形狀參數對霍爾效應性能影響的理論研究

葉森鋼， 朱敏杰， 阮謝永， 余亞東

(紹興文理學院， 浙江 紹興 312000)

0 引 言

霍爾效應是1879年美國物理學家霍爾首先發現的，但由于金屬導體中霍爾效應較為微弱，在以后的幾十年中沒有得到很好應用[1]。隨著半導體材料研究的深入，人們發現在半導體材料中霍爾效應較為明顯，才使得霍爾效應得到廣泛應用。影響霍爾效應強弱的因素很多，首先是材料性能，其次還有愛廷豪森效應、能斯脫效應、里級-勒杜克效應、不等位效應、溫度及霍爾材料性能等，其中材料性能對霍爾電勢的影響主要由RH=ρμ體現(ρ為元件的電阻率;μ為元件中載流子遷移率)，由此可知金屬導體和絕緣體的霍爾效應很弱，半導體的較為明顯[2-3]。另外,霍爾元件的形狀參數對霍爾效應也有較大影響，但目前對形狀參數的研究多側重于實驗，理論分析和研究很少[4-5]。本文從理論角度,并盡可能簡單地闡述該因素對霍爾效應的影響機理。

1 霍爾效應產生原理

置于磁場中的載流導體，當它的電流方向與磁場方向不一致時，載流導體上與電流方向和磁場方向所在平面的平行的兩個表面之間會產生電動勢，這種現象就稱為霍爾效應，產生的電動勢稱為霍爾電勢[6]。為簡單起見，本文分析的霍爾元件為較典型的長方體[7],如圖1所示。在垂直于磁場B的方向放置一霍爾元件(假定該霍爾元件以單一的電子作為載流子)，在霍爾元件通以圖1中方向的電流I，最初，該電流使電子在電場作用下做定向運動，由于有磁場的存在，電子還受到洛倫茲力fL作用， 大小為

fL=ev0B

(1)

式中：e為電子電荷；v0為電子運動平均速度；B為磁場的磁感應強度。為簡單起見，不考慮載流子速度的統計分布，同時考慮半導體中載流子的散射運動，因此可以認為載流子都有相同的速度，并假設載流子的速度為平均速度為v0[8]。fL方向向內，所以電子在洛侖茲力的作用下，方向發生偏轉，使得圖1中霍爾元件內側面開始積累負電荷，外側面積累了正電荷，從而形成方向由外而內的附加電場。這樣，元件中運動的電子不僅受到洛倫茲力的作用，還受到附加電場力的作用，該電場力的方向與洛倫茲力的方向相反。隨著內外側面積累電荷的增加，附加電場增大，電子受到的附加電場力也相應增大，最終當電子所受的洛倫茲力與電場力大小相等時，由于它們的方向相反，電子不再在兩側面上積累，達到動態平衡，此時該附加的橫向電場就稱為霍爾電場，內外側面存在相應的電勢稱為霍爾電勢，此時有霍爾電場力如下：

fE=eEH，fL=fE

(2)

式中：UH為內外側面間的電位差；b為元件的寬度；EH為霍爾電場。

圖1 霍爾效應原理圖

設n為霍爾元件內單位體積內的載流子數，則激勵電流I為

I=nev0s=nev0bd

(5)

式中：d為霍爾元件的厚度，可得：

v0=I/(nebd)

(6)

將式(5)代入式(3)、(4)可得：

UH=RHIB/d=KHIB

(7)

式中：RH為霍爾常數，RH=1/ne，KH=RH/d稱為霍爾靈敏度，可知霍爾電勢為霍爾靈敏度、磁感應強度和激勵電流的乘積。

2 形狀參數對霍爾電勢的影響

式(7)是在元件長寬比l/b較大的情況下理想化的表達式，在實際中形狀參數的不同，會影響到達側面的載流子數量。如果到達側面的載流子數量很少，那么側面聚集的電荷產生的霍爾電場很弱，即元件中載流子受到的霍爾電場力不能夠與洛倫茲力相等，從而導致霍爾電勢不能用上面的理想公式表示，所以實際元件要有形狀參數修正因子，即：

UH=KHIBfl/b

(8)

式中：l/b為霍爾元件長寬比；fl/b為形狀修正因子[9]。

下面討論要使霍爾效明顯應滿足的形狀條件。為簡單起見，以下霍爾元件仍然為長方體，載流子為單一的電子，不考慮載流子速度的統計分布，同時考慮半導體中載流子的散射運動，因此可認為載流子具有相同的速度，并假設載流子的平均速度均為v0。

由前述的霍爾效應產生的原理可知，要使霍爾效應明顯，應使霍爾元件在兩側面積累的電荷面密度越大越好，即在確定的霍爾元件兩側面上積累的電荷越多越好。為此可考察如圖2所示的載流子運動分布。

