高速環(huán)道基于麥克康奈爾曲線和布勞斯曲線的比較性分析

摘要：曲線段，特別是緩和曲線段的設(shè)計(jì)是高速環(huán)道幾何線形設(shè)計(jì)的重點(diǎn)和難點(diǎn)。本文分別介紹了麥克康奈爾曲線和布勞斯曲線，并對這兩種曲線進(jìn)行對比性分析。

關(guān)鍵詞：麥克康奈爾曲線；布勞斯曲線；高速環(huán)道

中圖分類號：TG506.1文獻(xiàn)標(biāo)識碼：A

前言

高速試驗(yàn)道路是汽車試驗(yàn)場中的一個至關(guān)重要的道路設(shè)施，其最大試驗(yàn)車速要求高達(dá)160~300km/h。高速試驗(yàn)公路設(shè)計(jì)的關(guān)鍵是要保障在各種試驗(yàn)車速下都能獲取穩(wěn)定可靠的汽車試驗(yàn)數(shù)據(jù)。最理想的條件莫過于修一條足夠長的直線車道。然而，受制于場地限制，高速試驗(yàn)車道只能建造在有限的空間區(qū)域里面。因此，高速環(huán)道就這樣產(chǎn)生了。

高速環(huán)道是汽車試驗(yàn)場中專供汽車進(jìn)行連續(xù)高速行駛試驗(yàn)的閉合循環(huán)道路設(shè)施。從平面線形來看，高速環(huán)道一般由兩個平行的直線段和兩個三單元曲線段構(gòu)成。高速環(huán)道幾何線形設(shè)計(jì)中，曲線段，特別是緩和曲線段的設(shè)計(jì)是整個環(huán)道設(shè)計(jì)中的重點(diǎn)和難點(diǎn)。

高速環(huán)道設(shè)計(jì)中采用的緩和曲線先后主要有康納回旋線（Cornu Spiral）、麥克康奈爾（McConnell）曲線、布勞斯（Bloss）曲線3種類型。經(jīng)實(shí)踐驗(yàn)證，后兩種曲線類型是比較理想的，也得到了廣泛的應(yīng)用。

1957年，當(dāng)時(shí)作為美國福特（Ford）公司車輛試驗(yàn)部主任的麥克康奈爾（W.A.McConnell）先生設(shè)計(jì)出了新的高速環(huán)道幾何線形設(shè)計(jì)體系。這種體系是以人體對運(yùn)動的敏感度為準(zhǔn)則，體系非常成功，所以不光在美國，在歐洲、日本等國家也得到了應(yīng)用。1970年代以來，我國的一些道路專家和學(xué)者對該法也做了一些研究，并投入應(yīng)用，也取得了不錯的成果。

收稿日期：2013-12

作者簡介：李改（1989-），男，湖北黃岡人，在讀碩士研究生，從事道路與鐵道方面研究

而在之前的1936年，則是布勞斯（Bloss）提出的符合汽車行駛重心軌跡特性為目標(biāo)的緩和曲線形式——布勞斯曲線，但并沒有進(jìn)一步的分析。到了1983年，德國的皮特得到這一緩和曲線數(shù)學(xué)模型的解，并退出高速環(huán)道設(shè)計(jì)新方法。此后，德國OBERMEYER設(shè)計(jì)咨詢公司在此基礎(chǔ)上開發(fā)了一整套用于高速環(huán)道幾何線形設(shè)計(jì)及曲面施工成型控制的軟件，且與1990和1993年將其成功地運(yùn)用于奧迪公司的汽車試驗(yàn)場和戴姆勒-奔馳公司汽車試驗(yàn)場高速環(huán)道的設(shè)計(jì)和施工中。

本文將對麥克康奈爾曲線以及布勞斯曲線在高速環(huán)道設(shè)計(jì)中的應(yīng)用進(jìn)行探討，并對它們進(jìn)行分析比較。

麥克康奈爾曲線

為了對高速環(huán)道的幾何線形進(jìn)行安全性和舒適性評價(jià)，W.A.McConnell研究了車輛在彎道上行駛過程中的6個運(yùn)動自由度特性以及乘車者對6個自由度運(yùn)動的敏感度。可以將車輛在彎道上行駛時(shí)的運(yùn)動特性分解為6個運(yùn)動自由度特性并對其進(jìn)行分析。

