不同地形條件下多種GPS高程擬合模型的適應性研究

董書曉 甘 淑

(昆明理工大學國土資源工程學院，昆明 650093)

GPS 高程是以WGS-84 橢球面為基準面的大地高H，而我國的測量高程系統采用的是以(似)大地水準面為基準面的正常高Hr，兩者間的差距即為高程異常ζ［1］:

由于WGS-84 橢球面與(似)大地水準面之間數學關系復雜，致使高程異常值既不是常數，也難以用合適的函數式完全無誤地表達，導致GPS 高程在實際應用中受到限制，特別是在地形復雜的山區。

GPS 高程轉換方法有二次曲面擬合法、多面函數擬合法、Shepard 擬合法、BP 神經網絡法、支持向量機等。不同的擬合方法有不同的特點，適應性也不一樣，使得同一種模型在不同地形條件下的擬合效果也不完全相同。本文通過對常用的二次曲面模型、多面函數模型、Shepard 模型進行分析，并根據各自的優勢和局限性建立組合模型，通過對幾種模型的擬合精度進行對比，評價其對不同地形的適應性。

1 GPS 高程異常擬合的數學模型

1.1 二次曲面擬合法

設GPS 控制點有n 個，控制點坐標xi、yi與高程異常值ζi(i=1，2，…，n)之間存在以下關系［2］:

式中，f(x，y)為ζ 的擬合值，εi為擬合誤差。當采用二次函數為擬合函數時:

式中，ai(i=1，2，…，5)為待定系數。于是有:

式中，

根據每個已知點的x、y 及ξ 值，可組成式(4)，在最小二乘法條件下，求解出唯一的一組參數A，進而對同一范圍內的待求點進行高程異常擬合。

1.2 多面函數擬合法

多面函數擬合法的核心思想是:任何數學表面和不規則圓滑表面，總可用一系列規則的數學表面的總和以任意精度逼近。其一般形式為［3］:

式中，aj是待定系數，Q(x，y，xj，yj)是多面函數的核函數。核函數有多種類型，為便于計算，一般采用具有對稱性的距離型，即

式中，δ 為平滑因子，μ 一般取1/2 或－1/2。當μ=1/2 時，核函數稱為正雙曲面函數;當μ=－1/2 時，核函數為倒雙曲面函數。

若有m 個已知GPS 水準點數據，將這m 個數據點中的n 個作為核函數的中心點。令Qij=Q(xi，yi，xj，yj)，則各數據點應滿足:

式中，i 為中心點個數，i=1，2，…，n，j 為GPS 水準點個數，j=1，2，…，m。由此可列出誤差方程:

根據最小二乘法可得:

將其代入式(8)，即可得到測區內任一點的高程異常擬合值［4］。

1.3 Shepard 曲面擬合法

對于大量的離散數據，Shepard 提出局部逼近模型［5－7］。設有m 個已知點，坐標為(xi，yi)，fi為已知點(xi，yi)處的高程異常值，Shepard 曲面可寫為如下形式:

式中，μ 為一大于1 的常數，ri表示各點間的距離，ri為各點關于距離的權函數。在其模型結構中，將對擬合點高程異常值有重要影響的范圍設定為一個以擬合點為圓心、半徑為R 的圓，在擬合區內分為兩個環帶［8］，則權函數ρ(r)可定義為:

搜索半徑R 的選取應根據已知點密度及實際地形情況靈活調整。

2 基于“移去-恢復法”的組合模型

2.1 “移去-恢復法”原理

根據物理大地測量學，高程異常值可表示為［9］:

式中，ξGM為通過地球重力場模型計算出的長波分量;ξΔg為用斯托克斯積分公式得到的中波分量;ξT為地形起伏的影響，表示大地水準面短波分量。在小區域GPS 網中，高程異常值的中長波分量基本不變，引起其變化的主要是地形起伏引起的短波分量。這一現象在地形起伏較大的高原山區尤為明顯。

“移去-恢復法”的原理實質上是先擬合出高程異常值中長波分量部分并將其移去，再對其短波分量進行擬合，然后將待定點上的長波分量進行恢復，得到最終的擬合結果。

2.2 兩種組合模型的選擇

根據實驗，二次曲面模型能對中長波項進行較好擬合，而對短波項擬合效果不佳;多面函數模型雖對整體擬合效果不好，但對局部變化反應敏感;Shepard 曲面擬合法只能對噪聲趨勢性信號擬合較好，而無法對整體變化平緩的中長波項進行很好的擬合［10］。

根據以上分析，構建兩種不同的組合模型。

1)在測區內選取m 個GPS 水準點作為二次曲面函數的已知點，并選擇n 個作為檢測點(待求點)進行擬合，求出各已知點的高程異常擬合值ξ0和待求點的擬合值ξ擬。

2)求出m 個GPS 水準點上的擬合殘差:

