基于有限元方法的薄板超聲Lamb波頻散曲線計算

陳 亮， 王恩報， 馬 豪， 董彥磊， 王 瑜

(電子科技大學 機械電子工程學院，四川 成都 611731)

0 引 言

超聲Lamb波檢測技術是薄板結構檢測一種較為先進的無損檢測技術，針對厚度在6 mm以下的薄板結構，利用換能器激勵調制信號到薄板中，分析調制信號在傳播過程中發生散射、反射和透射后的回波信號，對傳播路徑上的缺陷等信息進行檢測[1-3]。由于Lamb波的頻散特性，對于探傷參數選擇，辨識性較好的模態選擇以及結果分析的簡易性等存在很多難題，在實際工業生產過程中的廣泛應用產生了很大的阻礙[4]。

通過觀察超聲Lamb波的頻散曲線不難看出，頻厚積在1 MHz·mm范圍附近，超聲Lamb波主要以S0模態和A0模態進行傳播；頻厚積大于2 MHz·mm時，超聲Lamb波將頻散成諸多復雜的模態形式進行傳播[5-6]。因此選取頻厚積在1 MHz·mm范圍時對于檢測信息的分析的辨識性較好。通過分析檢測信息中S0模態和A0模態的信號，對傳播路徑上的信息進行確定[7-10]。

本文主要采用有限元仿真的方法對薄鋁板材料中超聲Lamb波的傳播進行模擬建模，通過提取仿真結果數據，計算群速度和相速度的大小，擬合繪制在2 MHz·mm以下的頻散曲線，并通過Matlab對超聲Lamb波的頻率方程進行數值模擬，繪制鋁板材料超聲Lamb波的理論頻散曲線。將兩種方法計算所得頻散曲線進行對比，驗證有限元數值模擬的準確性。

1 超聲Lamb波頻散曲線理論求解

超聲Lamb波在板中傳播會出現頻散現象，即會出現多模態現象。自由邊界條件下Raleigh-Lamb頻率特征方程為[11-13]：

對稱模態

(1)

反對稱模態

(2)

式中：p和q分別表示為：

(3)

波數k在數值上等于ω/cp，cp是Lamb波的相速度，ω為圓頻率；cL和cT分別表示材料的縱波和橫波速度；h為薄板的厚度，

其中，

E是材料的彈性模量；ν為泊松比；ρ為材料密度。

群速度cg可以通過相速度cp來求解，cg與cp有如下關系：

cg=dω/dk

(4)

將k=ω/cp代入上式得:

(5)

利用ω=2πf，上面的等式可以寫做：

(6)

利用Matlab對頻率特征方程以及群速度與相速度的關系式進行求解，繪制群速度和相速度的頻散曲線[14]。

求解對象材料為鋁板，密度為ρ=2 700 kg/m3，cL=6.27 mm/μs，cT=3.14 mm/μs。通過數值求解得到群速度和相速度的頻散曲線分別如圖1和圖2所示。

圖1 群速度理論頻散曲線

圖2 相速度理論頻散曲線

2 超聲Lamb波在板中傳播有限元模擬

2.1 材料參數確定

采用ABAQUS對薄鋁板中超聲Lamb波傳播進行數值模擬。所采用鋁板材料密度ρ=2 700 kg/m3，泊松比υ=0.33，彈性模量E=70 GPa。

2.2 激勵信號選取

分別采用50，100，150，200，250，300，350，400，450和500 kHz的10種不同中心頻率的5周期漢寧窗調制正弦信號作為激勵信號。圖3所示為中心頻率為250 kHz的5周期漢寧窗調制信號。

2.3 有限元仿真計算群速度大小

建立厚度h=4 mm，長度x=300mm的鋁板模型，激勵信號采用上述中心頻率250 kHz的5周期漢寧窗調制信號呈45°加載在模型左上角的集中力，接收點在激發點位置，采用四方形網格劃分，模型圖見圖4。

圖3 250 kHz的5周期漢寧窗調制正弦信號

仿真結果接收到的時域波形圖如圖5所示。從激勵信號到接收點收到回波信號的距離為600 mm。

圖5 仿真時域波形圖(群速度計算)

采用10種激勵信號，求出分別對應的S0、A0模態的群速度，同時與前面利用數值求解此材料參數鋁板的理論群速度曲線相比較，對比結果如表1所示。

表1 有限元仿真計算群速度及其與理論數值求解誤差

從表1可知，有限元仿真計算S0和A0模態群速度的相對誤差均小于5%，因此可以驗證對板中Lamb波傳播頻散現象有限元仿真群速度模擬的有效性。

通過表1中的數據可以繪制出通過有限元計算得出的頻厚積在0.2～2 MHz·mm內A0模態和S0模態的群速度頻散曲線，如圖6所示。

圖6 有限元計算群速度頻散曲線

2.4 有限元仿真計算相速度大小

建模厚度h=4 mm，長度=800 mm的鋁板模型，激勵信號采用上述中心頻率250 kHz的5周期漢寧窗調制信號呈45°加載在模型左上角的集中力，信號接收點選取在距離激勵觸發位置400、410 mm的點位置，網格劃分采用四方形網格劃分，模型圖見圖7。

仿真結果距離激勵信號400、410 mm距離的接收點接收的信號時域波形圖如圖8所示。

圖8 仿真時域波形圖(相速度計算)

計算A0和S0模態單一頻率在經過400～410 mm這10 mm距離時所用的時間差。

與群速度有限元仿真計算相同，采用10種激勵信號，求出分別對應的S0模態和A0模態的相速度，同時與前面利用數值求解此材料參數鋁板的理論相速度曲線相比較，對比結果如表2所示。

