小波分析對于GPS 觀測數據優化的理論及應用

張 健 朱沁美

（浙江建材測繪院，浙江 杭州310022）

1 多尺度分析

尺度是空間數據的重要特征，指數據表達的空間范圍的相對大小和時間的相對長短，不同尺度所表達的信息密度有很大的差異。一般而言，尺度變大信息密度變小，但并不是等比例變化。 地球系統是由各種不同級別的子系統組成的復雜巨系統，各種規模的系統都有尺度概念，作為描述各種尺度中地理特征的空間數據自然也有尺度特征。多尺度分析又稱多分辨率分析，是指隨著尺度由大到小的變化， 對信號可由粗到精的觀察。 GPS 動態監測數據是涉及多種因素相互作用的復雜系統，這些復雜系統最本質的特征是以多尺度性為核心。小波分析是一種多尺度的信號分析工具， 低頻部分具有較高的頻率分辨率和較低的時間分辨率，而在高頻部分則具有較低的頻率分辨率和較高的時間分辨率。

空間數據的多尺度可以從兩方面說明。

(1)空間多尺度

空間數據以其表達的空間范圍大小，分為不同的層次，即不同的尺度。這種特征表現在數據的可綜合上，亦即根據數據內容表達的規律性、相關性及其自身規則，有相同的數據源形成再現不同尺度規律的數據。

(2)時間多尺度

時間多尺度指數據表示的時間周期及數據形成周期有不同的長短。從一定意義上講，時間尺度與空間尺度是一致的，即較大的空間尺度往往對應于較長的時間周期。

2 小波變換的概述及基本原理

2.1 小波變換概述

小波分析是當前應用數學和工程學科中一個迅速發展的新領域，經過近10 年的探索研究，重要的數學形式化體系已經建立，理論基礎更加扎實。 與Fourier 變換相比，小波變換是空間(時間)和頻率的局部變換，因而能有效地從信號中提取信息。 通過伸縮和平移等運算功能可對函數或信號進行多尺度的細化分析， 解決了Fourier 變換不能解決的許多困難問題。 小波變換聯系了應用數學、物理學、計算機科學、信號與信息處理、圖像處理、地震勘探等多個學科。 數學家認為，小波分析是一個新的數學分支，它是泛函分析、Fourier 分析、樣調分析、數值分析的完美結晶；信號和信息處理專家認為，小波分析是時間—尺度分析和多分辨分析的一種新技術，它在信號分析、語音合成、圖像識別、計算機視覺、數據壓縮、地震勘探、大氣與海洋波分析等方面的研究都取得了有科學意義和應用價值的成果。

2.2 小波變換的基本原理

小波變換將時域的一維信號變換為時間2 尺度 (時間2 頻率) 的二維空間，具有多分辨率的特點，而且在時域、頻率都具有表征信號局部特征的能力，一些在原時間域上因混疊而不易觀察的信號特征，能夠在頻率域的某個尺度上進行分離，并且得到顯著地體現，達到獲取有效信號的目的。 小波變換的思想是用一簇函數去表示或逼近一信號或函數，這一族函數稱為小波函數系，由一基本小波函數(母小波) 通過平移和伸縮構成。 由函數 h 經伸縮和平移得一簇函數：hab（x）=a1/2/h［（x-b）/a］a，b∈R；a≠0 式中，a 為伸縮因子，b 為平移因子。 可根據 h 函數和參數 a、b 的選取來進行連續和離散小波變換。 則小波分析基底的定義為：

ψa，b（t）=|a|-1/2ψ（t-b/a）式中，a，b∈R；a≠0。

對于任意函數或信號 f（t）∈L2（R），L2（R）為平方可積的實數空間，其小波變換為該函數與小波函數的內積為：

相應的，實值函數f（t）的小波變換為：

在小波變換去噪中，變形信號表現為低頻信號或是一些比較平穩的信號，而噪聲信號則主要集中在小波分解的高頻層。因此，需要選擇合理的閾值去掉噪聲信號， 利用保留下來的小波分解系數進行重構，就能得到有效的變形信號，繼而獲得變形體的變形信息。

3 小波分析的應用

小波變換不但能夠對原始數據進行有用信號和噪聲的分離，而且能夠有效地剔除信號中的噪聲部分， 對原始信號很好地進行重構，從而較大程度地減少誤差對數據的影響。小波去噪依據觀測序列中有用信號和噪聲時頻特性的不同， 實現了對監測數據中噪聲的有效分離，從而很大程度上減小誤差的影響，獲得變形的真實信息。因此，小波去噪在GPS 動態監測數據處理中是可靠的。 但小波變換的本質是窗口可調的傅里葉變換，本身也具有一定的局限性，這些都將是以后進一步要研究的內容。