基于復(fù)雜網(wǎng)絡(luò)理論的輸電容量匹配模型

舒征宇，丁紅聲，周建華，俞 翰，向 坤

(國(guó)網(wǎng)宜昌供電公司調(diào)度控制中心，湖北省宜昌市443000)

0 引 言

電力系統(tǒng)是一種典型的廣延耗散系統(tǒng)，這種系統(tǒng)在外因和內(nèi)因的作用下會(huì)逐漸演變達(dá)到自組織臨界狀態(tài)，容易誘發(fā)系統(tǒng)崩潰［1-3］。其重要特征是在復(fù)雜大電網(wǎng)中發(fā)生的故障規(guī)模及其對(duì)應(yīng)的累積概率服從尾冪律分布特性。這一現(xiàn)象也在國(guó)內(nèi)外諸多大型電網(wǎng)的統(tǒng)計(jì)數(shù)據(jù)中得到了驗(yàn)證［4-9］。

針對(duì)電網(wǎng)的自組織臨界特性，研究人員分析了影響連鎖故障發(fā)生幾率以及故障規(guī)模大小的主要因素。其結(jié)果顯示系統(tǒng)的負(fù)載率分布(即輸電容量冗余的分配)對(duì)于連鎖故障的傳播尤為重要。文獻(xiàn)［10-12］分別對(duì)于系統(tǒng)負(fù)載率的均衡分布以及負(fù)載率的異質(zhì)分布進(jìn)行了分析，其中文獻(xiàn)［10］建立了復(fù)雜電力網(wǎng)絡(luò)的負(fù)荷－容量模型(ML 模型)，假定系統(tǒng)中每條輸電線(xiàn)路上存在的輸電容量冗余與其穩(wěn)態(tài)時(shí)的有功潮流成正比。在該模型下的實(shí)驗(yàn)結(jié)果表明，系統(tǒng)的平均負(fù)載率越高，系統(tǒng)越接近自組織臨界狀態(tài)。大規(guī)模連鎖故障的發(fā)生幾率會(huì)隨平均負(fù)載率的上升而增加。文獻(xiàn)［11］則分析了負(fù)載率的異質(zhì)分布對(duì)電網(wǎng)自組織臨界特性的影響，提出了潮流熵的概念用于量化負(fù)載率分布的異質(zhì)程度。文中指出連鎖故障的傳播過(guò)程中系統(tǒng)的潮流熵會(huì)隨之增加，整個(gè)系統(tǒng)會(huì)向自組織臨界態(tài)進(jìn)行演化，從而形成大規(guī)模的連鎖故障。文獻(xiàn)［12］則以連鎖故障搜索模型分析了負(fù)載分布情況對(duì)連鎖故障的影響，其結(jié)論表明考慮平衡整個(gè)系統(tǒng)負(fù)載率分布，降低部分重要線(xiàn)路的負(fù)載率的措施可以有效降低大規(guī)模連鎖故障的幾率。

以上研究均指出電力網(wǎng)絡(luò)的負(fù)載率分布將直接影響電力系統(tǒng)中連鎖故障發(fā)生的幾率及其對(duì)應(yīng)的故障規(guī)模大小，如何優(yōu)化規(guī)劃電網(wǎng)建設(shè)或安排電網(wǎng)的運(yùn)行方式使得系統(tǒng)的負(fù)載率分布達(dá)到最優(yōu)則是當(dāng)前需要解決的主要問(wèn)題。鑒于此，本文提出一種輸電線(xiàn)路的重要度評(píng)估指標(biāo)，判斷線(xiàn)路對(duì)于系統(tǒng)的重要程度，并在此基礎(chǔ)上給出了輸電容量冗余的匹配模型。藉由該模型匹配線(xiàn)路的輸電容量冗余，通過(guò)調(diào)整系統(tǒng)的負(fù)載率分布，以期提高電網(wǎng)抵御連鎖故障的能力，降低大規(guī)模連鎖故障發(fā)生的幾率。

1 基于熵理論的輸電線(xiàn)路非均質(zhì)轉(zhuǎn)移指標(biāo)

