低沖量質(zhì)量塊沖擊下固支泡沫夾芯梁的動(dòng)力響應(yīng)

姜文征，劉穎

(北京交通大學(xué) 土木建筑工程學(xué)院 力學(xué)系，北京100044)

0 引言

由于良好的能量吸收能力，泡沫材料及結(jié)構(gòu)被廣泛應(yīng)用于航空航天飛行器、高速軌道車輛、汽車、艦船等重要設(shè)施的能量吸收結(jié)構(gòu)的設(shè)計(jì)中。作為一種典型的夾芯結(jié)構(gòu)，如何預(yù)測(cè)三明治梁在不同工況下的動(dòng)力響應(yīng)是當(dāng)今泡沫材料及其結(jié)構(gòu)設(shè)計(jì)的的前沿課題之一。

Fleck 等［1］將三明治梁的結(jié)構(gòu)響應(yīng)分為3 個(gè)階段，即流固耦合相互作用階段、芯材壓縮階段以及梁的彎曲和拉伸階段，建立了爆炸載荷作用下三明治梁的動(dòng)力響應(yīng)理論框架。同期，Xue 等［2］通過(guò)三維有限元模擬，比較在爆炸載荷作用下，相同質(zhì)量的單梁和三明治梁的動(dòng)力響應(yīng)，發(fā)現(xiàn)三明治梁的承載能力高于等質(zhì)量的單梁;Rabczwk 等［3］和Liang 等［4］通過(guò)模擬發(fā)現(xiàn)，在爆炸載荷作用下，F(xiàn)leck 等［1］的模型可能高估或低估三明治梁中點(diǎn)的撓度值。這可能和面板及芯材間的耦合作用機(jī)制有關(guān)。為了說(shuō)明和Rabczwk 等［3］計(jì)算結(jié)果的差別，Deshpande 等［5］討論了流固耦合相互作用階段以及芯材壓縮階段三明治梁的耦合響應(yīng)。他們的分析結(jié)果表明，對(duì)于高強(qiáng)度芯材的三明治梁，使用Taylor［6］分析方法，透射動(dòng)量可能被低估20% ～40%. 這解釋了Rabczwk 等［3］的計(jì)算結(jié)果和Deshpande 等［5］模型之間的差別。為了說(shuō)明和Liang 等［4］計(jì)算結(jié)果的差別，Tilbrook 等［7］建立了基于響應(yīng)時(shí)間尺度以及三明治梁拉伸/彎曲變形的分析模型。他們的模型中定義了4 種變形過(guò)程:三明治芯材部分或全部致密化解耦響應(yīng);三明治芯材部分或完全致密化的耦合響應(yīng)。但是在他們的模型中有一個(gè)重要的假設(shè)，即在前后面板速度達(dá)到一致前忽略芯材剪切強(qiáng)度。因此在前后面板達(dá)到一致前，三明治梁被簡(jiǎn)化為一個(gè)壓力空腔。很明顯，這與實(shí)際的泡沫夾芯結(jié)構(gòu)的變形機(jī)制是不同的。隨后，Qin 等［8-9］和Wang 等［10］做了一系列的理論和實(shí)驗(yàn)研究工作。但是他們的工作都是從整體上對(duì)梁進(jìn)行分析，沒有考慮梁與芯材的耦合作用。

基于以上討論，為了更加合理地計(jì)及芯材在三明治梁變形過(guò)程中的作用，本文在Tilbrook 等［7］的三明治梁模型基礎(chǔ)上，提出一個(gè)改進(jìn)的三明治梁模型。在三明治梁變形的第一及第二階段考慮了泡沫芯材的彎曲作用。基于此模型，研究了低沖量質(zhì)量塊沖擊泡沫固支夾心梁的動(dòng)態(tài)響應(yīng)特性，并與已知實(shí)驗(yàn)和數(shù)值算例進(jìn)行了對(duì)比，發(fā)現(xiàn)當(dāng)芯材發(fā)生整體彎曲變形時(shí)，改進(jìn)模型能夠更準(zhǔn)確地預(yù)測(cè)梁的變形。

