融合CDIO教育理念的線性代數實驗化教學模式

單 嫻

(中國石油大學(華東) 理學院，山東 青島 266580)

0 引 言

CDIO是由美國麻省理工學院和瑞典皇家技術學院等4所工程技術大學發起的一項工程教育改革計劃。CDIO分別代表構思(Conceive)、設計(Design)、實現(Implement)和運作(Operate)4個教育和實踐訓練環節[1]。它是以培養高素質綜合應用型人才為目標、以工程實踐過程中產品生命周期為載體、以教育工程化為核心思想的一種新型的教學模式。2008年教育部高教司成立“CDIO工程教育模式研究與實踐課題組”，確定39所高校作為CDIO試點學校。自2009年起，工作組每年定期舉行CDIO工作會議和培訓班，對CDIO研究和實踐工作進行交流和研討，目前已形成了系統完整的CDIO大綱和標準。國內外專家學者也就CDIO模式下工程教育的熱點問題，如人才培養模式[1]、課程體系建設[2]、課程教學改革[3-7]、文化教育等進行了多層次的研究和實踐，取得了豐碩的成果。

CDIO倡導通過“做中學”和“基于項目的教育和學習”等方式，將教育過程和具體工程應用情境結合，建立基礎理論知識和具體應用實踐之間的聯系，強調學生動手能力和創新意識的培養，并以此全面提高工程類人才的教育培養質量。線性代數是理工科專業的公共基礎課，是CDIO能力培養過程重要的理論基礎，是CDIO課程體系的重要組成部分，在工程教育中具有至關重要的作用。通過課程的學習，能夠使學生掌握基本的數學原理和方法，培養學生的抽象思維能力、空間想象能力和分析解決問題的能力，為學習后續專業知識和解決實際問題打下重要基礎。隨著社會的發展和科技水平的提高，對數學教育的要求變得更加多元化和深層化。學生不僅要理解基本的數學理論，更要通過學習和實踐理解和掌握應用數學知識和方法解決實際問題的全過程。這就要求線性代數的教學設計中增加與實踐有關的內容，通過實驗促進學生綜合應用能力的培養。

本文在總結當前工科線性代數教學存在問題的基礎上，對CDIO教育理念下線性代數實驗化教學的教學內容安排、教學方案規劃和考核方式設計等方面內容進行探索和研究，以促進學生綜合能力的培養。

1 工科線性代數教學現狀分析

線性代數現行的教學方式和教學內容大多以基本概念、定理、方法為主，注重理論推導、證明和計算，容易使學生喪失學習興趣，難以達到預期的教學效果。教學過程中存在的問題主要體現在以下幾個方面[8-9]。

(1) 教學內容重理論，輕實踐。目前大部分高校使用的教材都是圍繞理論講授而編寫，教學過程強調理論和方法本身的系統性、完整性和嚴謹性，注重邏輯推理和證明，缺乏與后續課程的聯系和理論方法在實際問題中的應用。計算以筆算為主，只面向低階、簡單的問題，缺少對復雜高階實際問題解決方法的說明，弱化了課程本身的計算功能。由于課程內容本身所固有的抽象性，容易出現課堂教學與實際應用的脫節，導致學生對知識的理解不夠深入，缺乏將數學知識應用于工程實際問題的意識和能力。

(2) 教學模式單一，缺乏多樣性。傳統的線性代數教學采用以“教師為中心”的課堂講授方式，教學手段以板書和PPT為主。學生課上在教師的指導下被動地學習概念、定理和公式的具體內容，課下進行枯燥的證明和筆算。整個學習過程缺乏主動思考和合作交流。無論工科專業的后續課程，還是工程實際問題，均存在大量的復雜計算問題無法直接套用課本知識用筆算完成。脫離計算機的數學計算，不符合課程現代化的要求，更難以達到理想的教學目的。

(3) 考核方式不夠靈活。線性代數多數仍沿用“作業-期中測試-期末測試”的考試方式，缺乏對學生實踐能力和綜合運用能力的考查，容易導致學生采用死記硬背為主的被動學習方式，無法提高學生的動手能力和創新意識。

從上述分析可以看出，目前的線性代數教學缺少對學生實踐能力和創新能力的必要指引，忽視了對學生溝通合作能力的培養。CDIO教學理念強調學習的內容以學生為中心，以實現學生的知識、能力、素質的一體化培養為目標。將CDIO理念融入線性代數教學，不僅可以提高學生的學習效率，而且對于貫徹創新教育思想，培養高素質創新人才具有重要的意義。

