觀察、操作、猜測、驗證、推理和交流的活動中提升概念、方法；適時滲透數學思想，在比較面積大小的過程中，適時滲透“全等形等積”和“面積的可加性”等數學思想，為后續學習做好鋪墊。也正是這樣的課堂，既建立了正確的“面積”概念，同時也為學生學習“體積”奠定了良好的基礎。

第二，在自主探究中經歷體積概念的形成過程。經歷概念形成是建立數學概念的主要方式之一，概念形成主要經歷“辨別刺激模式、分化屬性，概括共同屬性，確認關鍵屬性，形成概念，符號表述”等過程。課堂教學應該讓學生經歷體積的形成過程，例如有的老師課堂設計《烏鴉喝水》的故事入課，接下來學生帶著問題“為什么把石子放到瓶子里，瓶子的水就上升了？”動手實驗，發現水上升是因為石頭占有一定空間，瓶中放的石塊越大水上升就越多，感悟物體是占有空間的，占有的空間有大小之分，最終總結出物體占有的空間的大小就是我們常說的“體積”。

第三，在體積測量相關內容學習過程中，逐步建立體積的概念。初步建立體積的概念后，后續的認識測量單位、推導體積計算公式的過程，就能感受體積的可測、可分割、可累加。體積測量的本質是體積單位的多少，也是建立體積概念不可分割的一部分，是在逐步地完善對體積的認識，提升對體積概念的理解。

（二）關于體積公式的推導

體積的學習，圓柱體積是轉折點。圓柱體積之前的長方體和正方體是規則的直邊（面）立體圖形，通過體積單位的累加，可以較為輕松地計算出體積、推導出體積公式，而圓柱和圓錐是含曲邊（面）的立體圖形，直接依托體積單位累加實現體積計算是十分困難的。這也就是解釋了為什么要將長方體正方體、圓柱圓錐分成兩組來研究體積。

在此，我們重點研究圓柱體積公式推導。圓柱體積推導的關鍵是要“化曲為直”，將曲邊（面）的圓柱等積變形為直邊（面）的長方體，從而求出圓柱的體積；進而將長方體的長寬、高與圓柱的地面周長、半徑、高建立對應；最終推導出圓柱體積的計算公式。我們對比圓面積的推導過程，不難發現二者異曲同工，圓面積推導過程中所積累的活動經驗成為圓柱體積公式推導的最重要、最直接的經驗。

學生在圓面積公式推導過程中積累了怎樣的經驗呢？通過對北京東城（南片）的學生進行問卷調查，分析發現：97%的學生都能回憶起公式推導過程，其中46%的學生能將圖形轉化等積變形、建立的對應過程進行詳實描述，可以看出，學生具備“化曲為直”將圓轉化為長方形的活動經驗，對數學思想方法有較好的體會。可見，學生通過曲邊圖形二維測量探究具備良好的思想方法的感悟和活動經驗的積累。（如下圖）

圓柱對學生并不陌生，且調查顯示大多數學生都知道了圓柱體積公式，在學習前84%的學生都能準確寫出圓柱體積的計算公式。但是“在數學的天地里，重要的不是我們知道什么，而是我們怎么知道什么” （畢達哥拉斯語），繼續追問“圓柱的體積公式是如何推導出來的？”

35%的學生的回答閃著智慧的火花，我們對比來看會更明顯（見圖1、圖2），這些孩子不僅具備一定的知識及活動經驗，而且已將這些經驗應用到解決新問題中來，他們已經具備自主推導圓柱體積公式的可能性，只不過他們還沒有實施過自己設想的方案。49%的學生表示不會（見圖3），這部分學生具備良好的圓面積的知識和活動經驗、知道圓柱公式，他們的思維是卡“等積變形”這個節點，只要喚醒“圓面積公式推導”的經驗，然后借助直觀學具或同伴的啟發將經驗與新問題進行有效的對接，便可突破這個節點。16%的學生的答案也并不是天馬行空，只不過處于猜想的初期（見圖4），這要幫助學生根據原有的圓柱、圓柱體積、圓面積推導等知識經驗，進行合理猜想，就能找到問題解決的突破口。