1 質(zhì)量塊沖擊三明治梁分析模型

如圖1(a)所示，長(zhǎng)2L 的兩端固支三明治梁在跨中點(diǎn)處受到以初速v0運(yùn)動(dòng)的質(zhì)量塊m0撞擊。三明治梁由厚度分別為hf和hb的面板以及厚度為C的芯材組成。在分析過(guò)程中，假設(shè)面板滿足理想剛塑性模型，屈服強(qiáng)度為σy. 梁只在初始軸線方向發(fā)生橫向位移。考慮小變形情況，即假設(shè)中點(diǎn)撓度w與梁的長(zhǎng)度相比為小值。因?yàn)槭切_量質(zhì)量塊沖擊，因此假設(shè)芯材在沖擊過(guò)程中發(fā)生均勻變形，并滿足圖2 所示的應(yīng)力-應(yīng)變曲線。基于以上假設(shè)，三明治梁可簡(jiǎn)化為圖1(b)所示模型。泡沫芯材被簡(jiǎn)化為完全剛塑性彈簧，剛塑性彈簧的響應(yīng)滿足圖2所示的應(yīng)力-應(yīng)變曲線(平臺(tái)——虛線)。彈簧連接上梁和下梁，計(jì)算時(shí)，上梁和下梁采用剛塑性模型。考慮泡沫芯材的質(zhì)量，采用集中質(zhì)量近似原則，上梁和下梁每單位長(zhǎng)度質(zhì)量分別為

式中:hf、hb和C 分別表示上、下梁及芯材的厚度;ρf、ρb和ρc分別表示上、下梁及芯材的密度;b 為梁的寬度。

圖1 固支三明治梁受以初始速度v0和質(zhì)量m0的質(zhì)量塊沖擊Fig.1 A sandwich beam impacted by a mass

圖2 典型泡沫芯材的應(yīng)力-應(yīng)變曲線Fig.2 Typical dynamic stress-strain curves of foam

因?yàn)樵诘谝缓偷诙A段變形過(guò)程中，芯材除了產(chǎn)生對(duì)上梁和下梁的壓力外，還會(huì)影響梁的整體彎曲性能。同樣，把芯材的彎矩平均分配到上梁和下梁以計(jì)及芯材的彎曲變形，即

式中:Mf、Mb和MC分別表示上梁和下梁以及芯材的彎矩，

式中:σyC表示泡沫材料的屈服強(qiáng)度;εm= |wf+wb|/C表示中點(diǎn)的壓縮應(yīng)變;wf和wb分別表示上梁和下梁的中點(diǎn)撓度。

基于Jones［11］，設(shè)γ=σp/σbs，其中σp為芯材對(duì)梁的橫向壓力，σbs=4Mb0/L2為簡(jiǎn)化模型下梁的靜態(tài)極限壓力，將芯材分為中等強(qiáng)度芯材(1≤γ≤3)和低強(qiáng)度芯材(γ ＜1). 本文主要討論中等強(qiáng)度芯材三明治梁的變形過(guò)程。

梁的跨中點(diǎn)在沖擊瞬時(shí)以初速v0運(yùn)動(dòng)，而梁的其余部分則處于靜止。為了保持動(dòng)平衡，一個(gè)擾動(dòng)從跨中點(diǎn)向固定端傳播。假定撞擊物始終保持與梁相接觸。整個(gè)過(guò)程可以分為3 個(gè)不同的運(yùn)動(dòng)相。運(yùn)動(dòng)第一相:一個(gè)塑性鉸在t =0 時(shí)在撞擊點(diǎn)產(chǎn)生，并分別從跨中點(diǎn)向兩個(gè)固定端傳播。當(dāng)塑性鉸傳播到固定端時(shí)，第一相結(jié)束。如果芯材達(dá)到致密化，直接進(jìn)入第三相;運(yùn)動(dòng)第二相:當(dāng)上梁的速度比下梁速度大時(shí)，上梁繼續(xù)減速，而下梁繼續(xù)加速，直到達(dá)到共同速度，或芯材達(dá)到致密化，第二相終止;運(yùn)動(dòng)第三相:三明治梁發(fā)生整體變形，以共同速度減速，直至梁和撞擊物靜止為止。剩余動(dòng)能全部耗散于位于兩個(gè)固定端和中點(diǎn)的駐定塑性鉸中。

1.1 運(yùn)動(dòng)第一相

由于對(duì)稱性，取梁的右半跨0 ≤x ≤L. 如圖3(a)，建立坐標(biāo)系，x 沿長(zhǎng)度方向，從跨中點(diǎn)開始。橫向速度場(chǎng)可以表示為

式中:w 為撓度值;ξ 為時(shí)間相關(guān)的移動(dòng)塑性鉸的位置。由于在塑性鉸處(x = ±ξ)，彎矩最大，橫向剪力Q=0，考慮梁兩動(dòng)鉸中間部分在豎直方向的平衡得