2 基于CDIO理念的工科線性代數實驗化教學模式構建

CDIO理念要求在同一教學實踐過程中完成知識的傳遞和學生能力的培養。在線性代數教學中，要緊扣線性代數基本要求，結合CDIO培養目標，將認知目標、情感目標、行為目標進行有機結合，加強知識和實際的聯系，重視學生主動學習，形成由數學素養與理論方法、應用技能、實踐創新3個方面構成的線性代數實驗化教學模式。

2.1 構建理論與實踐相結合的實驗化教學內容

CDIO倡導“基于項目的教育與學習”。線性代數教學過程中的項目均以實驗的形式體現，對學生知識內化和能力轉化均有著至關重要的作用。線性代數課程不僅要求學生理解理論、公式的由來，能夠通過套用現成理論證明和計算，還要求學生能夠結合基本的理論、思想和方法，運用計算機和軟件工具解決實際問題。因此，結合CDIO工程教育能力大綱，吸收國內外線性代數課程教學經驗，從教材、教學內容、教師自身和學生的需求出發，從現代工程技術和現代科學中選取有實際意義的實驗項目，對理論教學進行有益補充，使得教學內容更加系統、精煉和實用。

通過分析線性代數基本教學內容的結構、性質和深度，提出5×3×3的理論與實踐教學體系。將所需知識歸納為“行列式”、“矩陣”、“向量組”、“線性方程組”、“二次型”5個知識模塊。每個知識模塊按照概念與基礎、技術與方法、綜合與應用3個層次設計理論教學體系。其中，“概念與基礎”側重于基本知識點的教學內容；“技術與方法”偏向于每個知識點的計算方法和初步應用；“綜合與應用”則是基本理論在實際問題中的拓展應用。對于3個層次理論教學體系分別設計“理論傳授型實驗”、“操作技能型實驗”和“綜合應用型實驗”3類相應的實踐教學內容[10-12]。

理論傳授型實驗是基于基本的線性代數理論和方法，由生產生活中的實際問題經過適當簡化得到的實驗項目。教師能夠借助于軟件工具，將實驗結果形成圖形、視頻等，將抽象的數學概念具體化、形象化、可視化，對理論知識進行輔助講解。學生在教師的引導下，通過對實驗內容的演算、演示和分析，認識理論的形成過程；通過猜想、歸納總結，發掘潛在的數學規律，理解解決問題的思路和方法。例如，利用實驗“二元一次線性方程組解的存在性和解的表示”可以定義2階行列式并引入克萊姆法則，進而推廣到高階行列式；為建立對“矩陣的定義和運算”的理解，將“學生成績統計表的生成”融入實驗教學內容；在講授“n維空間”內容時，可以從二三維空間的解析幾何知識出發，將坐標系定義、坐標定義、坐標系相互轉換關系推廣到n維空間的基、坐標、基變換等抽象概念；在研究正交變換的性質時，可以運用Matlab畫圖功能繪制出二次型和對應標準型的幾何圖形，通過直觀觀察發現正交變換法化二次型為標準型可以保持幾何形狀不變。

操作技能型實驗是理論傳授型實驗的延伸，基于課程基本理論和方法，通過軟件工具實現數學定理的證明和重要公式的計算。線性代數中4階以下的計算可以通過筆算完成，但復雜高階的問題必須使用計算機才能實現。操作技能型實驗主要是培養學生的計算機技能和初步的系統分析設計能力。Matlab作為矩陣語言，對于矩陣的加法、減法、數乘、乘法、特征值、特征向量等線性代數基本的公式和計算方法均有相應的命令函數。通過變量定義和簡單的函數調用即可實現手工計算時復雜、繁瑣甚至難以實現的大型計算問題。通過此類實驗，不僅能夠方便快捷地進行計算和分析，而且能夠使學生在熟悉數學軟件使用方法的同時，加深學生對基礎理論知識的理解，鞏固和熟練所學的基本方法。

