消除拓撲優化中棋盤格式現象的方法評述

楊凱 高東東 周國棟

摘 要：棋盤格現象是結構拓撲優化中的普遍現象。本文介紹了連續體結構拓撲優化中的棋盤格式現象及其產生的原因，通過對棋盤格式現象認識的深入人們對解決這一問題的提出了各種方法，本文對其中一些代表性方法進行了分析比較。

關鍵詞：棋盤格，拓撲優化，連續體

中圖分類號： N945.15文獻標識碼： A

引言

結構拓撲優化主要指在特定設計區域內，滿足給定約束條件，尋求目標函數最小（或最大）的最優的材料分布形式，以此確定結構中空洞的位置、數量及連接形式[1]。根據處理對象不同主要分為兩類，一類是離散體結構拓撲優化，另一類是連續體結構拓撲優化。

棋盤格式是連續體結構拓撲優化中常見的一種現象。本文對棋盤格式出現的原因進行了分析，并對目前解決這一問題的幾種常用方法進行了分析比較，通過對方法理論的對比篩選出更方便實用的棋盤格抑制方法。

一、棋盤格式現象簡介

在對連續體進行拓撲優化時，我們總希望能獲得一個邊界清晰、光滑的優化結果，但在實際的優化過程中總會出現棋盤格式現象。所謂棋盤格式，是指結構優化過程中單元材質密度周期性高低分布的一種現象。

二、對棋盤格現象認知的發展

在拓撲優化過程中，無論采用何種參數作為優化設計變量，也無論采用何種優化設計方法，都會出現棋盤格式。在早期結構拓撲優化研究中，有些學者誤認為這是一種較為理想的結果。但從制造角度來說，不但加工困難，成本太高，同時不適合應用的實際，也不符合材料的最優分布原則。不是設計者希望得到的結果。歸根結底，棋盤格式是拓撲優化數值計算中的一種不穩定現象。流體力學中的Strokes 流問題與其類似，表現為流體壓力正負相間分布，而非光滑連續分布。利用有限元方法求解混合變分問題時也有類似的現象[2]，在這類問題中棋盤格式的形成是由于違背了所謂的Babuska-Brezzi 條件。

Jog[3]從理論上詳細闡述了結構剛性拓撲優化設計時棋盤格式出現的原因，他認為拓撲優化是密度變量r 和位移變量u 的混合變分問題，并證明當r 和u 采用特定組合時可避免棋盤格式的出現。Diaz 和Sigmund[4]指出，拓撲優化時一般采用有限元方法對設計區域進行離散化，正是由于有限元方法引入的數值逼近，從而使棋盤格式排列的材料比其他的排列形式具有更高的“虛擬”剛度，是應變能的穩態極值，并通過對棋盤格的剛度和均勻分布材料的剛度進行對比，給出了數值上的證明。

Sigmund 和Petersson[5]對拓撲優化中出現的各種數值不穩定現象，包括棋盤格式、網格依賴型和局部極值，進行了較為詳細的闡述，并對各種解決方法進行了對比。

三、解決棋盤格式現象的方法及比較

近年來，很多學者都致力于棋盤格式問題的解決，提出了一些切實有效的避免棋盤格式的求解策略，大致可分為三類：第一類是后處理方法，采用后處理技術將棋盤格式過濾掉。第二類方法是采用較為穩定的有限元模型。第三類方法是改變優化目標函數的泛函以使優化過程趨于穩定。

解決棋盤格式最簡單的方法是采用高階有限單元代替低階有限單元，增加單元自由度，如采用8 節點或9 節點單元代替4 節點單元，Diaz和Jog[3,4]的研究表明，對于均勻化方法，這種方法可在很大程度上避免棋盤格式的出現，而對于SIMP(Solid Isotropic Material with Penalization)方法，只有當懲罰因子足夠小時，采用高階單元才可以避免棋盤格式，但同時也使計算量急劇增加。

為節約計算時間，Kikuchi 等提出用4 個相鄰的單元組成一個“超參元”，并且規定這4 個單元可采取的組合方式，通過排除可能出現棋盤格式的組合來避免棋盤格式的出現，但這種方法并不能徹底消除棋盤格式。

Haber[6]提出的周長約束法通過限制結構的周長來抑制棋盤格式的出現，其周長為結構內外邊界的長度和，但周長的約束值事先難以確定，只能通過試驗方法得到，給實際應用帶來困難。

Petersson[7]等提出局部梯度約束方法，通過引入局部密度變分的梯度約束，使相鄰單元的密度變化相對平緩，從而抑制棋盤格式的出現。

Sigmund[8]提出了基于圖像處理技術的“濾波”法，通過調整算法每次循環迭代中的設計敏度可以有效地避免棋盤格式的出現，這種方法還可以同時解決網格依賴性問題。

四、結語

棋盤格式是連續體結構拓撲優化中常見的一種現象。對于棋盤格產生的原因，目前尚沒有本質上的定論。在拓撲優化中，棋盤格式的出現與所采用的材質設計變量無關，即不論是采用均勻化設計方法還是采用密度法，均會出現棋盤格式。

上述這些方法都能不同程度的解決棋盤格現象，但是不能完全解決，而是在某些程度上減弱了棋盤格現象。拓撲優化方法中漸進結構優化方法相對其它方法，應用概念更簡單，可以直接以重量為優化目標，算法通用性好，優化效率高。但棋盤格現象確實該方法在實際工程應用中的一個重點難點，對于解決棋盤格現象的方法研究是今后拓撲優化領域的研究重點。

參考文獻

[1] Bendsoe M P, Kikuchi N. Generating optimal topologies in optimal design using a homogenization method[J]. Comp Meth Appl Mech Engng 1988,71:197-224.

[2] Brezzi F, Fortin M. Mixed and hybrid finite element methods[M]. Berlin, Heidelberg, New York: Springer, 1991.

[3] Jog C S, Harber R B. Stability of finite element models for distributed-parameter optimization and topology design[J]. Comp Meth Appl Mech Engrg, 1996,130:203-226

[4] Diaz A R, Sigmund O. Checkerboard patterns in layout optimization[J]. Struct Optim, 1995,10:40-45

[5] Sigmund O, Petersson J. Numerical instabilities in topology optimization: A survey on procedures dealing with checkerboads, mesh-dependencies and local minima[J]. Struct Optim, 1998,16:68-75

[6] Haber R B, Jog C S, Bendsoe M P. A new approach to variable topology, shape design using a constraint on perimeter[J]. Struct Optim, 1996,11:1～12

[7] Petersson J, Sigmund O. Slope constrained topology optimization[J]. Int J Numer Meth Engng, 1998,41:1417-1434

[8] Sigmund O. On the design of compliant mechanisms using topology optimization[J]. Mech Struct Mach, 1997, 25: 495～526.