式中:q(x)=σp是芯材作用在上梁上產(chǎn)生的壓力，如圖2 所示。在發(fā)生致密化前壓力值保持恒定。

把(4)式代入(5)式整理得

考慮梁在x=0 和x=ξ 處塑性鉸之間部分的力矩平衡，以及邊界條件，即在x =0 時(shí)，Mf1=Mf0;在x=ξ時(shí)，Mf1= -Mf0，Q=0 可得

式中:Mf0為上梁截面的極限彎矩。

將(4)式代入(7)式得

圖3 運(yùn)動(dòng)第一、第二相時(shí)上梁的橫向速度場(chǎng)和受力圖Fig.3 Velocity field and a free body of left half front beam in Phase Ⅰ，Ⅱ

積分(8)式并考慮初始條件t =0，ξ =0，可得移動(dòng)塑性鉸的傳播時(shí)間

由(6)式得

把(11)式代入(9)式整理得

將上式對(duì)時(shí)間求導(dǎo)，可得移動(dòng)塑性鉸的速度

結(jié)合相應(yīng)的初值條件，使用數(shù)值方法(龍格庫(kù)塔方法)對(duì)(13)式進(jìn)行積分，可求得ξ. 將ξ 代入(11)式，積分后可以得到上梁在運(yùn)動(dòng)第一相中的撓度。

當(dāng)σpξ2/4 高于下梁的極限彎距時(shí)，下梁也開始變形。如圖4(a)所示，假設(shè)下梁的橫向速度場(chǎng)為

圖4 運(yùn)動(dòng)第一、第二相時(shí)下梁的橫向速度場(chǎng)和受力圖Fig.4 Velocity field and a free body of left half back beam in Phase Ⅰ，Ⅱ

下梁的控制方程為

式中:Mb1為下梁的彎矩。

將(14)式代入(15)式得

對(duì)(16)式進(jìn)行積分，由初始條件x =0 時(shí)，Q =?Mb1/?x=0 和Mb1=Mb0，可得

式中:Mb0是下梁的極限彎矩。

因?yàn)樵趚 =ξ 時(shí)，Mb1= -Mb0，根據(jù)(17)式整理得

由(18)式可知，當(dāng)滿足3σpξ2/2 -6Mb0＞0 時(shí)，下梁才開始運(yùn)動(dòng)。由初始條件t =0 時(shí)，Wb1==0，(18)式積分得

1.2 運(yùn)動(dòng)第二相

在運(yùn)動(dòng)的第二及第三相，塑性鉸固定在支撐端和撞擊處，直到整體靜止，最終能量全部轉(zhuǎn)化為塑性能。假設(shè)在第二相時(shí)，上梁的速度場(chǎng)分布為

梁的控制方程為

積分(21)式并考慮在x =0 時(shí)Mf2=Mf0，Q =/2，以及在x=L 時(shí)，Mf2= -Mf0可得

考慮在x=L 時(shí)，Mf2= -Mf0，可得

積分(24)式可得上梁中點(diǎn)處速度

假設(shè)下梁的速度分布如圖4(c)所示，和上梁速度和加速度推導(dǎo)過(guò)程相似，可得下梁中點(diǎn)處的速度和加速度分別為

當(dāng)芯材達(dá)到致密化，即|wf+wb|/C ＞εD或上、下梁的速度一致時(shí)，第二相結(jié)束。

1.3 運(yùn)動(dòng)第三相

式中:Mfb=Mf0+Mb0.

2 計(jì)算結(jié)果與討論

為了驗(yàn)證本文提出的改進(jìn)模型的可靠性，本文參考Wang 等［10］的實(shí)驗(yàn)結(jié)果，進(jìn)行了對(duì)比分析。取三明治梁的長(zhǎng)度2L=250 mm;梁的寬度b =40 mm;上﹑下面板厚度分別為hf=hb=0.5 mm;芯材厚度C=10 mm;撞擊質(zhì)量m0=0.012 5 kg，質(zhì)量塊幾何尺寸與實(shí)驗(yàn)尺寸相同。

三明治梁上﹑下面板為鋁合金，材料參數(shù)為:楊氏模量E=72.4 GPa，剪切模量G =28 GPa，泊松比μ =0.33，密度ρ=2 700 kg/m3，屈服應(yīng)力σy=75.8 MPa. 芯材的主要材料參數(shù)為:楊氏模量E =1.0 GPa，泊松比μ =0.30，密度ρ = 270 kg/m3，屈服應(yīng)力σy=2 MPa，εD=0.7.

