沖擊載荷作用下矩形薄板的彈性動力屈曲*

毛柳偉，王安穩，鄧 磊，韓大偉

(海軍工程大學理學院，湖北 武漢 430033)

作為工程結構主要單元之一，板在沖擊載荷作用下的動力屈曲問題一直受到人們的普遍關注。已有的研究[1-4]中，大多要求板具有某種形式的初缺陷，且假定屈曲發生時結構中各截面處于均勻的軸向受力狀態，針對的是沖擊載荷的后期效應，此時考慮結構的整體屈曲，忽略了應力波效應。近年來，利用金屬夾心構件的失穩吸能提高結構抗沖擊性能的研究，受到了重視[5-7]，在抗沖擊機理研究中，需考慮在應力波作用下的動力屈曲和后屈曲問題。D.G.Vaughn等[8-9]的研究表明，高速沖擊下板中應力波的傳播與屈曲的發生是耦合的。考慮應力波效應，施連會等[10]、韓大偉等[11]對階躍載荷作用下薄板彈性動力屈曲進行了研究，假設屈曲模態沿y方向為半個正弦波，將問題轉化為一維問題進行求解，然而該方法只能求解垂直于應力波傳播方向板的兩個邊界為簡支約束的情況，對于其他邊界條件則無法求解。

本文中，根據動力屈曲瞬間的能量率守恒準則，導出應力波作用下矩形薄板動力屈曲控制方程和波前附加約束條件；采用有限元離散建立求解沖擊載荷作用下考慮應力波效應薄板彈性動力屈曲問題的完整解法，定量計算橫向慣性效應對提高薄板動力屈曲臨界應力的貢獻，揭示屈曲模態與沖擊載荷和臨界屈曲長度之間的關系，為薄板后屈曲問題的求解提供參考。

1 動力屈曲平衡方程

圖1 矩形薄板受沖擊載荷作用Fig.1 The rectangular thin plate subjected to in-plane impact load

板在屈曲前保持平面狀態，與應力波傳播方向垂直的截面上應力均勻分布。記臨界屈曲的時間為t0，用ux,y,t0,wx,y,t0=0表示板在t0時刻的真實位移。記t1為屈曲發生的時間，t1=t0+Δt,Δt為時間的一個微小增量，屈曲時板的面內位移為u*x,y,t1、v*x,y,t1，橫向位移為w*x,y,t1。

(1)

以下，將通過t1-t0時刻結構能量變化率守恒原理建立屈曲控制方程，為方便計算，假設板在同一時刻t0存在一個等時的鄰近位形，為u*x,y,t0、v*x,y,t0、w*x,y,t0。由等時變分原理可得δw=w*t0-wt0，δu=u*t0-ut0，δv=v*t0-vt0。以下記δw=w1，δu=u1，δv=v1。

應力波從沖擊端傳入后，隨著時間的增加，板中承受軸壓的部分增長，在受壓段達到臨界長度時，結構發生橫向屈曲，屈曲時板的動能、外力功和變形能分別為：

(2)

(3)

(4)

式中：C=Eh/1-ν2，D=Eh3/121-ν2；采用Karman平板理論中的幾何關系，εx、εy、γxy表示板中面的應變分量，χx、χy、χxy表示板的曲率及扭率。

比較t1-t0時刻結構動能的變化情況，可以得到：

ΔK=Kt1-Kt0=

(5)

式(5)右端第4項可以用中值定理簡化，認為位移滿足一定的連續條件，只考慮一階小量，有：

(6)

所以，動能的變化率為：

(7)

屈曲時面內慣性效應與橫向慣性效應相比是小量，忽略面內慣性效應，式(7)可以簡化為:

(8)

忽略屈曲時面內新增微小載荷和位移，同樣可得，t1-t0時刻結構應變能的變化率為：

(9)

t1-t0時刻外力功的變化情況為：

(10)

根據屈曲瞬間能量率守恒定律，有：

(11)

將式(8)～(10)代入式(11),得

(12)

將式(12)右端第1項積分，得到關于位移w*x,y,t0的控制方程，考慮到wx,y,t0=0，可得：

(13)

式(12)右端第2項表示應力波波陣面處的邊界條件，根據波陣面處的連續條件，有：

w1ct0,y,t=0

w1,xct0,y,t=0

(14)

將式(14)代入式(12)右端第2項，得波陣面處的附加約束條件為：

w1,xxct0,y,t=0

(15)

由以上推導可知，要滿足屈曲瞬間能量轉換和守恒原理，必須同時滿足控制方程(式(13))和波前附加約束條件(式(15))。

2 應力波作用下薄板彈性動力屈曲準則

由于臨界屈曲時刻應力波傳播距離是待定的，目前廣泛采用的商用有限元程序對該問題無法求解。而解析法僅對階躍載荷作用下個別邊界情況[10-11]可以實現，當壓應力波分布不均勻時，式(13)中屈曲模態的解析形式不容易得到，因而不易求解。本節中，采用有限元離散，尋找同時滿足控制方程(13)和波前附加約束條件(15)的屈曲位移，建立該問題的完整解法。

分離變量，將板的屈曲模態函數寫成：

(16)

將式(16)代入式(12)右端第1項，分離變量，得：

(17a)

(17b)

由式(17b)可以證明，滿足dλ/dl=0(l=ct0),則同時滿足了附加約束條件(15)。

將板用薄板矩形單元離散，沿寬度方向劃分為m+1個節點，沿應力波傳播長度方向劃分為n+1個節點，共有n×m個單元。單元幾何剛度矩陣kσ=?vN(x)CTCdv，彎曲剛度矩陣k=?vBTDBdv，質量矩陣(一致質量矩陣)m=?vρNTNdv。其中，N為形函數，C=N,x，D為薄板單元彈性矩陣，B為單元應變矩陣。

