αS-弱θ-加細子集與S-弱θ-加細和空間

吳昭鑫，張焰杰，曹金文

（成都理工大學應用數學系，成都610059）

1963年，Levine[1]引入和研究了拓撲空間中的半開集，后來一些空間按照半開集的方式被定義和研究[2-7].如：S-閉空間[4]、可數 S-閉空間[5]，仿 S-閉空間[6]等.本文在 S-弱 θ-加細空間[8]的基礎上研究 αS-弱 θ-加細子集與S-弱θ-加細和空間的有關性質.對αS-弱θ-加細子集進行刻畫，探討其與有關集合及全集X的關系.本文中研究的空間均默認不滿足分離性公理，除非事先說明.

1 預備知識

用cl（A）表示集合A的閉包，int（A）表示集合A的內部.在拓撲空間（X，T）中，用SO（X，T）表示X的半開集族，SC（X，T）表示X的半閉集族.

定義1[2]空間（X，T）的子集A稱為g-閉集，如果當A?U，U∈T時，有cl（A）?U.

定義2[2]對于空間（X，T）的子集A、B，B稱為A的半閉包，如果B是包含A的最小的半閉集.用scl（A）表示A的半閉包.

定義3[2]空間（X，T）的子集A稱為Sg-閉集，如果當A?U，U∈SO（X，T）時，有scl（A）?U.

定義4[2]空間（X，T）的子集A稱為θ開集，如果對每一x∈A，存在X的子集U∈T，使得x∈U?cl（U）?A.θ開集在X中的余集稱為θ閉集.

定義5[2]空間（X，T）的子集A稱為θS開集，如果對每一x∈A，存在X的子集U∈T，使得x∈U?scl（U）?A.θS開集在X中的余集稱為θS閉集.

定義6[2]拓撲空間族（{Xα，Tα）：α∈I}滿足對任意 α≠β，Xα∩Xβ=.空間（X，T）稱為拓撲空間族{（Xα，Tα）：α∈I}的和空間，如果X=∪α∈IXα的拓撲為T={G?X：對任意 α∈I，G?Xα∈Tα}.記作

X=⊕α∈IXα

定義7[3]空間（X，T）稱為弱θ-加細空間，如果X的每一開覆蓋U具有開加細覆蓋V=∪n∈NVn，對每一 x∈X，存在 n∈N，使得 1≤ord（x，Vn）＜ ω.如果上述條件加強為每一Vn都是覆蓋，則稱X是θ-加細空間.

定義8[8]空間（X，T）稱為S-弱θ-加細空間，如果X的每一開覆蓋U具有半開加細覆蓋V=∪n∈NVn，對每一 x∈X，存在 n∈N，使得 1≤ord（x，Vn）＜ω.如果上述條件加強為每一Vn都是覆蓋，則稱X是S-θ加細空間.

定義9空間（X，T）的子集A稱為空間（X，T）的αS-弱θ-加細子集，如果A的每一覆蓋U={Uα：α∈I}（對任意α∈I，有Uα∈T）具有半開加細覆蓋V=∪n∈NVn（對任意 V∈V ，有 V∈SO（X，T ）），對每一x∈A，存在 n∈N，使得 1≤ord（x，Vn）＜ ω.

引理1[2]對于空間（X，T）的子空間（A，TA）和子集 B，B?A，若 A∈T ，B∈SO（A，TA），則 B∈SO（X，T ）.

引理2[2]θS閉集?閉集?g-閉集.

引理3[2]對于空間（X，T）的開子集A和半開子集V，有A∩V∈SO（X，T）.

引理4[2]對于空間（X，T ）的子空間（A，TA）和子集B，B?A，若B∈SO（X，T），則B∈SO（A，TA）.

2 主要結果

定理1 S-弱θ-加細空間的每一g-閉子集是αS-弱θ-加細子集.

