具有Allee 效應的廣義Logistic 模型的捕獲優化問題

李文霞，雒志學

近年來，許多學者對單種群生長規律的生物模型進行了研究，并得到了許多有意義的結果.文獻［1，2］分別研究了含Allee 效應經典的Logistic 模型的開發與優化，文獻［3］研究了單種群模型的最優捕獲策略.文獻［4］研究了具有Allee 效應的種群的優化管理.文獻［5］對Logistic 模型進行了推廣，得到了廣義Logistic 模型.文獻［6］探討了廣義Logistic 模型

的優化開發.文獻［7］中研究了具有常數捕獲率的廣義Logistic 模型在含Allee 效應的情況下的定量開發.

大量事實證明，許多物種被報道具有Allee效應，如植物［8］、海洋無脊椎動物［9］、哺乳動物［10］等.因此，對于很多種群，尤其是那些瀕危的哺乳類動物，其種群密度稀疏，更容易受Allee效應影響.所以，考慮具有Allee 效應的種群更具有實際意義.另外，在實際問題中，人們要充分利用資源，于是對資源進行開發，而且存在過度開發現象.

本文考慮具有Allee 效應的廣義Logistic 模型的線性捕獲優化問題，不僅克服了文獻［7］中常數捕獲率的局限性，而且考慮最優捕獲問題，尋求最優捕獲策略，維持生態平衡，使生物資源可持續發展.

我們假設捕獲與種群密度和捕獲努力度成正比，即h(x)= Eqx.E 為捕獲努力度，q 為捕獲能力系數，為正常數，為運算方便，不妨令q=1.我們研究如下模型

其中:r 為種群的固有增長率，k 為環境容納量，x(t)為t 時刻的魚群數量，v ＞－1，0 ＜m ＜k，E ＞0，r ＞0.

我們首先研究系統正平衡點的存在性及穩定性問題.

1 系統(2)正平衡點的存在性及穩定性

1)當v=0 時，系統(2)可變形為

證明:該定理易證明，故在此省略其證明.

且x=x1*不穩定，x=x2*穩定，穩定域Ω=當時，系統(3)無正平衡點.

故x1*＞0，x2*＞0，于是(3)可變形為

由(4)知，當0 ＜x ＜x*1時當x1*＜x ＜時，當x ＞x2*時，故x1*不穩定，x*2穩定.穩定域當E時，

故x*1＜0，x*2＜0.即系統(3)無正平衡點.

2)當v ≠0 時，系統(2)變為

令

①當－1 ＜v ＜0 時，定理證明完畢.

定理3 Ⅰ.當E=E1時，(6)有唯一的正平衡點

且x*半穩定，穩定域當E=E2時，(6)無正平衡點.

Ⅱ.當0 ＜E ＜E1時，(6)有兩個正平衡點x1*，x2*，且x1*不穩定，x2*穩定，穩定域Ω=

其中:

證明

當－1 ＜v ＜0 時，(2 +2r)v2+(2 +2r)v +1 ＞0 恒成立，故(7)式小于0，即又由于E1＜E2，所以r + E1v ＞0，r + E2v ＞0.

(Ⅰ)當E=E1時，(6)有唯一的正平衡點(5)可變形為

又由于

其中，Q*(－1)表示v=－ 1 時Q*的值，則x*故x*半穩定，穩定域

當E=E2時，，故(6)無正平衡點.

(Ⅱ)由于0 ＜E ＜E1，(6)有兩個正平衡點，經比較可得可變形為

當0 ＜x ＜x*1時，當x1*＜x ＜x2*時，當時，;當x ＞時，故x1*不穩定，x2*穩定，穩定域

②當v ＞0 時，定理證明完畢.

類似定理3 的證明方法，易得下面定理

且x*半穩定，穩定域當E=E2時，(7)無正平衡點.