計(jì)算中對(duì)各參數(shù)進(jìn)行了無(wú)量綱化，其中三明治梁幾何參數(shù)無(wú)量綱量分別為

沖量無(wú)量綱表示為

其他無(wú)量綱形式為

如圖5 所示，在小沖量質(zhì)量作用下，當(dāng)三明治梁芯材發(fā)生整體彎曲變形時(shí)，本模型的預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)結(jié)果基本吻合。隨著沖擊沖量增加，芯材發(fā)生剪切或破壞時(shí)，本模型預(yù)測(cè)結(jié)果與實(shí)驗(yàn)相差較大，這是因?yàn)楸灸Ｐ褪腔谛∽冃卫碚摚瑳]有考慮膜力的影響。

圖5 模型計(jì)算與已知實(shí)驗(yàn)結(jié)果對(duì)比Fig.5 Comparison of analytical predictions and experimental results

另外，本文基于動(dòng)力有限元軟件LS-DYNA 對(duì)沖擊塊質(zhì)量為m0=0.012 5 kg，沖擊速度為40 m/s 的情況進(jìn)行了對(duì)比計(jì)算。計(jì)算中選用單元Solid164，面板與芯材完全粘接。面板與芯材分別劃分為4 050和10 125 個(gè)單元，并優(yōu)化了撞擊處和固定端的網(wǎng)格分布。面板選用各向同性隨動(dòng)強(qiáng)化材料模型，芯材泡沫選用可壓扁泡沫模型來(lái)近似描述真實(shí)泡沫的性質(zhì)。質(zhì)量塊與夾芯梁之間相互作用，通過(guò)DYNA 程序的接觸算法實(shí)現(xiàn)，這里定義接觸類型為面/面自由接觸。

圖6(a)和圖6(b)分別給出了本文的模型、有限元計(jì)算結(jié)果以及文獻(xiàn)［7］模型的預(yù)測(cè)結(jié)果對(duì)比。如圖6(a)所示，本文模型的預(yù)測(cè)結(jié)果表明在第一相時(shí)芯材已發(fā)生致密化，此后變形進(jìn)入第三相，即兩面板和芯材以共同速度整體運(yùn)動(dòng)，直至速度為0. 本模型的計(jì)算結(jié)果和有限元計(jì)算結(jié)果基本吻合。有限元的計(jì)算結(jié)果并沒有明顯的芯材致密化進(jìn)而轉(zhuǎn)入整體變形的過(guò)程，這是因?yàn)樵谟邢拊?jì)算中，只有梁中點(diǎn)處芯材發(fā)生致密化，而其他部分并沒有致密化。如圖6(a)所示，由于文獻(xiàn)［7］模型在第一和第二相時(shí)把三明治梁近似處理成壓力空腔，忽略了芯材的彎曲作用，因此下面板的速度偏高，上下面板在較高的速度達(dá)到共同速度，與有限元計(jì)算結(jié)果偏差較大。如圖6(b)所示，其預(yù)測(cè)的梁的變形偏大。而本文改進(jìn)的模型和有限元計(jì)算結(jié)果基本吻合。另外，圖6(a)和圖6(b)的有限元模擬結(jié)果顯示下面板與上面板相比延時(shí)啟動(dòng)。本文提出的計(jì)算模型可以反映這種延時(shí)，而且二者比較吻合。

圖6 計(jì)算模型與有限元及文獻(xiàn)［7］模型關(guān)于上下面板中點(diǎn)速度和撓度的對(duì)比Fig.6 Comparison of analytical predictions of models in the present paper and Ref.［7］with respect to the data given by FE simulations for normalized mid-span velocity and deflection of front and back face-sheets

3 結(jié)論

本文基于小變形理論，并考慮三明治梁芯材在變形過(guò)程中的作用，提出了改進(jìn)的三明治梁剛塑性模型，并對(duì)低沖量質(zhì)量塊作用下固支三明治梁的動(dòng)力響應(yīng)進(jìn)行了討論。與實(shí)驗(yàn)以及已有模型對(duì)比計(jì)算表明，在三明治梁芯材發(fā)生整體彎曲變形時(shí)，相較于文獻(xiàn)［7］三明治梁模型，由于改進(jìn)的模型在三明治梁整體變形前考慮了芯材的彎曲變形，可以更好地預(yù)測(cè)三明治梁的動(dòng)力響應(yīng)過(guò)程。同時(shí)，計(jì)算結(jié)果表明，當(dāng)芯材發(fā)生剪切和破壞時(shí)，本文的模型不能很好地預(yù)測(cè)實(shí)驗(yàn)結(jié)果，這是因?yàn)楸灸Ｐ突谛∽冃渭僭O(shè)。由于文章篇幅的限制，基于大變形的三明治梁模型這里不再討論。

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