關節齒隙對空間機械臂末端定位精度的影響

安凱

(山東航天電子技術研究所，山東 煙臺264003)

0 引言

空間機械臂作為航天器的一種重要工具，可用于衛星的回收和維修、大型設備的組裝、空間站的在軌建設以及作為航天員出艙的輔助平臺，提高安全性及艙外工作能力等。隨著空間探索工作的不斷深入，空間機械臂在未來的空間活動中將扮演更加重要的角色，因而許多國家都致力于空間機械臂在軌服務技術的研究［1-5］。由于空間機械臂的桿件較長，比如加拿大為國際空間站研制的巨型機械臂，其長度達19 m;用于協助安裝該巨型機械臂的小型機械臂，其桿件長度也達到15 m.由于關節位于所控制桿件的始端，關節處微小的角位移誤差，經桿件放大后就會造成機械臂末端較大的定位誤差。以15 m長的桿件為例，若關節角位移的控制誤差為1°，末端的定位誤差將達到0.261 7 m.如此巨大的定位誤差，要完成精細的維修、組裝和交會對接等任務顯然是不可能的。為此，文獻［6 -7］提出通過優化末端執行器的捕獲機構，提高其在大容差范圍內捕獲能力的方法。加拿大機械臂上采用了鋼絲繩組成的柔性捕獲機構，以擴大末端執行器的捕獲容差范圍。但這種改進捕獲機構的方法首先是增加了機械臂的質量，其次，被捕獲目標也需要增加相應的機構以配合捕獲機構，不僅增加被捕獲目標的質量，也增加其機構的復雜性，可見這種方法只能用于某些任務，并不適合所有的空間任務。此外，即使擴大了末端執行器的捕獲容差范圍，由于關節誤差的存在，也不一定能保證末端執行器落入捕獲容差范圍之內。

其實，關節誤差的主要來源是齒隙造成的角位移誤差［8-12］。齒隙在保證機械傳動得以實現的同時也影響了系統的動態性能和穩態精度，因此齒隙模型作為補償工具廣泛應用于傳動系統的控制中。齒隙模型主要有遲滯模型［13］、死區模型［14］和“振-沖”模型［15］3 類。遲滯模型的輸入是位移，反映了輸入與輸出的位移關系，沒有考慮阻尼，且假定傳動是純剛性的。死區模型的輸入是相對位移，輸出是力矩，反映了系統驅動和從動部分的力矩傳遞關系，考慮了系統的剛性和阻尼，但未考慮反彈產生的影響。“振-沖”模型包括兩類:一類是“剛性沖擊”模型，另一類是“彈性沖擊”模型。前者的優點是計算量小，易于求解，但忽略了位移或相位關系，僅適合純剛性問題;后者引入了由齒面、齒型等制造誤差引起的靜態傳遞誤差以及變剛性系數，假設沖擊物體是彈性的，因此碰撞過程有一持續時間。由于彈性和阻尼的共同作用以及其他隨機因素影響，持續時間的長度，從而齒隙模型必然帶有一定的隨機性。雖然模型中涉及太多難以確定的參數和函數，在實際問題中無法使用，但模型中蘊涵的隨機因素思想具有重要的借鑒作用。

鑒于齒隙模型的隨機性，在空間機械臂多階段任務系統中，路徑規劃和任務優化都需要對機械臂末端執行器落在捕獲容差范圍之內的概率進行估計。借鑒“彈性沖擊”模型中隨機因素的思想，本文將建立齒隙的隨機模型，將角位移誤差和末端執行器的位置表示為隨機變量，并根據角位移誤差隨機變量的分布函數求出末端執行器位置的分布函數，由此估計末端執行器落在捕獲容差范圍之內的概率，從而為多階段任務決策系統路徑規劃和任務優化提供依據。

1 齒隙模型

死區模型可描述為

式中:M 為驅動、從動部分的傳遞轉矩;k 為剛性系數;C 為阻尼系數;2α 為齒隙;Δθ(t)= θ(t)-為驅動、從動部分的傳動比，θ(t)為主動軸轉角，θp(t)為從動軸轉角。文獻［16］提出的“彈性沖擊”模型在上述死區模型中引入靜態傳遞誤差和變剛性系數其中Ωh為內部激勵基頻，φei和φki為初相角，令