根據(jù)已有的研究成果可知［12］，當(dāng)電力網(wǎng)絡(luò)發(fā)生連鎖故障時(shí)，系統(tǒng)的負(fù)載率分布將呈現(xiàn)出向非均質(zhì)特性演化的趨勢(shì)，故障傳播過(guò)程中經(jīng)常會(huì)出現(xiàn)部分線(xiàn)路發(fā)生過(guò)負(fù)荷故障，而大量線(xiàn)路處于輕載的情況。當(dāng)系統(tǒng)面臨大規(guī)模連鎖故障時(shí)不能有效抵御故障的傳播。因此，本文從預(yù)防系統(tǒng)負(fù)載率分布向非均質(zhì)特性演化的角度，給出線(xiàn)路重要度評(píng)估的量化指標(biāo)。

1.1 輸電線(xiàn)路的非均質(zhì)轉(zhuǎn)移指標(biāo)

本文基于熵理論提出支路負(fù)荷的非均質(zhì)轉(zhuǎn)移指標(biāo)(以下簡(jiǎn)稱(chēng)轉(zhuǎn)移評(píng)價(jià)指標(biāo))用于量化支路發(fā)生故障時(shí)對(duì)于網(wǎng)絡(luò)中剩余支路負(fù)載率的非均質(zhì)變化的促進(jìn)作用。

1.1.1 熵的定義

熵是混亂和無(wú)序狀態(tài)的一種量度，熵理論主要應(yīng)用于信息科學(xué)、統(tǒng)計(jì)物理學(xué)等。當(dāng)系統(tǒng)可能處于幾種不同狀態(tài)，每種狀態(tài)Xi出現(xiàn)的概率為Pi時(shí)，那么該系統(tǒng)的熵則可以表示為

式中:φ 為常數(shù);n 為預(yù)先劃分的狀態(tài)數(shù);P(k)為該種狀態(tài)在系統(tǒng)中出現(xiàn)的概率，其大小為

式中:Xk為系統(tǒng)中所有樣本屬于狀態(tài)k 的個(gè)數(shù);為總的樣本個(gè)數(shù)。系統(tǒng)的熵越大，其有序程度越低;反之，系統(tǒng)的有序程度越高其熵就越小。若選擇系統(tǒng)中輸電線(xiàn)路的負(fù)載率作為樣本，通過(guò)式(1)則可以計(jì)算出系統(tǒng)負(fù)載率的熵。

1.1.2 非均質(zhì)轉(zhuǎn)移評(píng)價(jià)指標(biāo)

根據(jù)熵的定義，本文提出輸電線(xiàn)路的非均質(zhì)轉(zhuǎn)移評(píng)價(jià)指標(biāo)用于量化輸電線(xiàn)路發(fā)生故障時(shí)對(duì)系統(tǒng)負(fù)載率非均質(zhì)分布的促進(jìn)作用，其計(jì)算公式為

式中:HP(eij)為支路eij的轉(zhuǎn)移評(píng)價(jià)指標(biāo)，其物理含義為當(dāng)支路eij傳輸單位有功負(fù)荷且發(fā)生故障時(shí)，剩余網(wǎng)絡(luò)中潮流分布變化的熵;Pij(k)為支路eij故障時(shí)系統(tǒng)中剩余輸電線(xiàn)路傳輸有功功率的變化比率λ處于λmn(eij)∈(θ·k，θ·k + θ］的概率，其計(jì)算公式如式(4)，θ 為狀態(tài)量步長(zhǎng)。由于電能輸送過(guò)程中絕大部分為有功，因此本文只考慮有功負(fù)荷的轉(zhuǎn)移。