綜合應用型實驗是將線性代數理論知識、思想方法、數學模型和計算機操作結合為一體的實驗，是在理論基礎上對學生應用能力的進一步培養[13-15]。要與線性代數理論知識緊密結合，能夠體現線性代數在工程學、計算機科學、物理學等多個學科中的典型應用。例如可以選擇平面圖形的幾何變換，環境治理的投入與收益問題、城市交通流量問題、植物基因的分布等內容作為實驗項目，不但能夠通過實驗使學生充分了解線性代數的應用領域和應用方法，而且可以為學生的自由思維與發展留下廣闊空間。

前兩類實驗項目屬于工程基本能力訓練項目，主要以線性代數原理、方法以及知識為主，目的是培養工程師必備的基本能力、素質和方法。第三類實驗項目屬于綜合能力訓練項目，主要是為了實現線性代數基本理論思想、方法與工程實際的融會貫通，培養學生解決實際問題的能力。

這3個層次的實驗體系，旨在對低年級大學生進行初步的C-構思、D-設計、I-實施、O-運行能力進行訓練，促進理論向應用的轉化、知識向技能的轉化、單項技能向綜合素質的轉化，較好地體現CDIO大綱中對學生4類能力培養的要求。通過此類項目實施，引導學生建立線性代數理論課程與實踐之間的有機聯系，充分調動思維、發掘潛能、獲取知識，培養綜合能力。

2.2 制定多層次遞進式實踐教學方法

基于CDIO理念的線性代數實驗化教學是以基本理論和方法為基礎，以問題為載體，以計算機為手段，以數學軟件為工具，以教師為主導，以學生為主體的探索性活動。在教學過程中需要將多種教學方法進行整合，對應不同層次、不同類型的實驗，采用不同的教學方式。

(1) 理論傳授型實驗的教學方法。理論傳授型實驗采取“教師講解演示為主，學生自主探究為輔”的方式。教師在試驗過程中創造情景，從知識的產生出發，模擬問題的演變過程，引導學生發掘蘊含的規律，并進行抽象延伸，逐步理解實驗中蘊含的數學思想和方法。在培養學生應用意識的同時，掌握解決問題的思路和途徑。例如，對于實驗“學生成績統計表的生成”(見圖1)，在課堂上演示學生成績統計表生成，使學生理解矩陣的本質就是數表。借助單科總成績矩陣和綜合測評成績矩陣的生成，反映矩陣數乘、加法、乘法的本質和運算規律。從而使學生對“矩陣”這一抽象概念有了具體認識和把握，并且掌握一般問題的矩陣表示方法。通過矩陣的基本運算可進行延伸拓廣，使學生理解矩陣更多的內在特征和性質，將運算推廣至求冪、求逆、甚至矩陣方程的求解等更深層次的問題上。

圖1 學生成績統計矩陣的生成

(2) 操作技能型實驗的教學方法。操作技能型實驗采取“學生操作實踐為主，教師講解指導為輔”的方式。在這一階段，學生已經掌握了線性代數知識點的基本理論和方法，并且能夠通過筆算解決簡單低階的計算問題。但對于后續課程及工程實際中的計算問題，只有這些是遠遠不夠的，還需要掌握快速精確的計算工具和計算方法。在實驗前，教師采用少量時間講授實驗步驟和Matlab命令的作用和調用方式等預備知識，教會學生如何使用Matlab進行計算。在實驗過程中，學生在教師的引導下進行操作訓練，通過變量定義、函數調用、結果分析和演示等操作掌握各種函數及其用法。學生通過操作，不僅加深了對基本理論的理解，而且通過對性質、定理的驗證、分析鞏固并熟練掌握各種計算和分析方法，進而將簡單計算推廣到復雜高階問題，并能夠鍛煉初步的編程能力。