由于齒隙對機械臂末端定位精度的影響僅與運動結束時驅動和從動輪相互交錯的齒有關，而機械臂路徑規劃中總是對運動即將結束時的關節角速度最小化，另一方面，齒輪材料通常具有很大的剛性系數，因此上述模型中齒輪的形變Δθ(t)與齒隙相比可以忽略不計，于是有

若以從動齒輪為參照物，(3)式意味著主動齒輪的一個齒在從動齒輪兩個鄰齒之間的位移為e(t).由于粘滯力、摩擦力以及齒面、齒型等制造誤差的存在，位移的終止時間具有一定的隨意性，從而位移e(t)本身具有一定的隨意性，因此不妨認為e(t)是一個隨機變量。

Kenneth 在闡述將信號噪聲作為隨機變量的理由時說［17］:“隨機變量是用于描述未知污染信號的一個術語。‘隨機’一詞實際上是我們對過程缺乏了解情況下的一種委婉的說法，它忽略了物理性質不為人們所熟知，或詳細分析起來太復雜的過程所涉及的結果。因此如果我們僅有信號的一般知識，而對其細節缺乏了解，就將其描述為隨機變量。”這也是將e(t)作為隨機變量的理由。

此外，利用Monte Carlo 方法通過仿真也可以驗證e(t)是隨機變量，且可以估計出e(t)的分布。仿真實驗裝置如圖1所示，木板上水平放置一個量角器，轉軸穿過量角器的頂點并與量角器的面垂直。一根模擬機械臂的鋼絲與軸套連接，軸套內壁涂上黃油套在轉軸上，以減小轉動摩擦阻力。鋼絲的另一端連接一個用來模擬載荷的實心金屬重物。在木板上80°角和100°角的附近分別釘一顆釘子，用來模擬主動齒輪的兩個齒對從動齒輪的限位和反彈作用。

圖1 實驗裝置Fig.1 Experimental apparatus

為驗證鋼絲角位移(與末端位移相對應)的隨機性，需要在每次實驗中在水平方向上給金屬重物施加相同的力(模擬空間的慣性力)，為此，將一個高度固定的鐵球從傾斜的滾動槽中滾下，撞擊金屬重物，使之帶動鋼絲在兩個釘子之間來回振蕩，經一段時間后鋼絲停止，從量角器上觀察其角度。

進行20 次實驗，平移到0° ～20°后的角度為19°、4.5°、12°、9.5°、18°、15°、9°、0.5°、16°、9°、12.5°、16°、18.5°、15°、3.5°、8°、18.5°、18.5°、8°、18°.

利用Monte Carlo 方法可以求出e(t)的分布(如圖2所示)。圖2中，直線表示均勻分布的分布函數，折線表示利用Monte Carlo 方法求出的e(t)的分布函數。從中可以看出:e(t)不僅是一個隨機變量，還是一個分布函數與均勻分布十分接近的隨機變量。

以ξ 表示靜態傳遞誤差e(t)，則ξ 是在［-α，α］內取值的隨機變量，且

當ξ 為區間［-α，α］內均勻分布的隨機變量時，其分布密度為

圖2 e(t)和均勻分布的分布函數Fig.2 Distribution functions of e(t)and uniform distribution

2 定位誤差模型

通用6 軸機械臂的結構與坐標系如圖3所示。第i 個關節的角位移為θi，第i 個坐標系的坐標原點為Oi，i=1，2，…，6，定義與前一坐標系對應坐標軸平行的位置為零角位移位置，由Xi向Yi或Zi，由Yi向Zi的旋轉為角位移的正方向，相鄰坐標原點的連線的長度分別為a、b、c、d'、b 和d″.