車輛在行駛過程中，自由度特性必然會不斷地發(fā)生變化。在這個過程中，當(dāng)某個自由度特性值達(dá)到其極限值時(shí)，乘車者就會感覺到相應(yīng)的力的作用并產(chǎn)生生理上的不適。當(dāng)然，如果各個自由度特征值均沒有達(dá)到極限，乘車者就沒有不適之感。如果在保證行車速度符合試驗(yàn)要求，則環(huán)道的幾何線形設(shè)計(jì)在舒適性和安全性上都得到了滿足。通過大量試驗(yàn)，最終得到乘車者對6個運(yùn)動自由度特性的敏感度指標(biāo)，并以此作為高速環(huán)道幾何線形設(shè)計(jì)中的控制指標(biāo)，見表1。

表1 乘車者對6個運(yùn)動自由度特性的感覺閥限值

運(yùn)動自由度 運(yùn)動特性極限值

位移

速度

加速度 加速度變化率

平移 縱向 0.3 0.15

橫向 0.18 0.09

豎向 1.22 0.24

旋轉(zhuǎn) 偏向 5 2 1

側(cè)擺 1.1° 8 4 2

縱擺 1.9° 12 6 3

車輛在曲線段上沿著某一條行車線行駛時(shí)，一般受到三個力（自身重力、路面豎向反力和里面橫向摩阻力）的作用。通過調(diào)節(jié)車速，使輪胎所受的橫向摩阻力被平衡掉。除開視覺，乘車者猶如在直道上行駛，這就是所謂的平衡車速。一般對于高速環(huán)道而言，要求一條行車線上具有統(tǒng)一的平衡車速。可以通過力學(xué)平衡條件，得到曲線半徑r、路面橫坡i、路面橫向超高傾角與平衡車速v之間的關(guān)系如下：

（1）

高速環(huán)道需設(shè)置成多車道路面，以便在多個不同的車速條件下進(jìn)行行車試驗(yàn)，從而能保證每條車道分別對應(yīng)一個平衡車速。

研究表明，車輛在緩和曲線段行駛時(shí)，其側(cè)擺運(yùn)動以及變化對乘車者的舒適性有很大影響。因此，為了滿足舒適性要求，必須將側(cè)擺運(yùn)動的特性值控制在極限范圍以內(nèi)。W.A.McConnell提出：以側(cè)擺運(yùn)動的特性值（位移、速度、加速度、加速度變化率J）作為控制指標(biāo)，并以其中的側(cè)擺運(yùn)動加速度變化率作為控制參數(shù)，使得在整個緩和曲線范圍內(nèi)J的絕對值保持為最小且不超過表1中的極限值，并構(gòu)建出如圖1所示關(guān)系模型。

圖1 McConnell緩和曲線側(cè)擺運(yùn)動特征值關(guān)系模型圖

布勞斯曲線

我們知道，當(dāng)緩和曲線類型選用回旋線時(shí)，其平曲線的曲率與弧長成正比（k=l/r= ）。由此說明，如圖2所示，在緩和曲線的起終點(diǎn)處，雖然曲率是連續(xù)的，但是其曲率變化率是不連續(xù)的，這也是回旋線的一大缺陷。相比如此，布勞斯曲線則是以滿足車輛重心軌跡的特征為目標(biāo)的一種新的過渡曲線形式，有其獨(dú)特之處。

圖2回旋線曲率圖

車輛行駛重心軌跡的3個主要特征要求包括車輛行駛重心軌跡連續(xù)且光滑、重心行駛軌跡曲率連續(xù)以及重心行駛軌跡曲率變化率連續(xù)率這三個方面，為了獲得滿足這三方面條件的最簡單的曲線形式，先假定曲率k為弧長l的二次多項(xiàng)式，即

（2）

其中，a、b、c為待定系數(shù)。

k對求導(dǎo)，有

（3）

由于在緩和曲線起點(diǎn)處曲率應(yīng)連續(xù)（當(dāng) =0時(shí)，k=0），所以有a=0。

又根據(jù)緩和曲線起點(diǎn)處曲率變化率應(yīng)連續(xù)的條件（當(dāng)=0時(shí)，=0），有b=0，即有k=c。

由于在緩和曲線終點(diǎn)處曲率也應(yīng)連續(xù)（即當(dāng)l=S時(shí)，k=1/R），所以

（4）

但當(dāng) =s時(shí)， 。

由上述得出在緩和曲線段終點(diǎn)處的曲率變化率是不連續(xù)的，所以還是不符合車輛行駛軌跡特性的相關(guān)要求，即原假設(shè)（1）不成立。

為此，布勞斯進(jìn)一步假設(shè)

（5）

與前同理可得

（6）

對求一階導(dǎo)數(shù)，有

（7）

令=0，可得兩個可能的曲率極值點(diǎn)分別為=0和

對求二階導(dǎo)數(shù)，有

（8）

為判斷=0和是否為極值點(diǎn)及其極值為極大極小，將其分別代入上式有

(9)

