三元乙丙材料粘超彈本構模型研究

楊曉紅，許進升，孫俊麗，胡少青，周長省

(1.南京理工大學 機械工程學院，江蘇 南京210094;(2.晉西工業(yè)集團有限責任公司技術中心，山西 太原030027)

0 引言

三元乙丙(EPDM)是乙烯、丙烯以及非共軛二烯烴的三元共聚物，因其具有較好的耐老化性、耐腐蝕性以及絕熱性能，在航空航天工程領域得到了較廣泛的應用，尤其在固體火箭火箭發(fā)動機中，該材料通常作為保護發(fā)動機殼體力學性能不受燃燒室內(nèi)高溫影響的絕熱包覆層，安置于殼體與藥柱之間。隨著近年來固體火箭向著遠程化、高裝填密度、高能裝藥等方向的發(fā)展，固體火箭發(fā)動機裝藥結構完整性問題得到越來越多的重視［1］。因此研究EPDM 包覆層材料的力學行為，建立其準確的力學本構模型，將會為解決使用EPDM 作為包覆層的固體火箭發(fā)動機的裝藥結構完整性問題提供理論參考。

EPDM 在有限變形條件下的力學行為表現(xiàn)出典型的超彈特征，具有明顯的率相關性，與其載荷歷史具有強烈的相關性。常見的超彈本構模型有Neo-Hookean 模型、Mooney-Rivlin 模型、Yeoh 模型、Ogden模型等［2-3］，在變形較大的橡膠、高聚物等材料中得到較廣泛的應用［4-5］。Leu 等［6］在20世紀90年代首先提出粘超彈本構模型的概念，模型由率無關的超彈部分與率相關的粘彈部分組成。Yang 等［7］在研究高應變率條件下某橡膠材料的力學性能時，發(fā)現(xiàn)其力學表現(xiàn)出超彈力學特征，在高應變率條件下又體現(xiàn)出粘彈性力學特征;因此將超彈模型與粘彈模型相互并聯(lián)構成了一種能夠準確描述該橡膠材料高應變率條件下力學行為的粘超彈本構模型。此外，粘超彈本構模型在聚氨酯泡沫［8］、生物軟組織［9］、高聚物［10］、推進劑［11］等材料上均得到了廣泛的應用。Pouriayevali 等［12］通過準靜態(tài)的拉伸實驗擬合了超彈模型參數(shù)，通過不同速率的單軸拉伸實驗擬合了粘彈模型參數(shù)。

目前國內(nèi)外對EPDM 力學本構模型的介紹較少，因此有必要對該材料的力學特性進行深入研究。通常材料力學行為的率相關特性是由于材料在變形時存在粘性流動，可通過建立粘彈性本構模型來描述材料力學行為的這一特性，因此本文試圖將超彈本構模型與粘彈本構模型結合在一起，建立一種粘超彈本構模型來描述EPDM 的力學行為。

1 實驗研究

1.1 實驗方法

本文針對EPDM 包覆層的平板原材料，通過機械加工、切割方法研究了單軸拉伸試件的設計問題，試件設計如圖1所示。試件的標距為65 mm，在其兩端與拉伸實驗機夾頭接觸的位置處使用502 膠粘接鋁板，并在鋁板的表面進行打磨處理。這種設計手段一方面可以預防試件與實驗機夾頭之間相對滑移，同時也可以保證試件65 mm 標距的精確性。

圖1 材料試件示意圖Fig.1 Schematic diagram of specimen

拉伸過程中，由于包覆層材料的塑性流動，上下兩塊鋁板之間的包覆層材料會在一定程度上流進測試區(qū)，且隨著拉伸位移的增大，流動量也越大，因此應變不等于拉伸位移與標距的比值。本研究過程中，采用非接觸式測試手段測量試件在受載過程中的應變響應。該系統(tǒng)包括Baumer 相機、1394 接口卡、采集計算機和后處理軟件。該系統(tǒng)主要用于對CCD 拍攝的試件表面散斑原圖進行分析，自動快速地得到全場的位移、應變信息。主要功能包括:圖像采集、通用圖像處理分析、位移分布分析計算、應變分布分析計算、數(shù)字圖像相關后處理。

本文對EPDM 材料進行了單軸拉伸和拉伸-回復試驗，實驗過程在常溫(293 K)環(huán)境下進行，濕度為50%.拉伸實驗中設定電子拉伸實驗機拉伸速度分別為5 mm/min、20 mm/min、50 mm/min、100 mm/min和500 mm/min.根據(jù)非接觸測試方法，實際對應的平均拉伸應變率為0.001 03 s-1、0.004 10 s-1、0.010 3 s-1、0.020 5 s-1、0.104 s-1，其中拉伸-回復實驗的拉伸速度設定為50 mm/min，回復速度為50 mm/min.