支路eij故障后剩余網(wǎng)絡(luò)中任意輸電線(xiàn)路emn傳輸有功的變化比率λmn(eij)，其計(jì)算公式為

式中:ΔFij(emn)為支路eij在傳輸單位有功時(shí)，發(fā)生故障后emn上產(chǎn)生的負(fù)荷增量;ΔFavgij則為剩余子網(wǎng)中所有支路上有功負(fù)荷增量的均值;ymn為支路emn的導(dǎo)納，Zij為支路eij斷開(kāi)以后網(wǎng)絡(luò)的阻抗矩陣。Xij為第i個(gè)元素為1，j個(gè)元素為－1 的n 維向量，n 為網(wǎng)絡(luò)節(jié)點(diǎn)總數(shù); Xij= ［ 0 … 1 … －1 … 0］;的物理意義為支路eij斷開(kāi)以后，電網(wǎng)等效成無(wú)源網(wǎng)絡(luò)單位負(fù)荷從節(jié)點(diǎn)i 注入從節(jié)點(diǎn)j 流出時(shí)，支路emn上傳輸?shù)呢?fù)荷大小;Fmn為系統(tǒng)穩(wěn)態(tài)時(shí)輸電線(xiàn)路的有功功率;Q 為初始狀態(tài)下網(wǎng)絡(luò)中包含的輸電線(xiàn)路總數(shù);狀態(tài)量步長(zhǎng)默認(rèn)取值為

1.2 線(xiàn)路非均質(zhì)轉(zhuǎn)移指標(biāo)與穩(wěn)態(tài)潮流比較

以IEEE300 節(jié)點(diǎn)典型算例為例，本文計(jì)算系統(tǒng)中輸電線(xiàn)路的轉(zhuǎn)移評(píng)價(jià)指標(biāo)以及對(duì)應(yīng)的穩(wěn)態(tài)有功，按照轉(zhuǎn)移評(píng)價(jià)指標(biāo)排序后的前15 位的結(jié)果如表1所示。

表1 轉(zhuǎn)移評(píng)價(jià)指標(biāo)排序結(jié)果Tab．1 Sorting results of transfer evaluated index

根據(jù)轉(zhuǎn)移評(píng)價(jià)指標(biāo)的物理意義可知，當(dāng)輸電線(xiàn)路傳輸負(fù)荷大小相同時(shí)，轉(zhuǎn)移評(píng)價(jià)指標(biāo)越高的線(xiàn)路出現(xiàn)過(guò)負(fù)荷故障給電網(wǎng)帶來(lái)的擾動(dòng)越大，將促進(jìn)網(wǎng)絡(luò)中負(fù)荷分布向非均質(zhì)分布演化。因此在故障傳播的過(guò)程中應(yīng)當(dāng)盡量避免轉(zhuǎn)移評(píng)價(jià)指標(biāo)較高的支路出現(xiàn)過(guò)負(fù)荷故障。

然而由表1 的計(jì)算結(jié)果可知，在電力網(wǎng)絡(luò)中潮流的分布受到電源節(jié)點(diǎn)的出力大小、負(fù)荷節(jié)點(diǎn)的負(fù)荷需求以及節(jié)點(diǎn)的分布位置影響，轉(zhuǎn)移評(píng)價(jià)指標(biāo)較高的輸電線(xiàn)路不一定會(huì)傳輸更高的負(fù)荷，如表所中所示的輸電線(xiàn)路42 －16、119 －118。按照傳統(tǒng)的負(fù)荷容量模型，即僅僅根據(jù)輸電線(xiàn)路穩(wěn)態(tài)時(shí)輸送的有功潮流來(lái)匹配輸電線(xiàn)路的運(yùn)行極限不一定能更好地保護(hù)系統(tǒng)中的重要線(xiàn)路［13］。當(dāng)網(wǎng)絡(luò)中的重要元件發(fā)生故障時(shí)，潮流的分布會(huì)發(fā)生變化，若負(fù)荷轉(zhuǎn)移評(píng)價(jià)指標(biāo)較高的線(xiàn)路發(fā)生過(guò)負(fù)荷故障時(shí)則將促進(jìn)系統(tǒng)負(fù)載率向非均質(zhì)分布演化，從而促進(jìn)大規(guī)模連鎖故障發(fā)生。