(10)

假定c>0時(shí)，則在=0處， 。

由此可以判定：曲率k在=0處取得極小值。

同理，可以判定：曲率k 在取得極大值。

又根據(jù)曲率k 的物理意義，在緩圓點(diǎn)即處，R為最小，k為最大，同時(shí)，可知：必為曲率k 的極大值點(diǎn)，故此有

(11)

利用緩和曲線曲率的邊界條件時(shí)，有

（12）

因此，可得待定系數(shù)c和d如下

（13）

由此可得滿足車輛行駛軌跡特性的布勞斯曲線為

（14）

式中，k 為緩和曲線上任意一點(diǎn)的曲率，r 為緩和曲線上任意一點(diǎn)的平曲線半徑，R為圓曲線半徑，為計(jì)算點(diǎn)至緩和曲線起點(diǎn)的距離（弧長），S為緩和曲線的總長度。

顯然，按上式，布勞斯曲線起點(diǎn)處的曲率k=0；布勞斯曲線終點(diǎn)處的曲率；且布勞斯曲線在起點(diǎn)=0和終點(diǎn)處有極值，這與車輛行駛重心軌跡特性及物理特性完全吻合，符合設(shè)計(jì)意圖。

二者的比較

麥克康奈爾曲線和布勞斯曲線分別以對人體運(yùn)動的敏感度和汽車的行駛軌跡展開研究，均具有其優(yōu)越性和合理性。但是，在目前看來，它們各自在某些方面有些不足，有待改善。

McConnell曲線不夠精確，它只是通過支距法得到各樁號點(diǎn)的平面坐標(biāo)和偏角，而不是像布勞斯曲線那樣通過微積分推導(dǎo)出緩和曲線上任意點(diǎn)的坐標(biāo)計(jì)算公式，這必然會導(dǎo)致誤差。同時(shí)，由于設(shè)計(jì)精度不夠，也會導(dǎo)致施工監(jiān)測上的不便。當(dāng)然，麥克康奈爾曲線可以通過調(diào)整步距控制誤差遠(yuǎn)低于施工誤差的水平，以期達(dá)到設(shè)計(jì)精度的要求，但無法形成理論將成為阻礙其后續(xù)發(fā)展的一大瓶頸。如果能在后續(xù)的科研中解決這一問題，McConnell曲線將會得到更大的發(fā)展前景。

而對于布勞斯曲線而言，盡管它曾成功地在德國等國家的高速試驗(yàn)場投入應(yīng)用，但其本身還存在一些不足和有待改善的地方。首先，作為一種純數(shù)學(xué)型的緩和曲線形式，在幾何設(shè)計(jì)方法中技術(shù)參數(shù)的選擇對高速環(huán)道行駛舒適性的影響并未作為考慮的對象，具有一定過得盲目性。其次，布勞斯設(shè)計(jì)方法并未深入分析、研究高速環(huán)道中的彎道部分。高速環(huán)道本身應(yīng)看做為一個三維空間實(shí)體，我們應(yīng)將其平縱橫斷面設(shè)計(jì)應(yīng)該視作一個相互結(jié)合的有機(jī)整體，在今后的工作中，這也是布勞斯曲線著重突破的地方。

結(jié)語

本文主要講解了麥克康奈爾曲線和布勞斯曲線的原理以及對它們的比較。盡管對于它們來說，它們還有不足之處。但不可否認(rèn)的是，它們?nèi)允悄壳肮J(rèn)的最好的曲線線形。而我們當(dāng)前面臨的任務(wù)就是如何深入去優(yōu)化這兩種線形。也希望通過兩種曲線的對比，使它們更加完美。

近幾十年來，我國的海南、安徽、吉林長春等地先后簡歷了汽車試驗(yàn)場并投入使用，它們杜宇我國汽車工業(yè)工程技術(shù)自主研發(fā)能力的提高起到了有力的推動作用；隨著我國汽車產(chǎn)業(yè)的發(fā)展，還會出現(xiàn)更多的汽車試驗(yàn)場。高速環(huán)道是汽車試驗(yàn)場中一個至關(guān)重要的道路設(shè)施，其道路幾何線形設(shè)計(jì)時(shí)影響汽車試驗(yàn)有效性的關(guān)鍵因素之一。通過本文也可以知道，高速環(huán)道曲線段、特別是緩和曲線段的幾何設(shè)計(jì)中還存在不少技術(shù)難點(diǎn)，這都應(yīng)引起相關(guān)技術(shù)人員的關(guān)注。

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