3)將各點的殘差值ε0作為已知量，利用多面函數模型，求出各待求點殘差的擬合值，組成第一種組合模型，即“二次曲面+多面函數組合模型”。擬合的待求點高程異常值為:

4)將各點的殘差值ε0作為已知量，利用Shepard 模型求出各待求點殘差的擬合值ε2擬，組成第二種組合模型，即“二次曲面+ Shepard 曲面模型”。擬合的待求點高程異常值為:

3 實例分析

3.1 實例選取及數據處理方法

設計兩個具有代表性的工程實例，模擬基于平原地形和山區地形條件下最佳高程異常擬合模型的選取。

實例1:某市D級GPS 網，面積約為250 km2，區域內地勢平坦，高程異常值變化很小，屬于平原地形。測區共布設40 個觀測點，并進行三等水準聯測。選用均勻分布于整個測區的10 個點作為已知點，其余30 個點作為檢測點(待求點)，用來檢驗各種方法的擬合效果，如圖1。

實例2:云南某地區C級GPS 網共布設24 個GPS 水準點，并進行三等水準測量。測區總面積約2 000 km2，地形起伏較大，高程異常值變化很大，屬于典型的高原山區地形。選擇均勻分布在測區內的16 個點作為已知點，其余8 個點作為檢測點(待求點)，用來檢驗各種方法的擬合效果，如圖2。

對上述兩組數據分別采用5 種模型進行計算，并采用待求點的外符合精度m 對擬合方法進行評價:

式中，v 為檢測點的已知高程異常其擬合值之差，n為待求點個數。

圖1 平坦地區控制點位分布圖Fig.1 Distribution of control points in flat area

圖2 山區地形控制點位分布圖Fig.2 Distribution of control points in mountainous area

表1 平坦地區5 種擬合方法計算結果(單位:cm)Tab.1 The results calculated with five fitting methods in flat area(unit:cm)

3.2 平坦地形區域案例分析

表1 為平坦地形條件下5 種高程異常擬合方法得到的結果，圖3 為5 種模型的高程異常擬合殘差值曲線。可以看出，在該測區內，就單一擬合模型來說，無論是擬合殘差分布的均勻性還是檢測點的中誤差，二次曲面法擬合精度最高，多面函數次之，Shepard 擬合法在R=10 km 時精度達到最好，但遠低于前二者。而對于組合模型，兩種組合模型的擬合精度都略高于任何一種單一模型，但優勢都不十分明顯。這是因為，兩種組合模型都充分利用了二次曲面模型善于擬合高程異常中長波分量以及多面函數與Shepard 擬合法善于擬合高程異常中短波分量的特點，所以擬合效果稍好于單一模型。但因為平原地區地形起伏變化較小，高程異常中短波分量變化量也較小，因此運用組合模型的優勢不是很明顯。

圖3 5 種模型對平坦地區擬合殘差圖Fig.3 Fitting residual plot with five models in flat area

3.3 復雜山地地形區域案例分析

表2 為山區地形條件下5 種擬合模型得到的統計結果，圖4 為5 種高程異常擬合模型的高程異常擬合殘差值曲線。可以看出，就單一模型而言，3 種擬合模型的擬合精度都不是很好。其中，二次曲面擬合精度最差，多面函數次之，而Shepard 擬合法在R=30 km 時達到最好。和二次曲面模型及多面函數模型相比，Shepard 擬合法精度略好于二者。對于組合模型來說，兩種組合模型的擬合精度都要好于各自的單一模型，而且二次曲面+Shepard 組合法比二次曲面+多面函數組合法效果要好。這說明，在高程異常短波分量變化較大的山區，各種單一模型的局限性反映得愈加明顯。具體而言，對高程異常長波分量有較好擬合效果的二次曲面模型由于不能較好地反映短波分量的變化趨勢，所以擬合效果最差;對短波分量有明顯反映的多面函數和Shepard 擬合法有較好的擬合效果，但二者都無法較好地顧及高程異常的長波分量和短波分量，所以沒有組合模型的擬合效果好。

表2 山區地形中5 種擬合方法計算結果(單位:cm)Tab.2 The results calculated with five fitting methods in mountainous area(unit:cm)

圖4 5 種模型對山區地形擬合殘差圖Fig.4 Fitting residual plot with five kinds of models in mountainous area

4 結 論

1)二次曲面模型在平坦地區即便已知點較少也能達到很好的擬合精度，而多面函數模型及Shepard 模型雖然在平坦地區擬合精度不佳，但在山區地形中有較好的擬合效果。

2)在Shepard 模型中，其影響范圍R 不是一成不變的，在實際中應根據測區地形和已知點密度而定。在平坦地區影響范圍稍小，而在山區地形中影響范圍要大。

3)兩種組合模型在兩種地形條件下都有較好的擬合效果，在山區地形中優勢更明顯，二次曲面+Shepard 組合模型尤其適應起伏變化的山區地形。

4)5 種擬合模型中，沒有一種能適用于所有地形條件，在應用中應根據具體環境加以選擇。

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