由于本文研究的是機械臂末端的定位精度，而6 關節機械臂的后3 個關節是用于姿態調整的，因此本文中假定后3 個關節的角位移始終為0.考慮到若記d=d' +d″，則圖3中的6 關節機械臂可簡化為如圖4所示的3 關節機械臂。當X3軸與X0軸平行且方向一致時，機械臂末端E 在基座坐標系O0X0Y0Z0中的坐標為

式中:ξi為關節i(i=1，2，3)齒隙所致傳遞誤差。繞Z0軸旋轉θ1+ξ1后E 在基座坐標系O0X0Y0Z0中的坐標為

圖3 通用6 軸機械臂Fig.3 General 6-axis manipulator

圖4 3 關節機械臂Fig.4 3-joint manipulator

式中:θ23=θ2+θ3.而在無齒隙誤差的情況下，E 在基座坐標系O0X0Y0Z0中的坐標為

定位誤差包括動態和靜態兩種，考慮到機械臂空間應用的需要，本文僅研究靜態定位誤差，并簡稱為定位誤差。因此E 的定位誤差向量的平方模可以表示為

而

將Taylor 公式

代入并去掉二次以上的高階項得

因此齒隙導致的定位平方誤差為

3 定位誤差的極值

(16)式表明，當齒隙導致的關節誤差一定時，定位平方誤差與關節控制角度θ2和θ3有關。以φ表示定位誤差，則

分別對θ2和θ3求偏導數并令其為0，得

即

和

因此，當齒隙導致的關節誤差一定時，定位點距關節2 越近，且俯仰角越接近齒隙導致的定位誤差越小，反之，齒隙導致的定位誤差越大。

4 定位精度的概率分析

以定位誤差的上限作為定位精度，記為φ，則符合定位精度要求的關節角誤差向量(ξ1，ξ2，ξ3)所滿足方程為

(ξ1，ξ2，ξ3)∈［-α，α］3，因此，機械臂末端定位精度達到φ 的概率為

式中:Ω 表示(21)式確定的區域。當p(x1)、p(x2)、p(x3)為均勻分布密度時，

(22)式右端的計算依賴4 種情形:

4.1 情形1

于是

4.2 情形2

此時(21)式轉化為

做變換

后不等式(23)式轉化為

而區域［-α，α］3轉化為［-α，α］×Ω1，其中Ω1是由平面Y= ±α 和Z =(d ±c)Y ±dα 所界的四邊形區域。而

因此

式中:Ω2為(24)式確定的橢圓柱體。

4.3 情形3

此時(21)式轉化為

做變換

后不等式(25)式轉化為

而區域［-α，α］3轉化為［-α，α］×Ω2，其中Ω2是由平面Y= ±α 和Z=(ccos θ3+d)Y±αd 所界的平行四邊形區域，而因此

式中:Ω 是(26)式確定的橢圓柱體。

4.4 情形4

(22)式右端做變換

后(21)式轉化為

或

而區域［-α，α］3轉化為［-α，α］×Ω2，其中Ω2是由平面Y= ±α 和Z=(ccos θ3+d)Y±αd 所界的平行四邊形區域，而因此

式中:Ω 為(27)式確定的橢球區域。

當

包含關系式(28)式成立的條件是:

平面Z = (ccos θ3+ d)Y ± αd 與橢球(ccos θ2+dcos θ23)2X2+ (csin θ3)2Y2+ Z2≤φ2或 直 線Z=(ccos θ3+d)Y±αd 與橢圓(csin θ3)2Y2+Z2≤φ2不相割;方程組

無解。

(31)式的解滿足

即

(31)式無解意味著:

因此包含關系式(28)式成立的條件是(29)式、(30)式和(32)式同時成立。

5 仿真

可見，利用本文中給出的公式可以很方便地計算出機械臂末端定位精度達到φ 的概率，從而對機械臂能夠最可靠地完成任務路徑的選擇提供依據。

6 結論

對于上述機械臂，定位誤差模型表明，機械臂末端的定位誤差不僅依賴于機械臂各關節的誤差，也與定位點或各關節當前的角度有關。當π rad 時定位誤差達到極小值;當θ2=0 rad，θ3=0 rad 時定位誤差達到極大值。同樣的關節誤差，由于定位點不同，定位誤差存在很大差異。

計算機械臂末端達到定位精度φ 的概率比較復雜，為保證計算的實時性，可以將二維關節空間［-α，α］2網格化，對網格頂點處的點逐一計算上述概率并制作概率分布表，使用時通過查表獲取上述概率，這是需要進一步研究的問題。

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