廣義Riemann積分中的Lebesgue方法

吳淑君 于娟

摘 要：在實(shí)際問題和數(shù)學(xué)分析后續(xù)課程（如概率論）中，經(jīng)常出現(xiàn)廣義Riemann積分。但是我們發(fā)現(xiàn)，現(xiàn)有教科書上對(duì)此類積分的研究都是基于定積分的思想方法，要求被積函數(shù)有一定的光滑性，這大大限制了廣義積分的研究范圍。該文研究Lebesgue積分方法在廣義Riemann積分的收斂性判別和計(jì)算以及含參量廣義Riemann積分性質(zhì)等問題中的應(yīng)用。通過理論與實(shí)例結(jié)合，充分說明了Lebesgue方法的簡(jiǎn)便與靈活。因此，我們?cè)趯W(xué)習(xí)廣義Riemann積分時(shí)，不應(yīng)拘泥于教科書上的現(xiàn)有知識(shí)和方法，應(yīng)該拓寬思路，合理結(jié)合其他的課程。

關(guān)鍵詞：廣義Riemann積分 Lebesgue積分 Lebesgue可測(cè) 一致收斂

中圖分類號(hào)：O13 文獻(xiàn)標(biāo)識(shí)碼：A 文章編號(hào)：1672-3791（2014）10（b）-0234-02

在實(shí)際問題和數(shù)學(xué)分析后續(xù)課程（如概率論）中，經(jīng)常出現(xiàn)廣義Riemann積分。一方面，現(xiàn)有教科書上對(duì)此類積分的研究都是基于定積分的思想方法，要求被積函數(shù)有一定的光滑性，這大大限制了廣義積分的研究范圍，且某些復(fù)雜的積分也無法研究[1]。另一方面，僅僅依靠現(xiàn)有的方法來討論廣義Riemann積分，也限制了我們的研究思路，對(duì)思維發(fā)展有害無利。文獻(xiàn)[2-3]總結(jié)了一些解決廣義Riemann積分的方法，但并未涉及到Lebesgue的思想方法。因此，該文中我們將考慮在廣義Riemann積分中引入Lebesgue測(cè)度、Lebesgue積分等思想，借助Lebesgue方法的靈活性和簡(jiǎn)便性，從積分的收斂性、計(jì)算以及含參量廣義Riemann積分性質(zhì)這三個(gè)方面來詳細(xì)說明Lebesgue方法在廣義積分中的應(yīng)用。

該文中，廣義Riemann積分簡(jiǎn)稱為廣義積分，用可積和可積分別表示Riemann可積和Lebesgue可積。函數(shù)在區(qū)間上的廣義積分記為，其Lebesgue積分記為。由于無窮區(qū)間的廣義積分和無界函數(shù)的廣義積分在一定條件下可以互化，以下均以無窮區(qū)間的廣義積分為例來討論問題。

1 主要結(jié)果

1.1 判斷廣義積分的收斂性

研究廣義積分的第一個(gè)問題就是判斷其收斂性。在數(shù)學(xué)分析中，我們可以利用定義、Cauchy判別法、Abel判別法和Dirichlet判別法等來解決。但是，我們發(fā)現(xiàn)這些方法都具有各自較強(qiáng)的使用條件，這必然限制了方法的使用范圍。可積是實(shí)變函數(shù)的重要內(nèi)容，教科書中有很多方法和技巧來判斷其收斂性，相比較可積，其判別方法使用起來更加靈活多變[4，5]。利用兩種積分的密切關(guān)系，例如文獻(xiàn)[6]中定理2，可用可積判斷可積。

例1：設(shè)是定義在上的有界的可積函數(shù)，如果對(duì)于每個(gè)存在極限。那么，在上可積。

證明：因?yàn)槭巧系挠薪绾瘮?shù)，所以的不連續(xù)點(diǎn)是可數(shù)集，因此是零測(cè)度集。又因?yàn)樵谌我庥薪鐓^(qū)間上可積，由文獻(xiàn)[6]中定理2知，在上可積。

注：例1中的沒有具體的表達(dá)式，在數(shù)學(xué)分析中難以判斷其收斂性。借助Lebesgue測(cè)度和Lebesgue積分可以方便解決此類問題。

1.2 計(jì)算廣義積分

廣義積分的基本計(jì)算方法有定義法、牛頓-萊布尼茲公式法、換元積分和分布積分法等。考慮到積分范圍的廣泛性，可將某些廣義積分看成積分來計(jì)算。另外，可將廣義積分轉(zhuǎn)化為重積分，然后利用Fubini定理或者Tonelli定理將其化為適當(dāng)次序的累次積分來計(jì)算。下面將第二種方法以例說明。

1.3 求極限

求廣義積分的極限通常需要交換極限運(yùn)算和積分運(yùn)算，這在積分中需要一致收斂來保證。在積分中，這種交換可以用控制收斂定理、Levi定理和Fatou引理等實(shí)現(xiàn)。使用控制收斂定理的關(guān)鍵是找到合適的控制函數(shù)，Levi定理適合于非負(fù)的單調(diào)函數(shù)列的積分，F(xiàn)atou引理則對(duì)非負(fù)的可測(cè)函數(shù)列都可使用。但以上三個(gè)定理都不需要驗(yàn)證廣義積分的一致收斂性，而可測(cè)這個(gè)條件對(duì)具體的被積函數(shù)一般都滿足，因此，它們提供了比積分更加廣泛和有效的方法。

2 含參量廣義積分的連續(xù)性、可微性和可積性等問題

在數(shù)學(xué)分析中，一致收斂性是討論含參量廣義積分的前提，但是這一要求對(duì)很多積分來說過于苛刻。在積分的體系下我們可以適當(dāng)降低這一要求。

3 結(jié)語

我們?cè)趯W(xué)習(xí)廣義Riemann積分時(shí)，不應(yīng)拘泥于教科書上的現(xiàn)有知識(shí)和方法，應(yīng)該拓寬思路，合理結(jié)合其他的課程，力求從更深更廣的角度來體會(huì)廣義Riemann積分。

參考文獻(xiàn)

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