圖1

圖2

圖3

圖4

可見，前期知識經驗的積累以及將新問題與已有知識經驗的對接在圓柱體積公式推導中顯得尤為重要。

在教學實踐中，在提供足夠的學具支持下，可以充分發揮這35%的學生的主體性，啟發帶動49%的學生進行自主探究，同時共同影響16%的學生參與到探究過程中，逐漸構建知識間的聯系，完成探究過程。

三、解決問題

總之，在進行體積教學中要注意以下幾點：

（一）構建知識之間聯系，激活已有經驗

“數學活動經驗需要在‘做’的過程中和‘思考’的過程中積淀，是在數學學習活動中逐步積累的。”（《義務教育數學課程標準（2011年版）》P46）

課前，積極調取原有知識活動經驗。長方體和正方體體積是圓柱體積的知識基礎，圓柱體積是圓錐體積的知識基礎，圓面積是圓柱體積的知識經驗基礎。在體積的探究過程中，要注重挖掘面積與體積概念的本質聯系，將新知識與舊知識建立聯系，構建知識網絡，激發學生的發散思維和創新意識，使知識融會貫通，讓學生更加系統透徹地理解。激活已有經驗解決新問題的過程，又是經歷一個新的解決問題的過程，也便于積累新的活動經驗，后續面對同類數學問題時便能調取此次積累的經驗。

每次探究和嘗試的過程，就是一次經驗積累的過程，不僅要注重建立知識間的聯系激活已有經驗，更要注重積累新的經驗。課中，創設活動幫助學生積累必要的思考和活動經驗。探究問題的過程是發現和提出問題、分析和解決問題的過程，積累問題解決的經驗；在自主探究環節，通過完整的探究過程積累探究方法的經驗；在科學驗證環節，通過經歷豐富測量體積的動手實踐過程積累測量的經驗，通過自主推導公式的過程積累公式推導的經驗。課后，在總結提升環節，通過回顧舊知、發現聯系、繼續大膽猜想等思維過程，積累學習方法和思維習慣層面的經驗，為后續知識的延伸、拓展奠定基礎。

（二）重視公式推導過程，滲透數學思想方法

體積計算公式的學習，推導出公式的這一結果并不是重點，在推導公式過程中發展學生的推理能力才是重點。推理思想是小學數學基本數學思想之一（抽象、推理、模型），推理能力是小學階段培養的技能之一。在數學教學中，要引導學生學會利用合情推理進行探索問題，提出猜想，再利用特例驗證猜想，幫助學生歸納數學規律，發現結論。在體積公式推導的過程中，要給予充足的時間讓學生參與猜測、實驗、分析、推導等活動，經歷探究推導的全過程，發展學生的推理能力；給予充分的空間讓學生在合作、交流、質疑、補充、討論的過程感受推導過程的嚴謹性，感悟推理的魅力在于“謂以情推，不用籌算”；引導學生回顧、反思、延展，讓學生感悟推理的重要價值和應用的廣泛性。此外，體積的學習過程中滲透等積變形、對應、極限等數學思想方法都有著十分重要的意義。

（三）發揮學生主體效能，引發自主探究

《國家中長期教育改革和發展規劃綱要（2010-2020年）》工作方針中指出，“以學生為主體，以教師為主導，充分發揮學生的主動性”，“促進每個學生主動地、生動活潑地發展”。《義務教育數學課程標準（2011年版）》中強調“學生是學習的主體”，“學生學習應當是一個生動活潑的、主動的和富有個性的過程”。在體積測量的教學中，在已有的良好的知識經驗和思維習慣的基礎上，要充分發揮學生的主體性效能，在發現問題、提出問題、分析問題和解決問題的每個環節中，最大限度地調動學生的自主性和主動性，給學生以廣泛的空間，充分發揮學生的創造性，從而以激發學生的主體性引發學生的自主探究。

總之，在體積教學中，“為什么”比“是什么”更重要，探究過程比探究結果更有價值，學會學習比學會知識更有意義。課堂教學激活學生的已有經驗，引發學生的自主探究，才是教學的根本。