關于二元函數極值判別法的改進

馮守平

(安徽財經大學統計與應用數學學院,安徽蚌埠233030)

關于二元函數極值判別法的改進

馮守平

(安徽財經大學統計與應用數學學院,安徽蚌埠233030)

提出了將二元函數極值化為一元函數極值的一種新方法;給出了二元函數極值存在的充分必要條件,改進了二元函數極值的判別法;并給出了判別式Δ=fxx(P0)fyy(P0)-fxx2(P0)的幾何意義.

數學分析;極值判別法;充分必要條件;判別式的幾何意義

設二元函數z=f(P)在區域D上連續,P0(x0,y0)為D0的駐點或偏導數不存在點.過點(x0,y0,0)作平行于z軸的平面簇:

此平面簇與二元函數z=f(P)所代表的空間曲面相交所得到的交線簇為:

在本文的討論中均假設涉及到的鄰域U(P0,δ)?D0.

定理1設P0為f(P)在的駐點D0或偏導數不存在點,則:f(P0)是f(P)的極小(大)值??δ>0,?k∈R,當P (x,y0+k(x-x0))∈U(P0,δ)時,恒有:

證"?"設f(P0)是f(P)的極小值,由定義,?δ>0,?P∈U(P0,δ),有f(P)≥f(P0).因此?δ>0,?k∈R,當P (x,y0+k(x-x0))∈U(P0,δ)時,有f(P)≥f(P0).這說明在U(P0,δ)的每條直線y=y0+k(x-x0)(k∈R)上,一元函數f(x,y0+k (x-x0))恒取得極小值f(P0).

"?"設?δ>0,對?k∈R,當P(x,y0+k(x-x0))∈U(P0,δ)時,恒有f(P)≥f(P0),即在U(P0,δ)內的每條直線y=y0+k(x-x0)上,一元函數f(P)都取得極小值f(P0);按極小值定義,還需要證明在U(P0,δ)內的直線x=x0上,當 (x0,y)∈U(P0,δ)時,有f(x0,y)≥f(P0).若在直線x=x0上?已知f(P)在D上連續,,恒有f(P)=f(x,y0+k(x-y0))

由定理1的充分條件知:若在駐點P0的鄰域U(P0,δ)內的所有直線y=y0+k(x-y0)上,一元函數z=f(x,y0+k (x-y0))恒在x0取得極小(大)值,則二元函數f(P)就在P0取得極小(大)值.在判別極值過程中并不需要再研究直線x=x0上情形,這簡化了判別過程.

在定理1的充分條件中要求存在點P0的某個鄰域U(P0,δ),這里要求針對?k∈R,存在統一的δ,這一要求是必不可少的,如例1.

例1討論f(x,y)=(y-x2)(y-2x2)在點(0,0)是否存在極值[1].

解易知點(0,0)是f(x,y)的駐點,但(0,0)不是f(x,y)的極值點.這里對一元函數:來

說,?k∈R,均?δk>0.當(x,0+k(x-0))=(x,kx)∈U((0,0),δk)?R2時,函數:

即?k∈R,f(x,kx)均在x=0取得極小值0,但不存在定理1中統一的δ>0,因為對?δ>0,當(x,kx)∈U((0,0),δ)?R2時,可選擇適當x,k使(2)式中的k-x與k-2x異號,從而f(x,kx)的值有正有負,故f(0,0)=0不是極值.

注若對某個k,一元函數f(x,y0+k(x-x0))在x=x0無極值,則二元函數f(x,y)在(x0,y0)無極值;若對兩個不同的k,f(x,y0+k(x-x0))在x=x0雖有極值,但不同,則二元函數f(x,y)在(x0,y0)也無極值.

例2討論f(x,y)=exy2+x2y3+2在駐點(0,0)是否有極值[2].

解易驗證判別式.在直線y=x上:

顯然x=0是f(x,y)的駐點,而:

定理2設二元函數f(P)在區域D上連續,P0為D0駐點或偏導數不存在點.?k∈R,當P=(x,y0+k(x-x0))∈D時,恒有:

則P0是f(P)在D上的最小(大)值點.

定理2的證明與定理1的充分條件證明類似.

定理2說明:若對?k∈R,(x,y0+k(x-x0))∈D,f(x,y0+k(x-x0))恒在點x0取得最小(大)值,則二元函數f(P)就在駐點或偏導數不存在點P0取得最小(大)值.

定理3P0是f(P)在區域D0的駐點??k∈R,x=x0為一元函數f(x,y0+k(x-x0))的駐點.

