例說解題方法的改進

李劍

中圖分類號：G633.6 文獻標(biāo)識碼：A 文章編號：1002-7661（2014）01-0114-01

我相信許多數(shù)學(xué)教師都會發(fā)現(xiàn)，不少學(xué)生雖然喜歡解題，但只考慮答案的對否。題目一旦獲解，就會產(chǎn)生滿足感，往往不愿意再回頭看看，不愿意再想想這種解決是否最佳，忽略解題后的再思考，這是非常可惜的，因為這樣恰好錯過了提高的機會，無異于“入寶山而空手回”。美藉數(shù)學(xué)家波利亞曾有一句名言：沒有任何一道題是可以解決得十全十美的，總會有點滴的發(fā)現(xiàn)，總能改進這個解答，而且在任何情況下，我們總能提高自己對這個解答的理解水平。

仿照他的做法，我與我的初中畢業(yè)班學(xué)生一起，也經(jīng)常分析，力圖開發(fā)解題智慧，并收到一些效果。

一、通過介紹“改進‘曹沖稱象的方法”提高學(xué)生對開發(fā)智慧的認(rèn)識

“曹沖稱象”這個千古流傳的故事，稱贊了年僅七歲的曹沖智慧過人，解決了當(dāng)時歷史條件下的一道非常規(guī)數(shù)學(xué)應(yīng)用題。為了開發(fā)解題智慧，我引導(dǎo)學(xué)生想一想，這種方法是否還可以改進。羅增瑞教授曾就這個問題與一位小學(xué)二年級學(xué)生進行探討。在他的啟發(fā)下，這位小學(xué)生最后得出：“組織圍觀的人代替石頭，要不，趕一群羊上船也行，既省工又省時。”看到這里，相信讀者也會與羅教授一樣高興，稱贊這個方法確實比曹沖強。由此，也一定能得出以下結(jié)論：（1）即使是“智慧典范”的解題過程也會有解題愚蠢。（2）即使是對小學(xué)生進行解題過程的分析與啟引，也能開發(fā)解題智慧來。

通過這個生動事例的介紹與講解，同學(xué)們都感到解題分析的前景是廣闊的，從而大大增強了他們的信心。

二、通過具體的解法的改進，開發(fā)學(xué)生的解題智慧

1.抓住本質(zhì)。例1：如果關(guān)于x、y的二元一次方程組 。

評析：這道題，有些同學(xué)會很匆忙把x、y代入第一個方程組，求出a、b后再解第二個方程組，這明顯是解題的愚蠢了。我們知道，對于同一類方程（組），它的解取決于它的系數(shù)，而與它采用的字母無關(guān)，這道題前后兩個方程組，雖然表面不同，但只要把第二個方程組的x+y、x-y分別看成兩個整體變元，那么它與第一個方程中的系數(shù)就相同，那么它的解也應(yīng)相同，即有 抓住問題的本質(zhì)，運用方程的思想，解這道題就容易多了。

2.考慮題型。例2：某個體戶在一次買賣中，同時賣出兩件上衣，每件以135元出售，若按成本計算，其中一件盈利25%，另一件虧本25%。在這次買賣中這個個體戶是（ ）。

A、不賺不賠 B、賺9元 C、賠18元 D、賺18元

請比較下面兩種解法：

解法1（直接法）：設(shè)兩件上衣成本分別為x、y，依題意

解法2（篩選法）：因虧本那件上衣成本肯定大于135元，其虧的款大于25%×135，而盈利那件上衣成本肯定小于135元，真賺的款小于135×25%，由此可知這個買賣肯定是賠，故可刪除A、B、D，選C。

顯然，解法2比解法1簡捷，根據(jù)題目類型，采用不同解法，往往能達到事半功倍的效果。

3.“問道于零”。例3，閱讀下面的解題過程：已知a、b、c為△ABC的三邊，且滿足a²c²-b²c²=a⁴-b⁴，試判斷△ABC的形狀。

解：∵a²c²-b²c²=a⁴-b⁴（A）

∴c²（a²-b²）= （a²+b²）（a²-b²） （B）

∴c²= a²+b²（C）

∴△ABC是直角三角形

問：①上述解題過程，從哪一步開始出現(xiàn)錯誤，代號 ；②錯誤的原因為___________；③本題的結(jié)論是___________ 。

評述：我國著名數(shù)學(xué)家傅種孫先生說過：“總之，在中學(xué)代數(shù)，把根本概念的難關(guān)通過后，每遇困難，即問道于零可爾，當(dāng)教師的人，能對零謹(jǐn)慎小心，則受福無量矣！”閱讀分析解題過程可發(fā)現(xiàn)（C）步錯誤，原因是a2-b2可以為零，當(dāng)學(xué)生在解代數(shù)題過程中，思路受阻或出現(xiàn)錯誤，教師若引導(dǎo)學(xué)生“問道于零”，往往可“受福無量”。

4.結(jié)合實際。例4：（丟番圖的墓碑趣題）他生命的六分之一是幸福的童年，再活了他壽命的十二分之一，兩頰長起了細細的胡須；他結(jié)了婚，又度過了一生的七分之一；再過5年，他有了兒子，可是兒子只活了他父親全部年齡的一半；兒子死后，他在極度悲痛中過了四年，也與世長辭了。請回答：①他結(jié)婚時的年齡；②他開始當(dāng)爸爸時的年齡；③他兒子死時他的年齡；④他去世的年齡。

評析：這是人教版初中代數(shù)第一冊（上）“想一想”的內(nèi)容，選自世界上許多國家的中學(xué)代數(shù)教材或趣味代數(shù)，課外讀物中的著名問題。學(xué)生一般是這樣解的：設(shè)他去世時的年齡為x，依題意得x=+++5++4，通過解方程可得出全部結(jié)果。

深入想一想，這道題是否可以不列方程，而求解呢？不少學(xué)生馬上意識到，這是可能的，因為從題意可知，他的年齡應(yīng)當(dāng)是6、12、7、2的最小公倍數(shù)84，其它公倍數(shù)是不可能的，例如168，則其六分之一應(yīng)是28，28歲是童年嗎？而一般人也活不到168歲。

認(rèn)真引導(dǎo)學(xué)生進行解題分析，開發(fā)解題智慧，通過有限道題的學(xué)習(xí)培養(yǎng)解無限道題的解題機智，提高他們分析問題、解決問題的能力，這是數(shù)學(xué)教學(xué)的目的所在。對那些獨到的、新疑的、絕妙的解法以特別的鼓勵，這對培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維習(xí)慣更具有積極意義。

（責(zé)任編輯 劉凌芝）endprint