從表2可知，有限元仿真計算所得S0和A0模態相速度的相對誤差均小于5%，因此可以驗證對板中Lamb波傳播頻散有限元仿真相速度模擬的有效性。

通過表2中的數據可以繪制出通過有限元計算得出的頻厚積在0.2～2 MHz·mm范圍內A0模態和S0模態的相速度頻散曲線，如圖9所示。

表2 有限元仿真計算相速度及其與理論數值求解誤差

圖9 有限元計算相速度頻散曲線

3 結 語

通過有限元方法對薄板結構進行仿真，對超聲Lamb的傳播模式進行研究，得到以下結論：

(1) 對10組不同的頻率對應的頻厚積進行有限元仿真，對仿真結果進行計算，繪制了頻厚積在0.2～2 MHz·mm范圍內A0模態和S0模態的群速度和相速度的頻散曲線。

(2) 求解超聲Lamb波的頻率方程，繪制超聲Lamb波的理論頻散曲線，將有限元方法繪制的頻散曲線與其進行對比，證實了有限元方法的有效性。

同時，對于復合結構和非平面結構，很難建立相應的頻散曲線數學描述方程，采用有限元方法可以得到相應的頻散曲線，對此類結構的檢測提供理論指導。

[1] 閻 石, 張海鳳, 蒙彥宇. 利用Lamb波的薄板結構多點損傷識別試驗[J]. 沈陽建筑大學學報(自然科學版), 2010, 26(4):777-782.

YAN Shi, ZHANG Hai-feng, MENG Yan-yu, Experimental Research on Multi-Damage Detection of Metal Plate Structure Using Lamb Wave[J]. Journal of Shenyang Jianzhu University (Natural Science), 2010, 26(4):777-782.

[2] 陸 希, 孟 光, 李富才. 基于Lamb波的薄壁槽狀結構損傷檢測研究[J]. 振動與沖擊, 2012, 31(12): 63-67.

LU Xi, MENG Guang, LI Fu-cai, Lamb wave-based damage detection for a channel-like thin-wall structure[J].Journal of Vibration and Shock, 2012, 31(12): 63-67.

[3] Nayfeh A H, Chimenti D E. Free wave propagation in plates of general anisotropic media[J]. Journal of Applied Mechanics, 1989, 56(4):881-886.

[4] 陳 軍, 李志浩, 林 莉,等. 鋁板中Lamb波檢測的實驗研究[J]. 應用聲學, 2011, 30(2):98-104.

CHEN Jun, LI Zhi-hao, LIN Li,etal. Experiment investigations of Lamb waves in an aluminum plate[J]. Applied Acoustics, 2011, 30(2):98-104.

[5] 李鴻源, 徐 鴻, 田振華. Lamb波損傷散射及損傷成像的模擬[J]. 無損檢測, 2012, 34(9):12-15，26.

LI Hong-yuan, XU Hong, TIAN Zhen-hua. Detection of damages in plates based on symmetric lamb wave [J]. Nondestructive Testing, 2012, 34(9):12-15，26.

[6] 魏云飛，盧 超.薄板腐蝕缺陷Lamb成像檢測的傳播模式的有限元模擬[J].測試技術學報,2010,24(3):259-264.

WEI Yun-fei, LU Chao, Finite Element Modeling of Corrosion Image Detection Using Lamb Wave in Thin Plate[J]. Journal of Test and Measurement Technology, 2010,24(3):259-264.

[7] 艾春安, 王學勇, 劉 瑜. 薄板鋼結構超聲檢測Lamb波激勵與模態分析[J]. 噪聲與振動控制, 2012, 32(1):137-140.

AI Chun-an, WANG Xue-yong, LIU Yu. Ultrasonic Detection of Lamb Wave Stimulation and Modal Analysis of Thin Steel Plate Structure[J]. Noise and Vibration Control, 2012, 32(1):137-140.

[8] 吳 斌, 周 偉, 鄭 陽,等. 基于波結構的Lamb波單一模態激勵仿真[J]. 無損檢測, 2011,33(7):1-4，10.

WU Bin, ZHOU Wei, ZHENG Yang,etal. Excitation of single mode lamb wave simulation based on wave structure[J]. Nondestructive Testing, 2011,33(7):1-4，10.

[9] Mace B R, Manconi E. Modeling wave propagation in two-dimensional structures using finite element analysis[J]. Journal of Sound and Vibration, 2008, 318(4-5):884-902.

[10] Moser F, Jacobs L J, Qu J. Modeling elastic wave propagation in waveguides with the finite element method[J]. NDT & E International, 1999, 32(4): 225-234.

[11] 吳 斌, 周 偉, 何存富. Lamb波在搭接板中傳播規律的數值仿真研究[J]. 壓力容器, 2011, 28(6):24-30.

WU Bin, ZHOU Wei, HE Cun-fu. Experimental and Numerical Study of the Lamb Waves Propagation in Overlapping Plates[J]. Pressure Vessel Technology, 2011, 28(6):24-30.

[12] Terrien N, Osmont D, Royer D,etal. A combined finite element and modal decomposition method to study the interaction of Lamb modes with micro-defects [J]. Ultrasonic, 2007, 46(1):74-88.

[13] Diligent O, Grahn T, Bostr?m A,etal. The low-frequency reflection and scattering of the S0 Lamb mode from a circular through-thickness hole in a plate: Finite Element, analytical and experimental studies[J]. Journal of the Acoustical Society of America, 2002, 112(6):2589-2601

[14] 艾春安, 李 劍. Lamb波頻率方程的數值解法[J]. 無損檢測, 2005, 27(6):294-296.

AI Chun-an, LI Jian. Numerical Calculation for Lamb Wave Frequency Equation[J]. Nondestructive Testing, 2005, 27(6):294-296.