廣義Riemann積分中的Lebesgue方法

吳淑君 于娟

摘 要：在實際問題和數學分析后續(xù)課程（如概率論）中，經常出現廣義Riemann積分。但是我們發(fā)現，現有教科書上對此類積分的研究都是基于定積分的思想方法，要求被積函數有一定的光滑性，這大大限制了廣義積分的研究范圍。該文研究Lebesgue積分方法在廣義Riemann積分的收斂性判別和計算以及含參量廣義Riemann積分性質等問題中的應用。通過理論與實例結合，充分說明了Lebesgue方法的簡便與靈活。因此，我們在學習廣義Riemann積分時，不應拘泥于教科書上的現有知識和方法，應該拓寬思路，合理結合其他的課程。

關鍵詞：廣義Riemann積分 Lebesgue積分 Lebesgue可測 一致收斂

中圖分類號：O13 文獻標識碼：A 文章編號：1672-3791（2014）10（b）-0234-02

在實際問題和數學分析后續(xù)課程（如概率論）中，經常出現廣義Riemann積分。一方面，現有教科書上對此類積分的研究都是基于定積分的思想方法，要求被積函數有一定的光滑性，這大大限制了廣義積分的研究范圍，且某些復雜的積分也無法研究[1]。另一方面，僅僅依靠現有的方法來討論廣義Riemann積分，也限制了我們的研究思路，對思維發(fā)展有害無利。文獻[2-3]總結了一些解決廣義Riemann積分的方法，但并未涉及到Lebesgue的思想方法。因此，該文中我們將考慮在廣義Riemann積分中引入Lebesgue測度、Lebesgue積分等思想，借助Lebesgue方法的靈活性和簡便性，從積分的收斂性、計算以及含參量廣義Riemann積分性質這三個方面來詳細說明Lebesgue方法在廣義積分中的應用。

該文中，廣義Riemann積分簡稱為廣義積分，用可積和可積分別表示Riemann可積和Lebesgue可積。函數在區(qū)間上的廣義積分記為，其Lebesgue積分記為。由于無窮區(qū)間的廣義積分和無界函數的廣義積分在一定條件下可以互化，以下均以無窮區(qū)間的廣義積分為例來討論問題。

1 主要結果

1.1 判斷廣義積分的收斂性

研究廣義積分的第一個問題就是判斷其收斂性。在數學分析中，我們可以利用定義、Cauchy判別法、Abel判別法和Dirichlet判別法等來解決。但是，我們發(fā)現這些方法都具有各自較強的使用條件，這必然限制了方法的使用范圍。可積是實變函數的重要內容，教科書中有很多方法和技巧來判斷其收斂性，相比較可積，其判別方法使用起來更加靈活多變[4，5]。利用兩種積分的密切關系，例如文獻[6]中定理2，可用可積判斷可積。

例1：設是定義在上的有界的可積函數，如果對于每個存在極限。那么，在上可積。

證明：因為是上的有界函數，所以的不連續(xù)點是可數集，因此是零測度集。又因為在任意有界區(qū)間上可積，由文獻[6]中定理2知，在上可積。

注：例1中的沒有具體的表達式，在數學分析中難以判斷其收斂性。借助Lebesgue測度和Lebesgue積分可以方便解決此類問題。

1.2 計算廣義積分

廣義積分的基本計算方法有定義法、牛頓-萊布尼茲公式法、換元積分和分布積分法等。考慮到積分范圍的廣泛性，可將某些廣義積分看成積分來計算。另外，可將廣義積分轉化為重積分，然后利用Fubini定理或者Tonelli定理將其化為適當次序的累次積分來計算。下面將第二種方法以例說明。

1.3 求極限

求廣義積分的極限通常需要交換極限運算和積分運算，這在積分中需要一致收斂來保證。在積分中，這種交換可以用控制收斂定理、Levi定理和Fatou引理等實現。使用控制收斂定理的關鍵是找到合適的控制函數，Levi定理適合于非負的單調函數列的積分，Fatou引理則對非負的可測函數列都可使用。但以上三個定理都不需要驗證廣義積分的一致收斂性，而可測這個條件對具體的被積函數一般都滿足，因此，它們提供了比積分更加廣泛和有效的方法。

2 含參量廣義積分的連續(xù)性、可微性和可積性等問題

在數學分析中，一致收斂性是討論含參量廣義積分的前提，但是這一要求對很多積分來說過于苛刻。在積分的體系下我們可以適當降低這一要求。

3 結語

我們在學習廣義Riemann積分時，不應拘泥于教科書上的現有知識和方法，應該拓寬思路，合理結合其他的課程，力求從更深更廣的角度來體會廣義Riemann積分。

參考文獻

[1] 華東師范大學數學系，數學分析[M].3版，北京：高等教育出版社，2001.

[2] 高建平，劉聲，張蕊.反常積分收斂判別法[J].數學學習與研究，2010（19）：91-91.

[3] 陳慧嬋.計算反常積分時常見的錯誤分析[J].高等數學研究，1996（4）：33-35.

[4] 周民強.實變函數論[M].2版.北京：北京大學出版社，2001.

[5] 那湯松.實變函數論[M].北京：人民教育出版社，1958.

[6] 陳鵬.Lebesgue積分與反常積分的關系[J].長春師范學院學報，2004，23（4）：3-4.