2 輸電容量匹配模型

2.1 一種帶控制參數(shù)的匹配模型

若要避免負(fù)荷轉(zhuǎn)移評(píng)價(jià)指標(biāo)較高的輸電線(xiàn)路出現(xiàn)過(guò)負(fù)荷故障，則需要在規(guī)劃時(shí)針對(duì)這部分重要線(xiàn)路，提高其輸電容量或是在方式編排時(shí)降低這部分線(xiàn)路的傳輸功率，從而防止局部故障在電網(wǎng)中的擴(kuò)散。

鑒于此本文提出輸電線(xiàn)路的輸電容量匹配模型，結(jié)合電網(wǎng)穩(wěn)態(tài)時(shí)的潮流分布以及故障傳播過(guò)程中輸電線(xiàn)路對(duì)于電網(wǎng)的重要程度，優(yōu)化系統(tǒng)中輸電線(xiàn)路的運(yùn)行極限，以期降低大規(guī)模連鎖故障發(fā)生的幾率，運(yùn)行極限匹配模型可以表示為

2.2 基于風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的控制參數(shù)優(yōu)化

由于控制參數(shù)的取值會(huì)改變輸電容量的分配，從而影響系統(tǒng)負(fù)載率的分布以及抗擾動(dòng)能力，為解決匹配模型中控制參數(shù)的優(yōu)化取值問(wèn)題，本節(jié)將采用風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的方法，量化控制參數(shù)在不同取值時(shí)系統(tǒng)面臨的風(fēng)險(xiǎn)，并以此為依據(jù)給出控制參數(shù)的優(yōu)化取值。

2.2.1 停電事故概率密度函數(shù)求解

本文采用仿真模擬的方法獲取系統(tǒng)停電事故概率密度函數(shù)。本文采用文獻(xiàn)［14］提出的SOC-PF 仿真模型模擬系統(tǒng)中的故障傳播，得到控制參數(shù)不同取值時(shí)系統(tǒng)故障發(fā)生幾率和故障規(guī)模之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系。圖1 為IEEE300 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)在α = 1.5 ，控制參數(shù)ρ 分別取值0、0.2、0.4 時(shí)，通過(guò)反復(fù)實(shí)驗(yàn)200次后得到的故障規(guī)模累計(jì)概率分布。圖1 中橫軸L 為負(fù)荷損失即故障規(guī)模，縱軸P 為大于該故障規(guī)模的累計(jì)概率分布，圖中的坐標(biāo)均采用對(duì)數(shù)刻度。

圖1 故障規(guī)模－累計(jì)概率曲線(xiàn)圖Fig.1 Cumulative probability curve of failure scale

根據(jù)以上仿真模型計(jì)算故障的累積概率分布，對(duì)實(shí)驗(yàn)結(jié)果采用最小二乘法進(jìn)行線(xiàn)性回歸分析，可以得到不同忍耐系數(shù)和控制參數(shù)下的概率密度函數(shù)，具體流程如下。

(1)根據(jù)實(shí)驗(yàn)結(jié)果做線(xiàn)性回歸處理，得到故障規(guī)模及其發(fā)生頻率之間的關(guān)系:

式中:Q 為故障規(guī)模;N(Q)為對(duì)應(yīng)故障規(guī)模的發(fā)生頻次;a、b 為待求常數(shù)。

(2)在求得以上關(guān)系后，采用故障的頻率近似代替隨機(jī)變量的概率分布F，令:

式中:X 為描述故障規(guī)模的變量;N(X)為對(duì)應(yīng)的發(fā)生次數(shù)。根據(jù)實(shí)驗(yàn)獲得的數(shù)據(jù)進(jìn)行回歸處理則可以得到概率分布函數(shù):

(3)根據(jù)概率分布函數(shù)求取概率密度函數(shù):

根據(jù)以上步驟則可以獲得給定忍耐系數(shù)與控制參數(shù)時(shí)故障發(fā)生幾率及其對(duì)應(yīng)故障規(guī)模的概率密度函數(shù)。

2.2.2 基于風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的控制參數(shù)優(yōu)化取值