證明 設空間（X，T）是S-弱θ-加細空間，A是空間X的g-閉子集.令集族U={Uα：α∈I}（對任意α∈I，有Uα∈T ）是 A的一個覆蓋，有 A?∪{Uα：α∈I}.由A是空間X的g-閉子集得c（lA）?∪{Uα：α∈I}.對任意x?c（lA），存在開集Wx∈T，使得A∩Wx=.令集族H={Uα：α∈I}∪{Wx：x?c（lA）}，則H是S-弱θ-加細空間（X，T）的一個開覆蓋，因此H具有半開加細 V=∪n∈NVn，對每一 x∈X，存在 n∈N，使得1≤ord（x，Vn）＜ ω，其中 Vn={Vnβ：n∈N，β∈B}.對每一 β∈B，有 Vnβ?Uα(β)或者 Vnβ?Wx(β).令 B′={β∈B ：Vnβ?Uα(β)}，則有 Vn′={Vnβ：n∈N，β∈B′}和 A?∪（V ′=∪n∈NVn′），且對任意 V∈V ′=∪n∈NVn′，有V∈SO（X，T）.空間X的g-閉子集A的覆蓋U具有半開加細覆蓋V′=∪n∈NVn′（對任意V∈V′，有V∈SO（X，T）），對每一x∈A∈X，存在n∈N，使得 1≤ord（x，Vn′）＜ ω.因此 A 是空間（X，T ）的 αS-弱 θ-加細子集.

定理2 空間（X，T）的每一開αS-弱θ-加細子集是S-弱θ-加細的.

證明 設A是空間（X，T）的一個開αS-弱θ-加細子集，且為子空間（A，TA），令集族 U={Uα：α∈I}（對任意α∈I，有Uα∈TA）是A的一個覆蓋.因為A是開 αS-弱 θ-加細子集，且對任意 α∈I，有 Uα∈TA?T，所以覆蓋U有半開加細覆蓋V=∪n∈NVn（對任意V∈V ，有V∈SO（X，T）），對每一 x∈A，存在n∈N，使得 1≤ord（x，Vn）＜ ω.取集族 VA=∪n∈NVn(A)，其中 Vn(A)={V∩A：V∈Vn}.對于子空間（A，TA），集族VA=∪n∈NVn(A)是覆蓋U 的一個半開加細覆蓋，對每一 x∈A，存在 n∈N，使得 1≤ord（x，Vn(A)）＜ ω.即得A是S-弱θ-加細的.

定理3 令空間（X，T）的子空間A是閉開的，那么A是αS-弱θ-加細的?A是S-弱θ-加細的.

證明 必要性：由定理2可以直接得出.

充分性：設集族U={Uα：α∈I}（對任意α∈I，有Uα∈T ）是 A 的一個覆蓋，有集族 U′={Uα′=A∩Uα：α∈I}是 S-弱 θ-加細子空間（A，TA）的一個開覆蓋，所以U′有半開加細覆蓋W=∪n∈NWn，對每一x∈A，存在 n∈N，使得 1≤ord（x，Wn）＜ ω.其中：對任意W∈W ，存在某一 α∈I，使得 W?Uα′?Uα，即集族W=∪n∈NWn也是覆蓋.根據引理1，對任意W∈W ，有W∈SO（X，T）.所以得到A的每一覆蓋U={Uα：α∈I}具有半開加細覆蓋W =∪n∈NWn（對任意W∈W ，有W∈SO（X，T）），對每一x∈A，存在n∈N，使得 1≤ord（x，Wn）＜ ω.即得 A 是 αS-弱 θ-加細的.

推論1 S-弱θ-加細空間的每一閉開子空間是S-弱θ-加細的.

證明 顯然，閉開集是g-閉集，由定理1～定理3易得.

定理 4 T2空間（X，T ）的 αS-弱 θ-加細子集是θS閉集.