圖2 載流子在元件中運動情況示意圖

假定圖中載流子均勻地進入霍爾元件的AM端面，在圖中所示的磁場和外加激勵電流的條件下，載流子在x方向做定向運動的同時受洛倫茲力的作用向內側面MN端面偏轉，在內側面MN端面積累負電荷，外側面積累正電荷，因而產生由外側面至內側面的橫向電場。內外側面上積累的電荷隨時間的推移而增加，相應地該橫向電場也相應增加，直至此橫向電場對載流子的作用力抵消載流子所受的洛倫茲力，即大小相等，方向相反時，內外側端面積累的電荷不再增加，達到平衡。此時建立起穩定的橫向電場和橫向電勢，即為霍爾電場和霍爾電勢。從霍爾電勢建立的過程可以看出，要產生較明顯的霍爾效應，就應在穩定的穩定霍爾電場建立前，在元件的兩個側面積累盡可能多的電荷。也就是要求載流子運動到端面BN前能偏轉到內側面MN。而載流子在穩定霍爾電場建立前的運動為x方向的勻速運動(速度大小為v0)和y方向的變加速運動的合成(具體講該加速度隨時間推移逐漸變小直至為0)如圖3所示。很明顯，同為速度v0的載流子，離內側面MN最近的載流子1要比載流子2，3，…，7等更容易偏轉到MN端面上并被收集，相反離內側端面MN最遠的載流子7最不容易偏轉到內側端面MN上，因此內側端面電荷積累最大化的問題實際就是載流子束7、71、72、73、74等能否為內側面收集的問題，為此須滿足條件：① 在x方向位移為l時，在y方向的最大位移ymax≥b。

(9)

式中：aymax為載流子所受到的y方向的最大加速度。則

(10)

式中：ymax為載流子在y方向偏轉的最大位移。

將式(3)代入上式，可得

(11)

由前述的條件①得

(12)

則可得

(13)

得

(14)

式中：eUH即為載流子在偏轉到側面時所需的電勢能，此電勢能由載流子入射時的動能的一部分轉化而來，即：

(15)

因此可得

(16)

即

l/b≥2

(17)

由上式可知要使霍爾效應最大化，應盡可能使長寬比l/b越大越好，至少不小于2，此時所有載流子都被收集起來，故可假定式(8)中的形狀修正因子fl/b近似為1，實際小于1。

同理，可得當l/b=3/2時，載流子在通過同樣寬度的元件時所需的時間為l/b=2時的3/4，因此可得：

(18)

而當l/b=1時，載流子在通過同樣寬度的元件時所需的時間為l/b=2時的1/2，因此可得：

(19)

當l/b=1/2時，載流子在通過同樣寬度的元件時所需的時間為l/b=2時的1/4，因此可得

(20)

表1為某材料霍爾元件不同長寬比l/b時相應的實際的fl/b值。[10]

表1 某材料霍爾元件不同長寬比l/b時實際的fl/b值

不難發現,l/b的理論值與實驗值之間存在偏差，這主要是在理論推算時，對載流子的運動情況作了一些簡化處理，如載流子速度均取平均速度v0，在入射端面AM處載流子的分布作均勻分布等。實際情況要復雜的多，載流子的速度有快有慢，入射端面載流子的分布也不可能為理想的均勻分布，同時理論的推算值也僅僅是霍爾效應最大化時元件尺寸要滿足的基本的一個下限值，實際值一般要大于理論推算值。但總體上還是反映出形狀修正因子fl/b隨不同長寬比l/b變化的關系。

以上闡述的是不同長寬比l/b對霍爾效應的影響，元件尺寸中厚度對霍爾電勢的大小同樣有影響，從式(8)可看出，厚度d越小，霍爾電勢越大。從上面的分析可知影響霍爾電勢大小主要在于洛倫茲力和電場作用力達到動態平衡時兩側面上的電荷面密度大小，當給定長度的情況下，厚度越小，相應在側面收集的載流子面密度越大，因而霍爾電勢越大。

3 結 語

以上的理論分析表明，霍爾元件形狀對霍爾效應有明顯的影響，當寬度b加大或長寬比l/b減小時，載流子在偏轉過程中的損失將增大，輸出的霍爾電勢將下降；進一步的理論推算得到要有理想的霍爾效應時長寬比l/b要越大越好，至少大于等于2。另外運用同樣的方法大致估算了幾種不同長寬比l/b時相應的形狀參數修正因子，基本反映出fl/b隨長寬比l/b變化的關系。但在實際的制作霍爾元件時要綜合考慮多方面的因素，如：輸入輸出電阻、功耗及電極的短路效應等等。因此，長方體霍爾元件的厚度要盡量薄，但也不能太薄，否則輸入輸出電阻增加，功耗增加；長寬比l/b應盡可能大，在實際中一般取值為2～2.5[11-13]。

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