根據(jù)上一節(jié)介紹的方法可以求取給定忍耐系數(shù)與控制參數(shù)時(shí)電力網(wǎng)絡(luò)的停電事故概率密度函數(shù)p(x)，其中x 為停電事故的規(guī)模。根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量的一般表達(dá)式［15］，求解系統(tǒng)在給定參數(shù)下的風(fēng)險(xiǎn)度量結(jié)果，風(fēng)險(xiǎn)測(cè)量的數(shù)學(xué)表達(dá)式為

式中:x 表示故障規(guī)模;p(x)為故障規(guī)模的密度函數(shù)，其物理意義為所有可能大小的停電事故的總的風(fēng)險(xiǎn)。那么根據(jù)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估的優(yōu)化控制參數(shù)取值求解流程見(jiàn)圖2。

圖2 控制參數(shù)優(yōu)化取值計(jì)算流程Fig.2 Calculation process of control parameters optimization

采用以上流程可以求解系統(tǒng)在不同狀態(tài)下系統(tǒng)整體的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估結(jié)果，從而通過(guò)對(duì)比得出不同忍耐系數(shù)時(shí)控制參數(shù)的優(yōu)化取值。以IEEE300 節(jié)點(diǎn)為例，仿真步長(zhǎng)w 設(shè)為0.1，求得不同取值時(shí)，系統(tǒng)損失負(fù)荷的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估結(jié)果見(jiàn)表2。

表2 IEEE 300 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估結(jié)果Tab．2 Risk assessment results of IEEE 300 node system MW

由以上計(jì)算結(jié)果可以發(fā)現(xiàn)，在電網(wǎng)的忍耐系數(shù)發(fā)生變化時(shí)，即系統(tǒng)的輸電容量冗余總量(或負(fù)荷水平)發(fā)生改變時(shí)，對(duì)應(yīng)改進(jìn)模型控制參數(shù)的取值也會(huì)隨之發(fā)生變化。例如α = 0.5，1.0，1.5 狀態(tài)下控制參數(shù)的最優(yōu)取值為0.2，而α = 2.0 狀態(tài)下的最優(yōu)取值為0.1。控制參數(shù)的最優(yōu)取值會(huì)根據(jù)輸電容量冗余的多少而變化，根據(jù)本節(jié)提出的風(fēng)險(xiǎn)評(píng)估方法則可以獲得控制參數(shù)的優(yōu)化取值，進(jìn)一步優(yōu)化系統(tǒng)輸電容量冗余的分配。

3 算例分析

采用上一節(jié)的方法可以求得風(fēng)險(xiǎn)概率最低時(shí)忍耐系數(shù)以及控制參數(shù)所對(duì)應(yīng)的值，而在確定忍耐系數(shù)不變的前提下則可以獲得控制參數(shù)的最優(yōu)取值。本文以IEEE300 節(jié)點(diǎn)系統(tǒng)為例，對(duì)比了系統(tǒng)在匹配模型控制參數(shù)取值最優(yōu)時(shí)與負(fù)荷－容量模型在蓄意攻擊模式和隨機(jī)攻擊模式下故障規(guī)模隨忍耐系數(shù)的變化，其具體方案如下。

(1)蓄意攻擊模式:以元件(節(jié)點(diǎn)或輸電線(xiàn)路)的負(fù)荷大小為基礎(chǔ)將輸電線(xiàn)路進(jìn)行排序，始終攻擊系統(tǒng)中有功負(fù)荷最高的輸電線(xiàn)路，觀(guān)察故障的傳播。調(diào)整系統(tǒng)的忍耐系數(shù)，對(duì)比按照2 種不同匹配模型配置電網(wǎng)輸電容量時(shí)，系統(tǒng)對(duì)于關(guān)鍵元件的依賴(lài)性以及連鎖故障規(guī)模與忍耐系數(shù)(即輸電容量冗余)之間函數(shù)關(guān)系的敏感程度。

