過載指令約束下的導(dǎo)彈導(dǎo)引律設(shè)計(jì)

孟克子，周荻

(哈爾濱工業(yè)大學(xué) 航天學(xué)院，黑龍江 哈爾濱150001)

0 引言

經(jīng)典的比例導(dǎo)引律形式簡單、易于實(shí)現(xiàn)，被廣泛應(yīng)用于引導(dǎo)導(dǎo)彈攔截非機(jī)動(dòng)目標(biāo)或弱機(jī)動(dòng)目標(biāo)且十分有效，但比例導(dǎo)引律用于攔截大機(jī)動(dòng)目標(biāo)時(shí)難以滿足制導(dǎo)精度要求［1］。目前，許多非線性控制方法被用于新型導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)，如幾何控制方法［2］，Lyapunov函數(shù)方法［3］，非線性H∞控制方法［4］，一階滑模控制方法［5-6］等。

在實(shí)際應(yīng)用中，由于物理約束(主要是飽和約束)的存在，導(dǎo)引律產(chǎn)生的過載指令信號(hào)可能會(huì)受到限制，從而會(huì)降低制導(dǎo)性能甚至導(dǎo)致制導(dǎo)系統(tǒng)不穩(wěn)定，尤其是導(dǎo)彈相對(duì)目標(biāo)過載能力優(yōu)勢不大的情況，如空空導(dǎo)彈攔截?zé)o人機(jī)，無人機(jī)由于無人駕駛可執(zhí)行較大的過載機(jī)動(dòng)。目前，過載指令約束下的導(dǎo)引律設(shè)計(jì)主要采用最優(yōu)控制方法［7-11］。Rusnak等［7-9］以零脫靶量和能量最優(yōu)為性能指標(biāo)，基于極小值原理推導(dǎo)了過載指令約束下的最優(yōu)導(dǎo)引律。Hexner 等［10-11］針對(duì)導(dǎo)彈的過載指令飽和以及目標(biāo)的隨機(jī)機(jī)動(dòng)特性，采用線性二次型高斯(LQG)理論和隨機(jī)輸入描述函數(shù)(RIDF)設(shè)計(jì)了過載指令約束下的最優(yōu)導(dǎo)引律。需要說明的是，文獻(xiàn)［7 -11］中采用的是以目標(biāo)-導(dǎo)彈在參考直角坐標(biāo)系中的縱向相對(duì)位置(或相對(duì)位置)及其導(dǎo)數(shù)作為主要狀態(tài)變量的線性時(shí)不變制導(dǎo)方程。而通常采用在極坐標(biāo)下建立的以目標(biāo)-導(dǎo)彈相對(duì)距離及視線角速率為主要狀態(tài)變量的制導(dǎo)方程依據(jù)準(zhǔn)平行接近理論設(shè)計(jì)導(dǎo)引律更具實(shí)際意義。

Farrell 等［12］針對(duì)輸入飽和的不確定非線性系統(tǒng)，提出了指令濾波backstepping 方法，能夠有效消除飽和非線性的影響。Farrell 等［13］和Sonneveldt等［14］成功地將指令濾波backstepping 方法用于輸入飽和的非線性飛行設(shè)計(jì)問題。指令濾波backstepping 方法通過引入指令濾波器和構(gòu)造輔助微分方程來處理飽和約束，同時(shí)指令濾波器避免了傳統(tǒng)backstepping方法中由于對(duì)虛擬控制的解析求導(dǎo)而出現(xiàn)的“項(xiàng)數(shù)爆炸”現(xiàn)象。

另外，導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性是影響制導(dǎo)精度的主要因素之一。Chwa 等［15］采用滑模控制設(shè)計(jì)了考慮導(dǎo)彈控制回路動(dòng)態(tài)特性的自適應(yīng)非線性導(dǎo)引律。考慮導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀的一階動(dòng)態(tài)特性，孫勝等［16］利用backstepping 方法設(shè)計(jì)了三維非線性導(dǎo)引律。曲萍萍等［17-18］采用動(dòng)態(tài)面控制法設(shè)計(jì)了考慮導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀二階動(dòng)態(tài)特性的平面及三維非線性導(dǎo)引律。

鑒于指令濾波backstepping 方法的優(yōu)點(diǎn)及導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀動(dòng)態(tài)特性對(duì)制導(dǎo)精度的影響，本文基于以目標(biāo)-導(dǎo)彈相對(duì)距離和視線角速率為主要狀態(tài)變量的平面制導(dǎo)方程，采用指令濾波backstepping 方法在導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀存在二階動(dòng)態(tài)延遲的情況下設(shè)計(jì)了一種過載指令約束下的導(dǎo)引律，并針對(duì)視線方向施加控制和不施加控制兩種情況進(jìn)行了仿真驗(yàn)證。

1 問題描述

平面內(nèi)目標(biāo)-導(dǎo)彈相對(duì)運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系如圖1所示，其中M 和T 分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的質(zhì)心，R 表示目標(biāo)-導(dǎo)彈之間的相對(duì)距離，q 表示視線角，vm和vt分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的速度，θm和θt分別表示導(dǎo)彈和目標(biāo)的彈道傾角。

