離散數學在計算機科學中的作用和應用

胡平芳 肖超

摘 要： 離散數學是計算機專業的一門專業基礎課，在計算機科學中有重要而廣泛的應用，是計算機專業課《數據結構》、《操作系統》、《編譯原理》、《數據庫系統原理》和《數字邏輯》等課的先導課程，因此離散數學是掌握計算機科學理論基礎的重要數學工具。本文介紹了離散數學在計算機科學中的重要應用和應用。

關鍵詞： 離散數學 計算機科學 數據結構

離散數學是計算機應用必不可少的工具，例如數理邏輯在數據模型、計算機語義、人工智能等方面的應用，集合論在數據庫技術中的應用，代數系統在信息安全中的密碼學方面的應用，圖論在信息檢索、網絡布線、指令系統優化等方面的應用。

1.離散數學與其他課程的關系

1.1離散數學與數據結構的關系

離散數學與數據結構的關系非常緊密，數據結構課程描述的對象有四種，分別是線形結構、集合、樹形結構和圖結構，這些對象都是離散數學研究的內容。線形結構中的線形表、棧、隊列等都是根據數據元素之間關系的不同而建立的對象，離散數學中的關系這一章就是研究有關元素之間的不同關系的內容；數據結構中的集合對象及集合的各種運算都是離散數學中集合論研究的內容；離散數學中的樹和圖論的內容為數據結構中的樹形結構對象和圖結構對象的研究提供很好的知識基礎。

1.2離散數學與數據庫原理的關系

目前數據庫原理主要研究的數據庫類型是關系數據庫。關系數據庫中的關系演算和關系模型需要用到離散數學中的謂詞邏輯的知識；關系數據庫的邏輯結構是由行和列構成的二維表，表之間的連接操作需要用到離散數學中的笛卡兒積的知識，表數據的查詢、插入、刪除和修改等操作都需要用到離散數學中的關系代數理論和數理邏輯中的知識。

1.3離散數學與數字邏輯的關系

數字邏輯為計算機硬件中的電路設計提供了重要理論，而離散數學中的數理邏輯部分為數字邏輯提供了重要的數學基礎。在離散數學中命題邏輯中的連結詞運算可以解決電路設計中的由高低電平表示的各信號之間的運算以及二進制數的位運算等問題。

1.4離散數學與編譯原理的關系

編譯原理和技術是軟件工程技術人員很重要的基礎知識，編譯程序是非常復雜的系統程序，包括詞法分析、語法分析、語義分析、中間代碼生成、代碼優化、目標代碼生成、依賴機器的代碼優化7個階段。離散數學中的計算模型[2]這一章的語言和文法、有限狀態機、語言的識別和圖靈機等知識點為編譯程序中的詞法分析和語法分析提供了基礎。

2.離散數學在計算機學科中的應用

2.1數理邏輯在人工智能中的應用

人工智能是計算機學科中一個非常重要的方向，離散數學在人工智能中的應用主要是數理邏輯部分在人工智能中的應用。人類的自然語言可以用符號進行表示。語言的符號化就是數理邏輯研究的基本內容，計算機智能化的前提就是將人類的語言符號化成機器可以識別的符號，這樣計算機才能進行推理，才能具有智能。由此可見數理邏輯中重要的思想、方法及內容已貫穿人工智能的整個學科。

2.2圖論在數據結構中的應用

離散數學在數據結構中的應用主要是圖論部分在數據結構中的應用，樹在圖論中具有重要的地位。樹是一種非線性數據結構，在現實生活中可以用樹表示某一家族的家譜或某公司的組織結構，也可以用它來表示計算機中文件的組織結構，樹中二叉樹在計算機科學中有著重要的應用。二叉樹共有三種遍歷方法：前序遍歷法、中序遍歷法和后序遍歷法。

通過訪問不同的遍歷序列，可以得到不同的節點序列，通常在計算機中利用不同的遍歷方法讀出代數表達式，以便在計算機中對代數表達式進行操作。

2.3集合論在數據庫系統理論中的應用

集合論是離散數學中極其重要的一部分，它在數據庫中有廣泛的應用。我們可以利用關系理論使數據庫從網絡型、層次型轉變成關系型，這樣使數據庫中的數據容易表示，并且易于存儲和處理，使邏輯結構簡單、數據獨立性強、數據共享、數據冗余可控和操作簡單。當數據庫中記錄較多時，集合中的笛卡兒積方便了記錄的查詢、插入、刪除和修改。

2.4代數系統在通信方面的應用

代數系統在計算機中的應用廣泛，例如有限機，開關線路的計數等方面。但最常用的是在糾錯碼方面的應用。在計算機和數據通信中，經常需要將二進制數字信號進行傳遞，這種傳遞常常距離很遠，所以難免出現錯誤。通常采用糾錯碼避免這種錯誤的發生，而設計的這種糾錯碼的數學基礎就是代數系統。

2.5離散數學在生物信息學中的應用

生物信息學是現代計算機科學中一個嶄新的分支，它是計算機科學與生物學相結合的產物。由于DNA是離散數學中的序列結構，美國科學院院士，近代離散數學的奠基人Rota教授預言，生物學中的組合問題將成為離散數學的一個前沿領域。DNA計算機的基本思想是：以DNA堿基序列作為信息編碼的載體，利用現代分子生物學技術，在試管內控制酶作用下的DNA序列反應，作為實現運算的過程；這樣，以反應前DNA序列作為輸入的數據，反應后的DNA序列作為運算的結果，DNA計算機幾乎能夠解決所有的NP完全問題。

3.結語

現在我國每一所大學的計算機專業都開設離散數學課程，正因為離散數學在計算機科學中的重要性，可以說沒有離散數學就沒有計算機理論，也就沒有計算機科學。所以，應努力學習離散數學，推動離散數學的研究，使它在計算機中有更廣泛的應用。

參考文獻：

[1]朱家義，苗國義等.基于知識關系的離散數學教學內容設計[J].計算機教育，2010（18）：98-100.

[2]方世昌.離散數學.西安電子科技大學出版社，1985.

[3]陳敏，李澤軍.離散數學在計算機學科中的應用[J].電腦知識與技術，2009，5（1）：251-252.

[4]B.Kolman，R.Busby&S.Ross.Discrete Mathematical Structure.

[5]李大友.離散數學.清華大學出版社，2001.

[6]龔靜，王青川.數理邏輯在計算機科學中的應用淺析[J].青海科技，2004，（6）：53-54..