基于區間分析的發動機懸置系統穩健優化設計*

謝 展，于德介，李 蓉，呂 輝

(湖南大學，汽車車身先進設計制造國家重點實驗室，長沙 410082)

前言

汽車發動機懸置系統是汽車的關鍵彈性支承元件，對汽車的平順性、安全性和舒適性等有著重要影響。從被動隔振的角度看，它能隔離地面傳遞過來的低頻振動，從而保證發動機穩定工作；從主動隔振的角度看，它能阻止發動機產生的振動向車架(車身)傳遞，從而降低車內振動與噪聲。提高發動機懸置系統的隔振性能及其穩健性，對于提高整車的NVH性能具有重要意義。

針對參數不確定問題，研究人員已經提出了3種數學模型，即隨機模型、模糊模型和區間模型。文獻[1]中基于多目標優化與穩健設計理論，提出了一種汽車懸架系統的多目標隨機優化方法。文獻[2]中利用響應面法和區間分析方法構建懸置系統的優化模型，并采用連續二次規劃方法對其進行優化。文獻[3]中采用區間數學中的區間數描述懸置剛度的不確定性，提出了計算懸置系統固有頻率和解耦率的區間分析方法。但目前懸置系統的不確定性研究均只針對懸置剛度，沒有考慮懸置元件安裝位置的不確定性，但是它對隔振性能的影響更明顯[4]，設計中必須予以考慮。

本文中針對汽車發動機懸置系統參數的不確定性問題，基于區間分析理論，將穩健設計與多目標優化相結合，對發動機懸置系統進行穩健優化設計。在區間數學的基礎上建立發動機懸置系統穩健優化模型，應用加權方法將多目標優化轉化成單目標優化，以克服多目標優化的計算困難；采用多層次遺傳算法解決穩健優化模型中的優化嵌套問題。懸置系統傳遞到車身的動反力大小直接表征了系統隔振性能的優劣，動反力的波動過大不但達不到優化的目的，而且會影響發動機的工作性能。為兼顧動反力的優化及其穩健性，該方法以動反力及其變化范圍最小為目標函數，即懸置系統優化性能的評價標準，以固有頻率的合理配置為約束條件，以懸置剛度為設計變量，并考慮懸置系統參數的不確定性，將懸置剛度和懸置位置的變化范圍設為區間參數，對懸置系統進行優化，達到良好的效果。

1 懸置系統的固有頻率和動反力

1.1 懸置系統的動力學模型

汽車發動機懸置系統的固有頻率一般在30Hz以下，而汽車動力總成各部分的一階彈性模態頻率一般都在60Hz以上，兩者相差甚遠。因此，在對懸置系統進行隔振降噪優化時，發動機和車架可以被視為剛體。于是，汽車發動機在空間中的運動具有6個自由度，即沿3個相互垂直的軸線方向的往復直線運動和繞此3根軸線的回轉運動，這樣發動機懸置系統有6個振動模態以及相應的6個固有頻率。懸置系統的6自由度動力學模型[5]如圖1所示。

根據拉格朗日方程，6自由度汽車發動機懸置系統的振動微分方程為

(1)

其中{X}=(xyzθxθyθz)

式中：{X}為系統的廣義坐標；[M]為系統的質量矩陣；[K]為系統的剛度矩陣；[C]為系統的阻尼矩陣。

由于橡膠懸置元件的阻尼很小，且對固有頻率影響不大，所以阻尼可以忽略不計。因此式(1)可以改寫為

(2)

根據以上汽車發動機懸置系統動力學模型，在測得發動機的總質量、轉動慣量和慣性積以及各懸置的剛度、安裝位置和角度后，便可求得發動機懸置系統的模態參數。

1.2 懸置系統的固有頻率配置

(3)

式中：i為氣缸數；n為發動機轉速；τ為沖程數。

另外，從避免共振的角度來看，要求對系統的固有頻率進行合理配置。發動機懸置系統的各階振動頻率應有一定間隔，一般要求最小差值在1Hz左右[6]。

1.3 懸置系統的動反力

汽車發動機在怠速工況且不考慮阻尼的情況下，懸置系統的強迫振動微分方程為

(4)

式中：{Fe}為系統所受的簡諧激勵力矢量。

懸置系統受迫振動的穩態解為

{Udyn}=([K]-ω2[M])-1{Fe}

(5)

于是，第i個懸置傳遞給車身的動反力[5]為

{fi}={-[ki] [ki][ri]}{Udyn}

(6)

式中：[ki]為第i個懸置在全局坐標系中的剛度矩陣；[ri]為第i個懸置位置坐標的反對稱陣。

因此，怠速工況下懸置系統傳遞給車身的總動反力為

(7)

式中：fxi、fyi、fzi為第i個懸置在怠速工況下動反力的3個分量。

作為汽車的最主要振源，發動機傳遞到車身的動反力大小是懸置系統隔振性能的直接指標，其值越低則表征系統隔振性能越好。此外，動反力的波動范圍過大會使發動機工作環境不穩定，影響發動機的工作性能，故應控制動反力的波動范圍。