(3) 綜合應用型實驗的教學方法。綜合應用型實驗采用“學生小組討論實踐為主，教師指導為輔”的方式。該層次的教學主要分為課前準備、基礎知識講授、小組活動和課后反饋四個環節[16]。以“矩陣”模塊的綜合應用型實驗“平面圖形的幾何變換”來說明具體的教學過程：①課前準備。主要包括教師課前備課和學生課前預習。教師要依據授課內容提前準備學習任務單，主要包括實驗主題、實驗分組等。例如，對于“平面圖形的幾何變換”，教師應要求學生在課前查閱平面圖形幾何變換的相關資料，并復習矩陣的定義和各種運算法則，及相應的Matlab命令。學生依據任務單進行文獻查詢、歸納總結，并對實驗相關章節的理論方法和計算機操作進行復習，以小組形式完成課前準備。②基礎知識講授。教師對實驗涉及的基礎知識進行簡單的回顧和總結，并以“平面圖形的放縮變換”為例，說明放縮變換矩陣乘法模型的建立過程。教師應精講細講，讓學生徹底弄懂矩陣乘法模型表示方法的基本原理。進而改變實驗條件，與學生一起探索旋轉變換和平移變換的實現過程。③小組活動。學生依據教師的講授，對查閱的資料進行歸納整理，并通過分組討論，分析思考建立模型的步驟、方法和要領，提煉出自己的觀點，設計完成平面圖形幾何變換的思路和方案，形成實驗報告和匯報PPT。這一過程中學生為了完成同一目標，相互質詢，相互協調，共同研究和討論，在分析探索中提高了解決問題的能力，同時又培養了團隊合作精神。④實驗反饋。學生將實驗的結果以PPT的形式展現給大家。教師針對匯報結果予以指導和點評。另外，教師可以通過改變實驗條件給予學生進一步思考的空間。比如，能否建立統一的矩陣乘法模型同時實現平面圖形的放縮、平移和旋轉變換；利用變換前后的坐標矩陣能否反求出變換矩陣；已知變換方式和變換后圖形，如何反求變換前的幾何圖形等。教師鼓勵學生提出問題并通過討論解決，進而培養學生對問題的敏銳反應和應變能力。

2.3 構建多元化學生評價標準

CDIO理念對人才能力培養有多方面的要求，需要有多層次多元化的考核方式與之對應。為了科學合理地評價學生的綜合素質，從基礎理論知識、工程實踐能力、科技創新能力、合作交流能力4個方面進行評價。

(1) 基礎理論知識。評價包含對基礎科學理論、核心知識掌握程度的考量，通過平時作業、期末考試來完成。作業和考試由基本題目、綜合題目、邏輯與推理型題目、擴展思維題目等不同層次不同類型的題目構成[17]。

(2) 工程實踐能力。重點考核學生運用知識解決問題的能力。考核形式為探索性、半開放性問題構成的能力考察題，需要學生形成理論分析、實驗結果分析與個人總結性與拓展性的報告。

(3) 科技創新能力。包含學生的工程分析、推理和創造性設計的能力。可由教師結合所學課程內容，指定或由學生自己選擇現實社會熱點問題作為課程大作業，采取學生分組討論、研究，最后形成研究報告，并參加答辯的考核方式。

(4) 合作交流能力。實驗項目要求學生以小組形式完成，在操作過程中要對小組的分工、協調、交流等執行情況進行詳細記錄。采用教師評價、學生自評和同學互評相結合的方式，形成對學生協作能力的綜合評價。

3 需要注意的問題

(1) 注意指導的重點。實驗教學過程中，教師的角色是實驗課堂的引導者，其作用是通過點撥、啟迪等方式指引學生進行主動探索，調動學生的積極主動性，自己發現知識，提高技能。教師指導的重點是學生在實踐過程中遇到的問題。通過教師的啟發式引導，培養學生的自主學習能力，鍛煉學生思維，提高其實踐創新能力。

(2) 注意項目難易度的把握。線性代數實驗項目要涵蓋基本理論知識，以理論教學內容和學生認知規律為依托，選題難度要適宜。過于簡單則發揮不了實驗教學的作用，過難則容易使學生喪失信心和興趣。教師要找到各種實際問題與理論知識的結合點，依據理論知識合理設置問題難度，這樣才有助于調動學生的積極思維，并給予學生充分的思考空間。

(3) 注意計算機應用與理論引導之間的平衡。Matlab具有界面友好、易學易用、計算功能強大等特點。計算過程不用考慮編程技術細節，能夠充分提高解決問題的效率，但也容易導致學生過分依賴軟件，忽視理論和筆算的重要性。用軟件進行實驗教學的目的是讓學生快速準確地解決實驗中的計算問題。而筆算有助于加深學生對相關理論的理解和掌握，理論證明能夠鍛煉學生的邏輯思維能力。只有兩者各取所長，均衡設置，才能達到良好的教學效果。

4 結 語

在線性代數教學中融入CDIO教育理念，通過在學中做，做中學，做學合一，調動學習的積極性和主動性，幫助學生系統深刻地理解和掌握基礎理論和應用方法，培養學生的自主學習能力、創新實踐能力和團隊協作能力，同時也有助于教師教學水平和教學質量的提高。

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