理論應力集中系數的有限元計算方法研究

1、中北大學機械與動力工程學院 馮占闖 張翼 苗會2、中國人民解放軍93437部隊 張廣顯

引言

缺口使零件應力應變增大的現象稱為應力集中，任何結構或機械零構件幾乎都存在應力集中。零構件的疲勞強度取決于局部應力應變狀態，因此應力集中部位是結構的疲勞薄弱環節，控制了結構的疲勞壽命[1]。

理論應力集中系數可以通過實驗獲取，雖然數據可靠，但是耗資費時，實際操作難度大；也可通過工程圖表查詢，但只有簡單的結構形式可供參考，而針對不同材料、不同結構和復雜受力狀況的結構則沒有合適的圖表可用；還可用經驗公式法求取，但因公式資源少，只能用于簡單和相似的結構，而且該方法誤差較大[2]，不利于工程實際應用。

隨著計算機的飛速發展和有限元數值計算方法的建立和不斷完善，工程實際結構的應力集中系數Kt可通過有限元數值計算方法準確求取[3]。本文采用最大主應力有限元數值計算方法求解理論應力集中系數Kt，對有限元數值計算方法的可行性及名義應力法假設的合理性進行驗證。

1 理論應力集中系數Kt

缺口應力集中的嚴重程度用應力集中系數Kt表示[1,4-6]，其表達式如下：作者簡介：馮占闖，1988年生，河北省晉州市人，碩士研究生，研究領域：動力機械結構強度與動態設計技術。

式中：σmax為最大彈性局部彈性應力，σ0為名義應力，其中名義應力有兩種定義：

一是凈面積應力，為缺口處凈截面上的名義應力，即圖1中的A-A截面上的名義應力。

二是毛面積應力，為構件無缺口時截面上的名義應力，即圖1中的B-B截面上的名義應力。毛面積名義應力計算時結果偏大，用于疲勞壽命估算過于保守，而采用凈面積名義應力計算與工程實際更接近[7]。

圖1 帶缺口的板受拉伸載荷時的應力分布

最大局部彈性應力選用最大主應力[7]，其表達式如式（2）：

2 有限元法求解理論應力集中系數

2.1 計算流程

有限元數值計算法求解理論應力集中系數Kt的流程如圖2所示。

圖2 計算流程圖

2.2 有限元計算模型建立

本文研究對象為兩側各一半圓缺口板條，尺寸為20mm×20mm，兩側中央各有一半徑為1mm的半圓缺口。考慮到結構的對稱性，只取其1/4結構進行有限元分析，如圖3所示。其中，A0表示凈面積，AL表示毛面積，σ0表示名義應力，σL表示拉伸載荷，線段MN（下邊）為積分路徑。

圖3 平面幾何模型

在有限元數值計算軟件ANSYS中建立模型，其中模型選用平面4節點單元Plane42，厚度實常數設定為1，所用材料為45號鋼，其彈性模量E為200GPa，泊松比μ為0.3。模型劃分網格時，對缺口部位網格細化，模型右側和下側施加位移對稱約束；由于載荷大小對計算結果沒有影響[2]，為方便計算，因此本例選用均布載荷σL為10MPa，有限元模型如圖4所示。

圖4 有限元模型

2.3 有限元求解及后處理

在求解器中對有限元模型進行計算，其最大主應力云圖如圖5所示。從圖5中可看出，最大主應力出現在圓孔與下邊交點處，其值為30.042MPa。

圖5 最大主應力云圖

根據主應力性質和載荷方向，可知截面MN是主平面，相應的MN線段為積分路徑，在積分路徑上提取結果如圖6所示，在路徑上進行應力積分如圖7所示。

圖6 路徑上的應力分布曲線

圖7 路徑上的應力積分

基于應力積分值，便可求解名義應力σ0：

式中，σ為第一主應力，s為積分路徑的長度，最后根據式（1）可求出理論應力集中系數Kt：

而根據理論求解名義應力[6]進而計算Kt為2.704，有限元法計算結果與其非常接近。

式中，σmax為最大主應力，σ0為名義應力，σL表示拉伸載荷，A0為凈面積，AL為毛面積。

3 有限元數值計算結果準確性的驗證

3.1 有限元數值計算與理論計算結果的對比驗證

本文應用 APDL（ANSYS Parametric Design Language）進行參數化建模，對不同網格密度的理論應力集中系數Kt進行求解。有限元計算結果與理論計算結果比較由表1給出。

表1 有限元數值計算與理論計算結果的對比

圖8 相對誤差隨網格數目的變化曲線

4 結論

本文基于ANSYS參數化建模，采用最大主應力有限元數值計算方法求解理論應力集中系數Kt，對有限元數值計算方法的可行性及名義應力法假設的合理性進行驗證。得出以下結論：

4.1 有限元數值計算方法與理論計算方法的結果誤差在1%以內。而且隨著網格密度的增大，兩者間的誤差不斷減小。

4.2 有限元數值計算結果與理論計算值相吻合，驗證了有限元數值計算理論應力集中系數方法的準確性和可行性，為進一步進行疲勞壽命估算提供了準確的依據。

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