2 基于區間分析的穩健優化設計

在汽車發動機懸置系統的確定性優化設計中，相關參數和設計變量都是確定性數值，其優化模型為

(8)

式中：f(X)為目標函數；gi(X)為約束函數；n為約束的個數；X為懸置剛度；S為設計空間。

然而，在工程實際中，汽車零部件在生產制造、安裝使用和汽車行駛環境中都存在著大量的不確定性。而參數的細微偏差或波動則可能導致系統性能大的波動，甚至導致系統失效。因此，在懸置系統的優化設計過程中，必須考慮懸置參數的不確定性而進行穩健設計。穩健設計通過調整變量的取值及其容差，使系統性能在參數發生一定變動的情況下仍能滿足設計要求。與確定性優化相比，穩健設計進行了不確定性分析，更好地反映了懸置元件的實際情況，使懸置系統的設計與工程實際相吻合。針對參數的不確定性問題，區間理論近年來得到了廣泛的關注。由區間理論建立的汽車發動機懸置系統不確定性優化模型為

(9)

式中：f(X,U)為目標函數；gi(X,U)為約束函數；n為約束的個數；U為表示懸置位置的區間參數；UL和UR分別為區間參數的上下限；X為懸置剛度，取為設計變量；S為設計空間。

在式(9)中，目標函數和約束由于區間參數設計變量的不確定性，其取值也是一個區間。文獻[7]中根據序關系提出：在工程實際中，不但要求目標函數的設計目標值要小，且要求其取值范圍也要小。因此，目標函數應為

(10)

其中

(11)

式中：m(f(X,U))為目標函數的設計目標值；w(f(X,U))為目標函數的取值區間；fR(X,U)與fL(X,U)分別為目標函數取值的上下限。

由式(10)和式(11)，式(9)所示的不確定性優化問題可轉換成一個多目標的確定性優化問題。對于多目標優化問題，直接進行優化會給計算帶來困難，必須對其進行相應的處理。本文中采用加權法，即將多目標優化問題通過加權轉化成單目標優化問題，以便于優化計算。加權處理后的汽車發動機懸置系統不確定性穩健優化模型為

(12)

式中：X為懸置剛度；XL與XR為懸置剛度取值的上下限；α為加權系數，其取值范圍為0～1。

從式(10)可知，基于區間分析的不確定性優化問題，既要求得目標函數的目標值，也要求得目標函數的最小值，這就產生了優化嵌套問題。本文中采用遺傳算法對穩健優化模型進行多層次全局優化計算，以穩健優化模型的目標函數為遺傳算法的適應度函數，其尋優過程分為兩步：首先，以懸置剛度為設計變量，在其設計空間內產生第一層次初始種群；然后，以第一層次初始種群中的個體和懸置位置參數為區間變量，在其變化區間內產生第二層次初始種群代入適應度函數計算；最終，通過上述迭代尋優計算得到穩健可靠的優化解。

基于區間分析的汽車發動機懸置系統穩健優化設計流程如圖2所示。

3 數值算例

對圖1所示的某轎車發動機懸置系統進行穩健優化設計，該車發動機的布置方式是斜置式，并采用四點支撐方式。懸置系統的設計參數有懸置剛度、位置和安裝角度，但由于懸置位置和安裝角度涉及到整車尺寸設計，不易做出調整，因此選擇懸置剛度作為設計變量(共12個)，懸置位置(共12個)作為區間參數進行優化。優化前發動機懸置系統的剛度值和慣性參數值分別如表1和表2所示。

表1 優化前各懸置的靜剛度值 N/mm

表2 發動機懸置系統的慣性參數值 kg·mm2

該車發動機為直列式四缸四沖程發動機，怠速轉速為900r/min，主要激勵力為2階往復慣性力，根據式(3)計算得其激勵頻率為30Hz。從隔振的角度出發，根據1.2節可算得懸置系統固有頻率的取值范圍應為4～21Hz。從避免共振的角度出發，各階固有頻率之間的差值應在1Hz以上。以懸置系統固有頻率的合理配置為優化模型的約束條件，可表示為

(13)

本文中以動反力及其波動范圍最小為目標函數，考慮到懸置剛度不能太“軟”也不能太“硬”，其取值區間為50～305N/mm，則懸置系統的確定性優化模型為

(14)

考慮到懸置元件由于生產制造、安裝和測量過程中的不確定性，取位置參數的變化范圍為5mm,并且取加權系數為0.5，則懸置系統的穩健優化模型可表示為

(15)

對懸置系統初始模型進行模態參數和動反力計算，結果如表3所示。由表可見：1階與2階、3階與4階固有頻率很接近，差值小于1Hz，從1.2節的分析可知，懸置系統容易發生共振；且懸置系統的動反力比較大，達到了287.28N；動反力的波動區間亦較大，變化范圍為48.33N。因此，須對此懸置系統進行優化。

