避開參數討論，提高解題效率

杜盛伙

在平時的教學中，常常會遇到含有參數的問題，在解決這些問題時，不少教師掛在嘴邊的是“見參就論”，總是過分強調運用分類討論的方法來解決，久而久之，學生就走入一遇到含參數問題就分類討論的思維誤區；實際上，教師在重視分類討論思想應用的基礎上，應防止“見參就論”這種現象；面對含有參數問題時，應充分調動思維的積極性，從不同角度去考慮問題，多思考如何簡化和避開分類討論，提高解題效率。本文略舉幾例，談談如何避開參數討論來解決問題。

一、利用必要條件，避開參數討論

例1、f（x）=ax3-3x+1對于x∈[-1，1]總有f（x）≥0成立，則a=〖ZZ（Z〗 〖ZZ）〗。

分析：由題設f（-1）≥0且f（0）≥0可得2≤a≤4…①

由f′（x）=3a（x2-〖SX（〗1〖〗a〖SX）〗）=0得x=±〖SX（〗1〖〗〖KF（〗a〖KF）〗〖SX）〗，〖SX（〗1〖〗〖KF（〗a〖KF）〗〖SX）〗∈[〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，〖SX（〗1〖〗〖KF（〗2〖KF）〗〖SX）〗]，可求得在x∈[-1，1]上，

ymin=f（〖SX（〗1〖〗〖KF（〗a〖KF）〗〖SX）〗）≥0a≥4…②，由①②得a=4。

評注：f（x）≥0恒成立等價于f（x）min≥0，本解法先利用必要條件縮小了a的范圍，再利用導數求得f（x）的極小值，從而回避了對a的討論，簡化了求解程序，提高了解題效率。

例2、已知函數y=f（x）的圖像與函數y=ax（a>0且a≠1）的圖像關于直線y=x對稱，記g（x）=f（x）[f（x）+f（2）-1]，若y=g（x）在區間[〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，2]上是增函數，則實數a的取值范圍是（）

A 〖JB（[〗2，+∞〖JB））〗 B（0，1）∪（1，2）C 〖JB（[〗〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，1〖JB））〗 D〖JB（（〗0，〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗〖JB）]〗

分析：由已知得f（x）=logax，g（x）=logax（loga2x-1），若y=g（x）在[〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，2]上是增函數，則g（〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗）

評注：按常規應分a>1，0

二、利用逆向思維，避開參數討論

例3、已知函數f（x）=ax2+（2a-1）x+1（a≠0）在[-〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗，2]上的最大值為3，求a的值。

分析：函數f（x）=ax2+（2a-1）x+1（a≠0）在[-〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗，2]上的最大值只可能在拋物線弧段的端點或頂點取得，由f（-〖SX（〗3〖〗2〖SX）〗）=3或f（2）=3或f（-〖SX（〗2a-1〖〗2a〖SX）〗）=3解得a=-〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗或a=〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗或a=-〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗，檢驗可知滿足條件的a的值為a=-〖SX（〗2〖〗3〖SX）〗或a=〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗。

評注：按常規應分類討論，首先考慮a的正負，每一種情況繼續考慮對稱軸與定義域不同的位置關系求解，解題繁瑣，但從逆向思考，避免了對參數的討論，提高了解題的速度。

三、分離參數，避開參數討論

例4、（2009浙江理）已知函數f（x）=x3-（k2-k+1）x2+5x-2，g（x）=k2x2+kx+1，其中k∈R.

（I）設函數p（x）=f（x）+g（x）.若p（x）在區間（0，3）上不單調，求k的取值范圍；

（II）設函數q（x）=〖JB（{〗g（x），x≥0f（x），x<0〖JB）〗是否存在k，對任意給定的非零實數x1，存在惟一的非零實數x2（x2≠x1），使得q'（x2）=q'（x1）成立？若存在，求k的值；若不存在，請說明理由.

分析：（I）因p（x）=f（x）+g（x）=x3+（k-1）x2+（k+5）-1，q'（x）=3x2+2（k-1）x+（k+5），因p（x）在區間（0，3）上不單調，所以p'（x）=0在（0，3）上有實數解，且無重根，由p'（x）=0得k（2x+1）=-（3x2-2x+5）

∴k=〖SX（〗（3x2-2x+5）〖〗2x+1〖SX）〗=-〖SX（〗3〖〗4〖SX）〗[（2x+1）+〖SX（〗9〖〗2x+1〖SX）〗-〖SX（〗10〖〗3〖SX）〗]，令t=2x+1有t∈（1，7），記h（t）=t+〖SX（〗9〖〗t〖SX）〗，則h（t）在[1，3]上單調遞減，在[3，7]上單調遞增，所以有h（t）∈[6，10]，于是（2x+1）+〖SX（〗9〖〗2x+1〖SX）〗∈[6，10]，得k∈[-5，-2]，而當k=-2時有p'（x）=0在（0，3）上有兩個相等的實根x=1，故舍去，所以k∈[-5，-2]

（Ⅱ）略。

評注：此題若按二次函數求最值方法求解，需討論對應二次函數對稱軸與給定區間的不同位置關系求得最值，顯然比較繁瑣，采用參數分離法，避開了討論，提高了解題效率。

四、挖掘隱含條件，避開參數討論

例5、設f（x）是偶函數，x∈[-1，1]，且x∈[0，1]時，f（x）為減函數，解不等式f（1-m）

分析：由于f（x）是偶函數，故有f（x）=f（〖JB（|〗x〖JB）|〗），從而不等式f（1-m）〖JB（|〗m〖JB）|〗-1≤1-m≤1-1≤m≤1〖JB）〗 ，解得

0≤m≤〖SX（〗1〖〗2〖SX）〗。

評注：根據函數的定義域，1-m，m∈[-1，1]，但1-m和m在[-1，0]，[0，1]的那一個區間內？如果就此討論，將十分復雜，若注意到隱含條件f（x）=f（〖JB（|〗x〖JB）|〗），可直接求解，避開了參數討論，提高了解題效率。

五、利用數形結合，避開參數討論

例6、若對一切〖JB（|〗p〖JB）|〗≤2，不等式log22 x + plog2 x + 1 > 2log2 x + p恒成立，求實數x的取值范圍。

分析：原不等式可化為：（log2x-1）·p+（log2x-1）2>0，

設函數f（p）=（log2x-1）·p+（log2x-1）2，因為log2x-1≠0，否則題意不成立。〖TP16.TIF，5。1，PZ〗

所以函數f（p）是關于p的一次函數，又f（p）在p∈[-2，2]上恒為正，其圖像如圖，應滿足〖JB（{〗f（2）>0f（-2）>0〖JB）〗

〖JB（{〗-2（log2x-1）+（log2x-1）2>02（log2x-1）+（log2x-1）2>0〖JB）〗

log2x>3或log2x<-1x>8或0

評注：此題也可以用分離參數法求解，但要對p分類討論，解法較繁瑣，選擇整體處理法，構造一個關于p的函數，利用函數圖像，數形結合求解，很好地避開了對參數的討論，提高了解題速度。

總之，含參數問題的解題方法是多種多樣的，不僅要重視用分類討論方法解決含參問題，同時應引導學生積極探索，通過橫向、縱向聯系，運用各種數學思想和方法，尋求更合理、簡捷的解題方法，從而提高解題的效率。

參考文獻：

[1] 唐慶華 新課標環境下克服思維定勢負遷移之策略 [J] 中學數學雜志，2008.1

[2] 高群安 王巨章 必要條件在解題中的應用 [J] 中學數學教學，2009.3

（作者單位：福建省寧化縣第一中學 365400）