證明 假設A是T2空間（X，T ）的 αS-弱 θ-加細子集，x?A.對任意y∈A，存在開集Uy，使得y∈Uy和x?cl（Uy）.因此集族U={Uy：y∈A}是X的αS-弱θ-加細子集A的一個開覆蓋，故U 具有半開加細V=∪n∈NVn（對任意 V∈V ，有V∈SO（X，T ）），對每一 x∈A，存在 n∈N，使得 1≤ord（x，Vn）＜ ω.令集合 W={V：V∈V}，W′=X-cl（W）.故有 W∈SO（X，T ），W′∈T 和 x∈W′?scl（W′）?X-A.所以X-A是θS開集.即得A是θS閉集.

推論2 對于S-弱θ-加細的T2空間（X，T）和X的子集A，有以下等價的敘述：

（1）A是X的αS-弱θ-加細子集；

（2）A是θS閉集；

（3）A是閉集；

（4）A是g-閉集.

證明 由定理1、定理4和引理2易得.

命題1 對于空間（X，T）的Sg-閉子集A和任意子集B，如果A是αS-弱θ-加細子集，且A?B?scl（A），則B是X的αS-弱θ-加細子集.

證明 設集族 U={Uα：α∈I}（對任意 α∈I，有Uα∈T）是B的一個覆蓋，因為A?B，則有U也覆蓋A.由A是X的αS-弱θ-加細子集，U具有半開加細V=∪n∈NVn（對任意V∈V ，有V∈SO（X，T ）），對每一 x∈A，存在 n∈N，使得 1≤ord（x，Vn）＜ ω.由 A是Sg-閉子集，有A?B?scl（A）?∪{V：V∈V}，即集族 V= ∪n∈NVn（對任意 V∈V ，有 V∈SO（X，T ））覆蓋B.容易得到對每一x∈B，存在n∈N，使得1≤ord（x，Vn）＜ ω.即得 B 是 X 的 αS-弱 θ-加細子集.

命題2 對于空間（X，T ）的子集A、B，A?B，B∈T ，則A是子空間（B，TB）的 αS-弱θ-加細子集?A是X的αS-弱θ-加細子集.

證明 必要性：易得.

充分性：由A是X的αS-弱θ-加細子集，有A的覆蓋 U={Uα：α∈I}（對任意 α∈I，有 Uα∈T ）具有半開加細V=∪n∈NVn（對任意V∈V，有V∈SO（X，T ）），對每一x∈A，存在 n∈N，使得1≤ord（x，Vn）＜ω.由引理3和引理4，A在子空間（B，TB）的覆蓋U′={Uα∩B：α∈I}（對任意 α∈I，有 Uα∩B∈TB）具有半開加細 V ′=∪n∈NVn′（對任意 V′∈V ′，有 V∈SO（B，TB）），對每一 x∈A，存在 n∈N，使得 1≤ord（x，Vn′）＜ ω.其中 Vn′={V∩B：V∈Vn}.

定理5 和空間⊕α∈IXα是S-弱θ-加細的?對任意 α∈I，空間（Xα，Tα）是 S-弱 θ-加細的.

證明 必要性：由和空間的定義，對任意α∈I，Xα在和空間（X，T ）中是閉開的.由推論 1，S-弱 θ-加細空間 X= ⊕α∈IXα的閉開子空間（Xα，Tα）α∈I是 S-弱θ-加細的.

充分性：令集族U是和空間⊕α∈IXα的一個開覆蓋，則對任意 α∈I，集族 Uα={U∩Xα：U∈U}是 S-弱θ-加細空間（Xα，Tα）的一個開覆蓋.故對任意 α∈I，Uα在空間（Xα，Tα）有半開加細覆蓋 Vα= ∪n∈NV(αn)，對每一x∈Xα，存在n∈N，使得1≤ord（x，V(αn)）＜ω.令V=∪α∈IVα，根據引理1，對每一V∈V ，有V∈SO（X，T），且顯然V是開覆蓋U 的加細覆蓋.即X的開覆蓋U有半開加細覆蓋，對每一x∈X，存在n∈N和α∈I，使得1≤ord（x，V(αn)）＜ω.定理得證.

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