1.2 實驗結果分析

實驗中針對每一拉伸速度進行多次重復實驗，并選取5 次有效實驗結果的平均值作為研究對象。對實驗數(shù)據(jù)處理后得到EPDM 材料在不同應變率條件下的應力-應變曲線如圖2所示。由圖2可以看出，該材料的最大延伸率較大，不同拉伸條件下均大于200%，其應力響應隨著拉伸速率的增加而逐漸增大。

圖2 單軸拉伸應力-應變響應Fig.2 Stress-strain response in uniaxial tension tests

圖3為EPDM 材料的拉伸-回復曲線，其中拉伸速度、回復速度均為50 mm/min.由圖3可見，回復應變響應滯后于應力響應，當試件放置一段時間后，應變逐漸回復到0.這說明該材料表現(xiàn)出一定的粘性效應，導致回復階段出現(xiàn)應變滯后于應力的現(xiàn)象;放置一段時間后材料試件完全恢復，說明試件沒有產(chǎn)生不可回復的變形。因此，本文結合以上EPDM 材料的力學行為，提出采用粘超彈本構模型來描述其力學特性。

圖3 單軸拉伸-回復應力-應變響應Fig.3 Stress-strain response in uniaxial tension-recover test

2 本構模型

本文在超彈響應部分采用Mooney-Rivlin 模型，并假設材料的粘彈性響應為線性過程，因此在本構模型構建過程中采用線粘彈性理論。

2.1 粘超彈本構模型

粘超彈本構理論首先由Leu 等［6］提出，該模型由率無關的超彈響應部分和率相關的粘彈響應部分組成。模型表達式為

式中:σ 為總應力張量;σe為不考慮率效應的超彈應力張量;σv為考慮率效應的粘彈應力張量。

由此可以看出，該模型利用兩個相互獨立的力學響應部分來描述包覆層材料的力學性能，以下對兩部分力學響應分別建模，其中超彈響應部分采用Mooney-Rivlin 超彈模型，粘彈性響應部分采用線粘彈性理論。

2.2 Mooney-Rivlin 超彈模型

超彈性本構理論認為材料的應力-應變關系是完全彈性的，但是具有高度的非線性特征，當外力消失后，材料變形可恢復到原始狀態(tài)。假設EPDM 材料是各向同性且不可壓縮的，則根據(jù)能量守恒得到有限變形彈性固體的本構模型為

式中:σe為Cauchy 應力張量;pe為靜水壓力，反映材料的不可壓縮特性;I 為單位向量;B 為左Cauchy 變形張量，I1、I2分別為左Cauchy 變形張量B 的第1、第2 不變量，具體定義為

其中I3為左Cauchy 變形張量B 的第3 不變量，當材料具有不可壓縮特性時，I3= 1，λi為拉伸比，定義為λi=1 +εi，εi為工程應變，i =1，2，3;α1、α2分別定義為

W=W(I1，I2)為只依賴變形的單位體積應變能函數(shù)，對于Mooney-Rivlin 模型W 的具體形式為

式中:C10、C01為Mooney-Rivlin 應變能函數(shù)中的材料參數(shù)。

2.3 粘彈性本構模型

由線粘彈性理論可知，使用該模型能夠描述材料力學行為的率相關性。基于EPDM 包覆層材料的力學特性，其粘彈性力學響應部分可采用Prony級數(shù)的形式表述:

式中:Em為松馳模量;τm為松弛時間;n 為Prony 級數(shù)的階數(shù)，模型的描述精度隨n 的增大而增大。松弛時間受材料微觀結構和外載荷的影響較明顯，如微觀結構的顆粒填充比和所處的環(huán)境溫度等。