Ⅱ.當E ＞E2或0 ＜E ＜E1時，(6)有兩個正平衡點x*1，x*2，且x*1不穩定，x*2穩定，穩定Ω(其中，E1，E2，x*1，x*2同定理3)

下面我們考慮最大可承受產量.

2 最大可承受產量

再令－vx2－2kx +k2+mk +vkm=0，解得x1=其中θ

1)當v ＞0 時，x1＜0 舍去，則

2)當－1 ＜v ＜0 時，由于mv2+ (k + m)v＜0，故x2也大于0，若取

若

顯然EMSY1＞EMSY2，HMSY1＞HMSY2，所以EMSY=EMSY1，HMSY=HMSY1.

1.1 淺層學習與“深度學習”的區別 高中生物學具有概念多、理解難，理論多、實踐難的學科困境。筆者曾在高中生物學教學課堂中進行問卷調查，分析發現淺層學習在教學中還有一定的市場。較多的教師和學生將生物學當成文科看待，認為生物學憑記憶就能得高分，背誦默寫成為部分課堂教學的常態。課堂上學生成為速記員和聽眾，被動接受知識，學習過程缺少反思，長此以往，會導致學生思維方式的僵化，學生的生物學學科素養就會低下。

令－2kx + k2+ mk=0，得故

最后我們討論該模型的最優捕獲策略.

3 最優捕獲策略

在實際問題中，我們想尋求一個最優捕獲強度E＊＊，從而得到一個最優平衡種群規模，使目標泛函取得最大值.這里，我們取λ(x，E，t)= PEx－aE，其中P 表示市場價格，a 表示成本價格，λ 表示單位時間內的純收益，δ 是貼現率.那么對種群的最優捕獲問題即轉化為如下的最優控制問題:

由最大值原理，作Hamilton 函數

其中，λ 為伴隨變量

由于H 關于變量E 是線性的，則其最優控制為bang－bang 奇異控制.根據Pontryagins 最大值原理有:

可得

由(12)式可得

由(14)式、(15)式可求出

將(16)式代入(17)式中，可得最優捕獲強度:

4 結論

從本文的研究結果可以看出，在廣義Logistic模型中引入Allee 效應更具有實際意義.其次，研究最優捕獲問題更利于資源的保護和利用.它比較接近現實應用.

［1］ 范猛，王克，周毅.具有臨界增長的生物種群的開發［J］.丹東師專學報，1999，78(4) ：3 －5.

［2］ 柴娟，雒志學.具有臨界增長的生物種群的捕獲優化［J］.重慶工學院學報，2008，22 (12) ：63 －66.

［3］ 魯紅英.一類自治單種群模型及其最優捕獲策略［J］.系統科學與數學，2010，30 (1) ：33 －42.

［4］ 黃林林，趙立純.基于Allee 效應的魚種群資源管理［J］.鞍山師范學院學報，2013，15(2) ：4 －7.

［5］ 王壽松.單種群生長的Logistic 模型［J］.生物數學學報，1990，5(1) ：21 －25.

［6］ 黃輝.廣義Logistic 模型的優化開發［J］.中山大學研究生學刊，1996，17(1) ：7 －14.

［7］ 夏鋒.含Allee 效應的廣義Logistic 模型之定量開發［J］.中山大學研究生學刊，1995，16(2) ：33 －42.

［8］ Ferdy J，Austerlitz F，Moret J，et al.Pollinator induced density dependence in deceptive［J］.Oikos.1999，87(7) ：549 －560.

［9］ Stoner A，Ray C M.Evidence for Allee effects in an over－harvested marine gastropod：density dependent mating and egg production［J］.Marine Ecology Progress Series，2000，202(3) ：297 －392.

［10］ Kuussaari M，Saccheri I，Hanski I.Allee effects and population dynamics in the glanrille fritillary butterfly［J］.Oikos，1998，82(17) ：384 －392.

［11］ 馬知恩.種群生態學的數學與研究［M］.合肥：安徽教育出版社，2000.