定理4設f(P)在駐點P0的某鄰域U(P0,δ)有連續二階偏導數,且A2+B2+C2≠0,則?P∈U(P0,δ),△(P)≥0?P0是f(P)的極值點.

當P0是f(P)的極值點時,若A>0(<0)或C>0(C<0),則P0是f(P)的極小(大)值點.

證"?"設?δ>0,?P∈U(P0,δ),△(P)≥0.當△(P0)>0時,若A=fxx(P0)>0(<0),?P0的某鄰域,不妨設定理4中的鄰域U(P0,δ),在此鄰域中,fxx(P)>0(<0),△(P)≥0,則?k∈R,P=(x,y0+k(x-x0))∈U(P0,δ),有:

所以,?k∈R,駐點x=x0恒是一元函數f(x,y0+k(x-x0))的極小(大)值點,由定理1知P0是f(P)的極小(大)值點.

當△(P0)=AC-B2=0,A>0(<0)時,?U(P0,δ),?P∈U(P0,δ),fxx(P)>0(<0),△(P)≥0,?k∈R;當P=(x,y0+k(xx0))∈U(P0,δ)時,有:

所以,?k∈R,駐點x=x0恒是一元函數f(x,y0+k(x-x0))的極小(大)值點,由定理1知P0是f(P)的極小(大)值點.

當A=0時,若C=0,則由△(P0)=AC-B2=0,知B=0,這與定理4中條件A2+B2+C2≠0矛盾,所以C2≠0.仿上文對A>0(<0)情形的討論可知,當C>0(C<0)時,P0也是f(P)的極小(大)值點.

"?"設P0是f(P)的極值點.若?δ∈0,?P∈U(P0,δ),△(P)≤0(?0),當C=fyy(P0)≠0時,不妨設C>0,于是?U(P0,δ),?P∈U(P0,δ),fyy(P0)>0,且△(P)≤0(?0).此時:

都與k有關,都在閉圓Uˉ(P0,δ1)(?U(P0,δ))上連續,設它們分別在Uˉ(P0, δ1)上的點(x1,y0+k1(x1-x0))與(x2,y0+k2(x2-x0)),(x3,y0+k3(x3-x0))與(x4,y0+k4(x4-x0))處取得最小值、最大值m-與M-,m+M+,即:

由于?δ>0,?P∈U(P0,δ1),Δ(P)?0,顯然,m-≤M-

而當kM+時,由(4)式知:

由定理1知P0不是f(P)的極值點,這與假設矛盾.

當A=fxx(P0)≠0時,類似討論,并有同樣的結論.

若A=C=0由定理4條件A2+B2+C2≠0知B=fxy(P0)≠0.此時,二階導數:

在點P0充分小鄰域內的符號由2fxy(P)k中的k的符號來確定,由定理1知P0不是f(P)的極值點,這與假設矛盾.

若?δ>0,?P>U(P0,δ),Δ(P)有正有負,0<θ<1,由二元函數泰勒公式,得:

若A=fxx(P0)>0(<0),?U(P0,δ),?P∈U(P0,δ),fxx(P)>0(<0).設P1∈U(P0,δ),Δ(P1)<0,則?U(P1,δ1)?U(P0,δ1),?P∈U(P1,δ1),Δ(P)<0.此時?k1,k2,k10),從而有Δf(P)<0(>0).

設P2∈U(P0,δ),Δf(P2)>0,則?U(P2,δ2)?U(P0,δ),?P∈U(P2,δ2),Δ(P)>0.此時與上面情形類似,?k3,k4, k30(<0).從而有Δf(P)>0(<0).

根據上述討論,由定理1知P0不是f(P)的極值點,這與假設矛盾.

若C=fyy(P0)>0(<0),類似討論,并有同樣的結論.

若A=C=0,由定理4條件A2+B2+C2≠0知B≠0,此時由(5)知:F(h,k)=fxx(x0+θh,y0+θkh)+2fxy(x0+θh,y0+θkh) k+fyy(x0+θh,y0+θkh)k2,在點P0充分小鄰域內的符號由2fxy(x0+θh,y0+θkh)k中的的符號來定,此時,P0不是f(P)的極值點,這與假設矛盾.

注1當A=B=C=0時,若?δ>0,?P∈U(P0,δ),Δ(P)≥0,且fxx(P)≥0(≤0),則P0是f(P)的極小(大)值點.由公式(3)易知結論成立.由此結合定理4可知:不論A,B,C取何值,只要條件"?δ>0.?P∈U(P0,δ),Δ(P)≥0"滿足,P0就是f(P)的值點.

注2若?δ>0,?P∈U(P0,δ),Δ(P)≤0(?0),則P0是否為f(P)的極小(大)值點,需另行判別.