3 結果與分析

3.1 本構模型一維形式

對于所建立的粘超彈本構模型，根據(jù)等速拉伸實驗結果獲取模型的相關參數(shù)。由于實驗均是在一維條件下進行的，因此本文首先推導出本構模型的一維形式。

在單軸加載情況下，垂直于加載方向的應力應為0，即

假設在加載方向上的伸長比為λ，由于本文中材料在有限變形下認為近似不可壓，故可以得到三向主伸長比為λ1=λ，λ2=λ3=則變形梯度張量F、左Cauchy 變形張量B 為

根據(jù)(2)式和(10)式可得

將(4)式、(5)式、(6)式代入(11)式可得

將(12)式代入(2)式，并根據(jù)(4)式、(5)式、(10)式可得到超彈應力響應部分為

式中:λ=1 +ε11.由(7)式并取Prony 級數(shù)階數(shù)n =1，則得到粘彈應力響應部分為

根據(jù)(13)式、(14)式得到本構模型的具體一維形式為

3.2 模型參數(shù)獲取

由(15)式可以看出，單軸加載實驗條件下，包覆層材料的應力響應在某一應變水平下包括彈性響應(率無關)和粘彈響應(率相關)。則對于兩組不同拉伸速率的σ-ε 曲線，同一應變水平所對應的應該相等，而兩組曲線之間的差異均是由于粘彈響應應力造成 的，即從而可得到以下關系:

由(15)式可得

由(16)式得到，通過兩組應變率條件下的σ-ε曲線獲得一系列應變水平下應力響應差值曲線，便可根據(jù)該差值曲線和(16)式擬合得到模型參數(shù)E1、τ1.本研究中選取拉伸速度分別為20 mm/min 和50 mm/min 的兩條σ-ε 曲線作為研究對象。由EPDM包覆層材料的實驗結果圖2可以得到，當應變小于80%時，應力響應受應變率的影響較小，而當應變大于80%時影響則較大。因此利用這兩條曲線擬合參數(shù)E1、τ1時，選擇的應變水平分別為88%、100%、125%、150%、175%、200% 和225%，擬合結果如圖4所示，得到粘彈性模型參數(shù)為E1=0.949 47 MPa、τ1=165.712 26 s.

圖4 EPDM 材料本構模型粘彈性參數(shù)擬合結果Fig.4 Viscoelastic parameters of EPDM constitutive model

根據(jù)所獲得的材料參數(shù)E1和τ1，利用(15)式便可擬合本構模型的超彈性參數(shù)C10和C01.本研究中選擇拉伸速度為50 mm/min 的σ-ε 曲線進行擬合，擬合結果如圖5所示，得到超彈模型參數(shù)為C10= -0.152 48 MPa、C01=1.220 47 MPa.

圖5 EPDM 材料本構模型超彈性參數(shù)擬合結果Fig.5 Hyperelastic parameters of EPDM constitutive model

3.3 模型驗證

由3.2 節(jié)可知，模型參數(shù)的獲取過程只使用了20 mm/min 和50 mm/min 的兩條σ-ε 曲線。如圖5所示，50 mm/min 拉伸速率下模型預測結果與實驗結果的重合度較好，因此有必要證實該模型能否用于預測其他應變率水平。根據(jù)已獲得的模型參數(shù)，利用(15)式計算其他拉伸速率下的應力響應，預測結果與實驗結果對比如圖6所示。由圖6可以看出，模型預測結果與實驗結果重合度較好，且在應變大于50%以后，應力響應的率效應則較為明顯。

圖6 本構模型預測結果與實驗結果對比圖Fig.6 Comparison of test and predicted results

4 結論

本文根據(jù)EPDM 包覆層材料的單軸拉伸實驗和拉伸-回復實驗，獲得了材料的力學行為，根據(jù)其力學行為建立了一種粘超彈本構模型，結果表明:

1)根據(jù)實驗結果可知，EPDM 包覆層材料拉伸時存在一定的粘性流動，力學行為呈現(xiàn)出明顯的率相關效應。

2)利用Mooney-Rivlin 超彈本構和線粘彈性本構相結合所建立的粘超彈本構模型能夠較好地描述EPDM 覆層材料的單軸力學行為。

3)拉伸過程中，包覆層材料的塑性流動會影響應變的計算結果，采用非接觸式應變測試手段能夠很好地解決該問題。

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