懸置系統確定性優化后各懸置的靜剛度值如表4所示，優化后的結果如表3所示。從表3可知，優化后系統各階頻率之間的差值增大，都在1Hz以上，符合頻率合理配置的要求；動反力也得到較大改善，最小值只有185.10N，降幅達到了35.6%。但若考慮到懸置剛度的不確定性，假定其變化范圍為其優化值的10%。在這個波動范圍內，對懸置系統的動反力進行穩健性分析，計算得到其變化區間為[184.87,253.96]，波動幅度達到了最優值的37.3%，說明即使不考慮懸置位置的不確定性，確定性優化結果的穩健性也很差。因此，須對此懸置系統進行穩健優化設計。

表3 懸置系統優化前后參數對比

表4 確定性優化后各懸置的靜剛度值 N/mm

穩健優化后的靜剛度值如表5所示，優化后的結果如表3所示。從表3可知，優化結果滿足頻率合理配置要求，且動反力的變化范圍降至最優值的6.49%，穩健性得到了提高，但動反力有一定的增大。若考慮懸置位置在5mm的范圍內波動，得到動反力的變化區間為[178.52,203.41]，動反力的變化范圍為其最優值的13.2%，比剛度穩健優化設計的動反力變化區間大一倍多?？梢姡瑧抑梦恢脜祵抑孟到y的影響比懸置剛度要明顯。因此，須同時考慮懸置系統的懸置剛度和懸置位置參數的不確定性。

表5 剛度穩健優化后各懸置的靜剛度值 N/mm

由于汽車發動機懸置位置參數是通過測量得到的，且懸置系統并不是在一個靜態的環境中工作，因此必須考慮二者引起懸置位置參數的不確定性，假設懸置系統位置參數取值在測量值附近的變化范圍為5mm。另外由于懸置元件的不確定性，其剛度值也會有一定的波動，假設其變化范圍為目標值的10%。根據式(15)算得優化后的各懸置的靜剛度值如表6所示，優化后系統固有頻率及動反力結果如表3所示。從表3可知，優化后系統固有頻率滿足合理配置的要求；與懸置剛度穩健優化的結果相比，其動反力目標值進一步降低，且其變化區間也進一步縮小，其波動幅度為目標值的9.4%，穩健性得到了提高，滿足穩健設計要求。

表6 穩健優化后各懸置的靜剛度值 N/mm

4 結論

(1) 在區間分析理論的基礎上，將穩健優化設計與多目標優化設計相結合，應用遺傳算法，對懸置系統進行穩健優化設計。該方法在對懸置剛度進行尋優的同時，還考慮了懸置剛度和懸置位置參數的不確定性，從而在實現優化的同時提高了懸置系統優化結果的穩健性。

(2) 對某轎車的發動機懸置系統進行穩健優化設計，結果表明：在固有頻率滿足合理配置要求的同時，穩健優化設計不僅大幅降低了懸置系統的動反力，且動反力的變化范圍也明顯縮小，說明該方法能有效用于懸置系統的優化設計。

[1] Massimiliano Gobbi,Francesco Levi,Giampiero Mastinu.Multi-objective Stochastic Optimization of the Suspension System of Road Vehicles[J].Journal of Sound and Vibration,2006,290(3-5):1055-1072.

[2] 包健,成艾國,何智成,等.區間響應面懸置固有頻率匹配研究[J].噪聲與振動控制,2011,31(2):21-24.

[3] 吳杰,周勝男.動力總成懸置系統頻率和解耦率的穩健性優化方法[J].振動與沖擊,2012,31(4):1-7.

[4] 劉丹,侯之超.動力總成懸置設計中慣性參數的靈敏度分析[J].汽車工程,2007,29(10):884-888.

[5] 周冠南,蔣偉康,吳海軍.基于總傳遞力最小的發動機懸置系統優化設計[J].振動與沖擊,2008,27(8):56-58.

[6] 樊逸斌.基于靈敏度分析的懸置系統設計及優化[J].上海汽車,2010(6):17-20.

[7] Jiang C,Han X,Liu G R,et al.A Nonlinear Interval Number Programming Method for Uncertain Optimization Problems [J].European Journal of Operational Research,2008,188(1):1-13.

[8] 吳杰.區間參數振動系統的動力優化[J].力學學報,2003,35(3):373-376.

[9] 翁建生,張斌,汪洋.汽車動力總成的區間模糊多目標優化[J].現代車用動力,2006(3):28-31.

[10] Hiroshi Ito,Hiromitsu Ohmori,Akira Sang.Analysis of Robust Performance with Multiple Objectives[J].Systems and Control Letters,1995,25(2):141-149.

[11] Jiang C,Han X,Guan F J,et al.An Uncertain Structural Optimization Method Based on Nonlinear Interval Number Programming and Interval Analysis Method[J].Engineering Structures,2007,29(11):3168-3177.

[12] David Moens,Dirk Vandepitte.Interval Sensitivity Theory and Its Application to Frequency Response Envelope Analysis of Uncertain Structures[J].Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering,2007,196(21-24):2486-2496.