如xy2,x2y2都屬于情形注2:對前者,?P∈U((0,0),Δ(P)=-4y2≤0),易知它在點(0,0)無極值;對后者,?P∈U((0,0),Δ(P)=-12x2y2≤0,易知它在點(0,0)有極小值.

注3公式(3)給出了判別式Δ(P0)=AC-B2的幾何意義:設f(P)在駐點P0某個鄰域內有連續的二階偏導數,若Δ(P0)>0,A>0(<0),則?δ>0,?P∈U(P0,δ)使空間中過點的曲線:在點(x0,y0,z0)附近是下(上)凸的.

例3求函數f(x,y)=x2+y4+3的極值[2].

解f的駐點為(0,0),易知它是極小值點,用定理4判別.

fxx=2,fxy=0,fyy=12y2,Δ(0,0)=AC-B2=0,A2+B2+C2=4≠0.?(x,y)∈U(0,0),Δ(x,y)=2X12y2-0=24y2≥0,又A=2>0,由定理4知,f(0,0)是f的極小值.

例4(最小二乘法)證明:在最小二乘準則

證易知有惟一的駐點(a0,b0),由定理3知,?k∈R,a=a0是f(a,b0+k(a-a0))的惟一駐點.?k∈R,f(a,y0+k(a-x0))∈U(x0,y0),有所以,?k∈R,a=a0是一元函數f(a,b0+k(a-b0))的極小值點,同時也是最小值點,由定理2知(a0,b0)是f(a,b)在R2中的最小值點.

由定理2及定理4得:

推論設f(P)在區域D上有連續二階偏導數,在D0有惟一駐點P0,且?k∈R,一元函數f(x,y0+k(x-x0))僅有一個駐點x0,則當Δ(P0)=AC-B2>0,A>0(<0)時,x0恒是f(x,y0+k(x-x0))的最小(大)值點,從而P0是二元函數f(P)在D上的最小(大)值點.

例5證明:若二元二次有理整式函數f(x,y)=ax2+bxy+cy2+dx+ey+g(a2+b2+c2≠0)有惟一的極值點,則該點就是最值點.

證令

當(6)式的系數行列式4ac-b2≠0時,解(6)式可得f(x,y)在R2內惟一駐點(x0,y0).又:

所以,?k∈R,x=x0是f(x,y0+k(x-x0))的惟一駐點.若Δ(x0,y0)=AC-B2=4ac-b2>0,a>0(<0),則:

即?k∈R,f(x,y0+k(x-x0))在惟一駐點x=x0處取得極小值(極大值),它也是最小(大)值,由定理4的推論知,f (x0,y0)也是f(x,y)在R2內的最小(大)值.

對二元函數f(x,y)來說,當f(x,y)僅有一個駐點(x0,y0),該點又是極值點,由文[3]和文[4]知該點未必就是最值點,但對二元二次有理整式函數來說,若它有惟一極值點,則該極值點就是最值點.二元二次有理整式函數是空間解析幾何及經濟數學的主要研究對象之一,在文獻[1]、[2]、[5]等中也是常見的.

以上是針對二元函數討論的,對一般的多元函數,筆者認為也應有類似定理4的結論.

[1]華東師范大學數學系編.數學分析:下冊[M].3版.北京:高等教育出版社,2001:138-139.

[2]Raymond A,Barnett,M R,Ziegler K E,etal.Calculus[M].9版.高等教育出版社,2005:509-516.

[3]馮守平.求多元函數最值中值得注意的一個問題[J].高等數學研究,2007,10(2):23-24.

[4]菲赫金哥爾茨.微積分教程:第一卷:第二分冊[M].北京:人民教育出版社,1957:435.

[5]Finney W G.托馬斯微積分[M].葉齊孝,譯.北京:高等教育出版社,2003:964-970.

On the im provement of the discrim inantm ethod of binary function extreme value

FENG Shou-ping
(School of Statistics&Applied Mathematics,Anhui University of Finance and Economics, Bengbu 233030,Anhui,China)

The paper discusses a new method of transforming the binary function extreme value into the linear function extreme value by providing the sufficient and necessary conditions of the existence of the binary function extreme value,and hence improves the discriminantmethod.It also gives the geometric meaning of the discriminant function

mathematical analysis;discriminant method of extreme value;the sufficient and necessary conditions;the geometricmeaning

O172

:A

:1007-5348(2014)06-0011-05

(責任編輯:邵曉軍)

2014-02-18

國家自然科學基金青年項目(61305070).

馮守平(1954-),男,安徽淮南人,安徽財經大學統計與應用數學學院教授,主要從事函數論及數量經濟數學方面的研究.