漸開線圓柱斜齒輪的齒廓方程推導

關欣 關德穎

1遼寧廣播電視大學 （沈陽 110034） 2朝陽工程技術學校 （朝陽 122000）

漸開線斜齒輪的齒廓曲線方程、端法面參數關系、幾何尺寸關系以及正確嚙合條件共同構成漸開線斜齒輪的數學模型?；谠摂祵W模型，可以在各CAD軟件中建立精確的漸開線圓柱斜齒輪三維模型，并可以驗證其他模型的精確性。

1 齒廓曲線方程

漸開線圓柱斜齒輪的齒廓曲面為螺旋漸開面。螺旋漸開面的生成機理是：平面沿一圓柱（稱為基圓柱，半徑為rb）面滾動，則S上的一條與該圓柱軸線呈βb角的直線KK在運動過程中就形成了螺旋漸開面（圖1）。

圖1 螺旋漸開面生成機理

在半徑大于基圓柱的任何圓柱面上，此曲面的截線為螺旋線。螺旋漸開面被不同半徑的圓柱面所截得的螺旋線有不同的螺旋角，滿足：

其中βb稱為基圓螺旋角，下標K表示基圓柱外任意圓柱面。

斜齒輪的齒廓曲面就是螺旋漸開面被齒頂圓柱面、齒根圓柱面所截的部分。

如圖2所示，斜齒輪的端面齒形由以下兩個部分組成：a-b段為漸開線齒廓，由刀具的直線部分范成得到；b-c段為齒根過渡曲線，由刀具的圓角部分范成得到。c-c段為齒輪的齒根圓，實際齒輪的這一段齒廓線存在與否取決于所選擇加工刀具的形式[1]。

圖2 斜齒輪端面齒形圖

實際上，斜齒輪的端面齒形與直齒輪相似，只是各參數不再是標準值，所以采用直齒輪的齒形為例來推導斜齒輪端面相關曲線的方程與參數表達式。斜齒輪的端面齒形由漸開線部分、過渡曲線部分以及齒根、齒頂圓弧組成。其中漸開線部分齒廓是保證齒輪傳動比不變的關鍵因素，是保證精確建模的前提。

當一條直線在圓周上作純滾動時，直線上任意一點的軌跡稱為該圓的漸開線；這個圓稱為漸開線的基圓，它的半徑用rb表示；直線BK稱為漸開線的發生線；K為漸開線上的任意一點，它的向徑用rk表示，漸開線AK段的展角用θk表示；漸開線在K點的壓力角用αk表示。

圖3 漸開線發生機理

由漸開線發生機理，可以得到漸開線在極坐標下的方程：

經過轉化得到漸開線的直角坐標方程：

注意到（4）、（5）均是在自由坐標系下生成的，沒有考慮到加工過程。以齒輪中心為原點，齒輪某齒齒厚對稱線為y軸，建立如圖4所示的坐標系：

圖4 齒輪加工坐標系中的漸開線

設漸開線齒廓上任意一點為C（與自由坐標系相區別），由圖4可得漸開線在加工坐標系中的直角坐標方程為：

其中rc為漸開線上任意一點的向徑，φc為該點向徑與y軸的夾角。設漸開線齒廓上C點處對應的齒厚為Sc，則有：

聯立（5）（6）（7）得到漸開線在加工坐標系內的方程：

由于漸開線齒廓在齒頂圓處結束，所以方程中自變量αc的最大值為齒頂圓處的壓力角處；受加工刀具的影響，漸開線的真正發生點并不在基圓上，而是位于[2]：

2 端法面參數關系

由螺旋漸開面的生成機理可以得出，漸開線斜齒輪的端面齒廓是漸開線，因而齒輪的幾何尺寸按照端面計算。垂直于斜齒輪分度圓柱上螺旋線切線的截面稱為法面，由于切制齒輪時沿螺旋線方向進刀，故法面齒形參數應與刀具齒形參數一致，是標準值[1]，所以在進行斜齒輪模型的幾何計算時，要進行端面參數與法面參數之間的換算。