(2)隨機(jī)攻擊模式:將系統(tǒng)中所有元件加入列表，從中隨機(jī)挑選3%的元件作為初始故障，模擬故障在電力網(wǎng)絡(luò)中的傳播，調(diào)節(jié)忍耐系數(shù)，觀(guān)察故障規(guī)模隨系統(tǒng)初始狀態(tài)負(fù)荷水平的變化。按照以上步驟重復(fù)50次，求得50次實(shí)驗(yàn)中平均結(jié)果以及方差，繪制誤差線(xiàn)。

圖3 為蓄意攻擊的計(jì)算結(jié)果，其中橫軸為忍耐系數(shù)，縱軸為故障后電網(wǎng)的最大連通比例［16］，用以反映連鎖故障的規(guī)模。PM 表示本文提出的優(yōu)化匹配模型，ML 表示傳統(tǒng)的負(fù)荷－容量匹配模型的結(jié)果。由圖3 的仿真可知:本文提出的優(yōu)化匹配模型可以更好地抵御連鎖故障的傳播，降低連鎖故障的規(guī)模，在忍耐系數(shù)較低(即輸電容量冗余有限)的狀態(tài)下可以大幅提升網(wǎng)絡(luò)的連通比率，限制故障的傳播。

圖4 為隨機(jī)攻擊的計(jì)算結(jié)果，其中橫軸為忍耐系數(shù)，縱軸為故障后電網(wǎng)的最大連通比例。由仿真結(jié)果可知:本文提出的優(yōu)化匹配模型與傳統(tǒng)的負(fù)荷－容量模型一樣，都能夠較好地抵御網(wǎng)絡(luò)中的隨機(jī)故障，采用本文的優(yōu)化匹配模型后在同一忍耐系數(shù)時(shí)，系統(tǒng)能夠更好地抵御隨機(jī)擾動(dòng)。

圖3 蓄意攻擊模式下優(yōu)化匹配前后對(duì)比Fig.3 Comparison before and after optimal matching under deliberate attack

圖4 隨機(jī)攻擊模式下優(yōu)化匹配前后對(duì)比Fig.4 Comparison before and after optimal matching under random attacks

對(duì)比2 種攻擊模式的仿真結(jié)果可以發(fā)現(xiàn):按照本文提出的優(yōu)化匹配模型配置輸電線(xiàn)路的輸電容量可以更好地防御高負(fù)荷元件故障所引發(fā)的連鎖故障，同時(shí)也能夠保持系統(tǒng)對(duì)于隨機(jī)故障的魯棒性。

4 結(jié) 論

電力系統(tǒng)輸電容量冗余的分布與其脆弱性之間存在直接的關(guān)系。合理規(guī)劃冗余輸電容量的分配，防止重要元件發(fā)生過(guò)負(fù)荷故障是預(yù)防大規(guī)模連鎖故障的主要手段。本文從故障傳播的角度提出新的重要度評(píng)價(jià)指標(biāo)，用于量化輸電線(xiàn)路的重要程度，并在此基礎(chǔ)上改進(jìn)了電力系統(tǒng)的運(yùn)行極限匹配模型，通過(guò)在電網(wǎng)規(guī)劃或方式調(diào)整過(guò)程中合理配置電網(wǎng)輸電容量的冗余，預(yù)防故障傳播過(guò)程中系統(tǒng)的負(fù)載率向異質(zhì)分布的逐漸演化，減少故障傳播過(guò)程中重要元件出現(xiàn)過(guò)負(fù)荷故障的幾率，從而達(dá)到抵御大規(guī)模連鎖故障發(fā)生的目的。仿真實(shí)驗(yàn)結(jié)果證明，在系統(tǒng)輸電容量冗余有限的情況下，該優(yōu)化匹配模型可以更好地保護(hù)系統(tǒng)中的重要元件，有效抵御連鎖故障的發(fā)生。藉由該匹配模型，電網(wǎng)規(guī)劃人員可以明確系統(tǒng)存在的薄弱環(huán)節(jié)，方式編制人員亦可以了解在當(dāng)前負(fù)荷水平下正常運(yùn)行方式存在的風(fēng)險(xiǎn)。

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