按照幾何非線性有限元理論，薄板動力屈曲控制方程可表述為：

(18)

式中：M為結構整體的質量矩陣，K、Kσ分別為結構整體的彎曲剛度矩陣和幾何剛度矩陣，δ為整體節點位移陣。

令整體節點位移陣：

(19)

代入式(18)，得:

(20)

式(20)為壓應力波作用下薄板發生動力分叉屈曲的特征方程，若λ=0，則轉化為薄板靜力失穩的特征方程。由式(19)可知，λ>0時結構存在發散解。由以上分析可知，λ>0，dλ/dl=0同時滿足了屈曲控制方程(13)和附加約束條件(15)，因此對應長度l即為相應載荷作用下的臨界屈曲長度。

可以看出，若屈曲模態一定，特征參數λ將直接決定屈曲模態放大的程度。λ是關于應力波傳播距離l(l=ct0)和軸向分布載荷的函數，臨界屈曲時載荷在板中的分布一般是已知的，所以λ將是關于長度l的函數，由dλ/dl=0得到的是一定外載作用下，結構屈曲發展最快模態對應的長度，即由該準則得到的臨界屈曲長度是最優模態對應的長度。

3 薄板彈性動力屈曲求解

采用Matlab軟件編制相關計算程序，與文獻結果進行對比，驗證本文理論和程序的正確性。計算時，將應力波傳播長度劃分為10個單元，板寬劃分為5個單元，改變l，每一個長度可以得到若干特征值，取其中最大的特征值，繪制λ與l的關系圖，從圖中找出滿足條件的相關點。

3.1 算 例

矩形薄板，材料彈性模量E=71 GPa，密度ρ=2 700 kg/m3。矩形截面：h=3 mm，b=250 mm。為方便表示，從受載端開始，沿逆時針方向，對板的邊界條件進行命名，用C表示夾支邊界、S表示簡支邊界、F表示自由邊界，如四邊夾支板邊界條件為CCCC。對應邊界條件CCCC，板中應力波覆蓋部分應力為180、150和120 MPa的試件，計算結果如圖2(a)所示。

在圖2(a)中標示了滿足條件的相關點，可以看出：對應應力180 MPa，當l=120 mm時，λ=0，該點與相應長度薄板靜力失穩狀態對應；當120 mm

限于篇幅，本文中僅給出對應應力180 MPa的前三階屈曲模態。由圖2(a)得到結構的臨界屈曲長度和對應的特征值，該特征值對應的特征參數即為結構屈曲模態。計算屈曲模態時，將應力波傳播長度和板寬劃分為40×30的網格，計算結果如圖3所示。

對應邊界條件CSCS和CFCF，幾何物理參數同上，板中應力波覆蓋部分應力為180、150和120 MPa的試件，計算所得λ與l關系如圖2(b)～2(c)所示。

圖2 特征參數與傳播距離的關系Fig.2 Characteristic parameters versus propagation distances

圖3 邊界條件CCCC下薄板屈曲模態Fig.3 The buckling modes of thin plate under boundary condition CCCC

3.2 與文獻結果的對比

陳鐵云等[13]對四邊夾支矩形薄板靜力失穩進行研究，得到四邊夾支矩形薄板的臨界載荷近似為：

(21)

由式(21)得到，邊界條件CCCC下相應薄板彈性靜力失穩的臨界載荷分別為193、162和129 MPa，本文計算得到相應板的軸向壓力為180、150和120 MPa，最大誤差為7.4%。

為方便對比，引進量綱一量：

(22)

表1 臨界力參數和動力特征參數Table 1 Critical-load parameters and dynamic characteristic parameters

韓大偉等[11]對所述CSCS邊界板進行研究，得到了一階臨界力參數和動力特征參數的解析解，換算到本文中為：

(23)

由式(23)計算得到邊界條件CSCS下一階臨界力參數分別為15.26、13.99和12.75，本文計算得到的分別為14.10、13.12和11.90，最大誤差為7.6%；由式(23)計算得到一階動力特征參數分別為4.08、3.62和3.14，本文計算得到的分別為3.87、3.48和2.99，最大誤差為5.2%。這驗證了本文理論和程序的正確性。

由表1可以看出：(1) 由于屈曲時的橫向慣性效應，應力波作用下薄板臨界力參數遠大于相應邊界板的靜力失穩臨界力參數。一階動力屈曲臨界力參數是相應邊界薄板彈性靜力失穩臨界力參數的1.5倍，可見橫向慣性效應大大提高了結構的屈曲臨界力。(2) 比較不同邊界條件薄板同階的臨界力參數和動力特征參數，可以發現對應邊界條件CCCC、CSCS和CFCF，臨界力參數逐漸減小，動力特征參數逐漸增大。這是因為，板的邊界約束逐漸減弱，因而屈曲需要的作用載荷逐漸減小，屈曲時慣性效應逐漸增大。

4 結 論

根據動力屈曲瞬間的能量率守恒準則，導出了應力波作用下矩形薄板動力屈曲控制方程和波前附加約束條件；采用有限元離散建立了求解考慮應力波效應時薄板彈性動力屈曲問題的屈曲準則和完整解法，揭示了屈曲模態與沖擊載荷和臨界屈曲長度之間的關系，定量計算了橫向慣性效應對提高薄板動力屈曲臨界應力的貢獻。計算結果表明：板的厚寬比一定時，臨界屈曲長度隨沖擊載荷的增大而減小；由于屈曲時的橫向慣性效應，應力波作用下薄板一階臨界力參數是相應邊界板的靜力失穩臨界力參數的1.5倍；隨著邊界約束逐漸減弱，板臨界力參數逐漸減小，動力特征參數逐漸增大。

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