定義β為螺旋漸開面被分度圓柱面所截得螺旋線的螺旋角，則端面參數與法面參數之間存在如下關系：

以上諸式中下標“n”，“t”分別表示法面及端面；β為分度圓上的螺旋角。由于法面參數為標準值，端面參數隨β變化，故而不是標準值。

3 齒根過渡曲線方程

用齒條型刀具加工齒輪，相當于齒條齒輪的嚙合。被加工齒輪齒廓的漸開線部分由刀具的直線部分切出，過渡曲線部分由刀具的圓角部分切出。加工過程中，刀具的加工節線與齒輪的加工節圓相切純滾動，刀具圓角的圓角Cp將描繪出延伸漸開線，于是可以得到齒輪的過渡曲線是延伸漸開線的等距曲線。

用齒輪型刀具加工齒輪，相當于一對齒輪嚙合，被被加工齒輪齒廓的漸開線部分由刀具的漸開線部分切出，過渡曲線部分由刀具的圓角部分切出。加工過程中，刀具的加工節圓與齒輪的加工節圓純滾相切，顯然刀具圓角的圓心Cp將描繪出延伸外擺線，于是，可得到齒輪的過渡曲線是延伸外擺線的等距曲線。

目前，機械工業生產中常見的過渡曲線主要有以下三種形式[2]：

（1）當采用齒條型刀具加工齒輪時，如果刀具齒廓的頂部有兩個圓角，則過渡曲線如圖5a所示，Ⅰ、Ⅱ兩段為延伸漸開線的等距曲線，Ⅲ段為齒輪的齒根圓??；如果刀具齒廓的頂部有一個圓角，則過渡曲線如圖5b所示，Ⅰ段為一整段延伸漸開線的等距曲線。

（2）當采用齒輪型刀具加工齒輪時，如果刀具齒廓的頂部有兩個圓角，則過渡曲線如圖5a所示，Ⅰ、Ⅱ兩段為延伸外擺線的等距曲線，Ⅲ段為齒輪的齒根圓??；如果刀具齒廓的頂部有一個圓角，則過渡曲線如圖5b所示，Ⅰ段為一整段延伸外擺線的等距曲線。

（3）若齒輪以仿形法加工，則過渡曲線形式與刀具有關，一般為一整段圓弧。

圖5 過渡曲線的形式

本文以齒條型刀具加工的齒輪為例，來推導齒根過渡曲線方程，即推導延伸漸開線的等距曲線方程。對于延伸外擺線的等距曲線方程，可以參加文獻[2]。雙圓角齒條型加工刀具的示意圖如下：

圖6 雙圓角齒條型加工刀具示意圖

圖中所標注的參數值如下式：

雖然刀具的圓角形式不同，但在刀具與齒輪坯嚙合過程中的范成運動規律是完全相同的，所以可以將刀具加工所得的過渡曲線推導過程統一起來，建立相同的過度曲線方程后，代入不同的刀具參數即可分別得到各自加工出來的過度曲線方程[2]。

過渡曲線方程推導坐標系與齒輪漸開線齒廓方程推導坐標系相同，如圖4。設過渡曲線上任意一點為（η，λ），則：

將（9）與（10）聯立便可得到過渡曲線的方程。根據實際加工過程，α’的取值范圍是（α，90°）。在α’取α時，過渡曲線與漸開線相連并相切于各自的起點；取90°時，過渡曲線與齒根圓相切。

4 漸開線圓柱齒輪的數學模型

綜合公式(1)-(10)可以得到以雙圓弧齒條型刀具加工的斜齒輪齒端面齒廓方程。

漸開線部分齒廓：

至此，漸開線圓柱斜齒輪的數學模型已經建立。無論是漸開線方程還是過渡曲線方程均為顯式方程，可以方便快捷的在CAD軟件中實現。較隱式方程必須通過描點、插值擬合生成曲線的方法，既提高了運算速度，也提高了模型精度。

[1]吳繼澤,王統.齒根過渡曲線與齒根應力[M].北京:國防工業出版社,1989.

[2]F.L.Litvin.齒輪幾何學與應用理論[M].上海:上海科學技術出版社,2008.