圖1 平面內(nèi)目標(biāo)-導(dǎo)彈相對(duì)運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系Fig.1 Relative kinematic relationship between target and missile in the plane

由圖1可導(dǎo)出目標(biāo)-導(dǎo)彈相對(duì)運(yùn)動(dòng)學(xué)方程為

(1)式相對(duì)時(shí)間t 求導(dǎo)并整理，可得

式中:atR和atq分別表示目標(biāo)加速度沿視線方向和視線法向的分量;amR和amq分別表示導(dǎo)彈加速度沿視線方向和視線法向的分量。

過載指令約束下的導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀二階動(dòng)態(tài)特性為

式中:

ζ 和ωn分別表示自動(dòng)駕駛儀二階動(dòng)態(tài)特性的阻尼比和自然振蕩角頻率;u1和u2分別表示視線方向和視線法向的導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀過載指令。

設(shè)末制導(dǎo)的初始時(shí)刻為0，結(jié)束時(shí)刻為tf. 為了攔截目標(biāo)，期望tf時(shí)刻R 變?yōu)?. 而R 變?yōu)? 的充分條件是目標(biāo)-導(dǎo)彈相對(duì)速度滿足(4)式所示的約束關(guān)系。文獻(xiàn)［6，19］采用變結(jié)構(gòu)控制設(shè)計(jì)了視線方向的導(dǎo)引律u1. 而文獻(xiàn)［20 -21］認(rèn)為漸近穩(wěn)定并非R 的理想響應(yīng)特性，其以局部穩(wěn)定原則設(shè)計(jì)了不以R 漸近穩(wěn)定為目標(biāo)的視線方向?qū)б蓇1，且制導(dǎo)性能更高。由此，本文在假設(shè)推力可控的條件下依循文獻(xiàn)［20 -21］的思路設(shè)計(jì)u1.

式中:ζ=const ＞0.

x1-子系統(tǒng):

x2-子系統(tǒng):

通常目標(biāo)加速度難以測量，但其一定是有界的，在導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)過程中將其視為有界干擾，滿足|atq| ＜ε1和|atR| ＜ε2，其中ε1、ε2(可根據(jù)對(duì)目標(biāo)加速度的估計(jì)而定)為已知的正常數(shù)。

2 視線法向?qū)б稍O(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

2.1 指令濾波器

指令濾波器［15-17］的方框圖如圖2所示，x0d為濾波前的虛擬/名義控制指令。濾波器狀態(tài)空間形式為

式中:SF(·)和SS(·)分別為對(duì)應(yīng)于幅值與速率的飽和函數(shù)，SF(·)與SS(·)的定義類似，表示為

式中:xU和xL分別為變量x 的上限和下限。

圖2 指令濾波器Fig.2 Command filter

指令濾波器的功能:1)計(jì)算虛擬控制xd及其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)，消除了傳統(tǒng)backstepping 方法中虛擬控制的解析求導(dǎo)運(yùn)算;2)保證虛擬控制xd及其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)滿足約束。如果采用指令濾波器只是為了計(jì)算xd及其導(dǎo)數(shù)，那么xU應(yīng)取為正無窮大，xL應(yīng)取為負(fù)無窮大，此時(shí)指令約束不起作用。指令濾波器轉(zhuǎn)化為

注意到，如果x0d有界，則xd和有界且連續(xù)。則誤差xd-x0d總是有界的。當(dāng)指令信號(hào)不存在約束時(shí)，可以通過選取比x0d的帶寬大的多的ω'n使得誤差xd-x0d為任意小。

2.2 視線法向?qū)б稍O(shè)計(jì)

定義跟蹤誤差

式中:x11d=0 為視線角速率的期望值，x1id(i =2，3)將在下文中定義。

式中:k11=constant ＞0;為跟蹤誤差的修正項(xiàng)，將在下文中定義。

基于指令濾波backstepping 方法，過載指令約束下的視線法向?qū)б傻脑O(shè)計(jì)步驟如下:

1)定義

式中:ζ12將在下文中定義。虛擬控制經(jīng)過指令濾波器產(chǎn)生幅值、速率和帶寬約束的虛擬控制x12d及其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)定義輔助微分方程

(13)式為構(gòu)造的線性穩(wěn)定的輔助微分方程，ζ11表征了約束對(duì)跟蹤誤差的影響，下文中的ζ12、ζ13、ζ23、ζ24與ζ11意義類似。

2)定義修正跟蹤誤差

3)定義

式中:k12=constant ＞0;ζ13將在下文中定義。虛擬控制經(jīng)過指令濾波器產(chǎn)生帶約束的虛擬控制x13d及其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)定義輔助微分方程

4)定義名義控制

式中:k13=constant ＞0. 名義控制經(jīng)過指令濾波器產(chǎn)生帶約束的控制u2d. 定義輔助微分方程

在指令濾波器的作用下，u2d位于飽和界限范圍之內(nèi)，是物理上可執(zhí)行的。由此，認(rèn)為

需要說明的是，指令濾波backstepping 視線法向?qū)б刹⒎侨馕霰磉_(dá)式，而是中間表達(dá)式(12)式、(15)式、(17)式，輔助微分方程(13)式、(16)式、(18)式以及指令濾波器的組合，其實(shí)現(xiàn)過程如圖3所示。制導(dǎo)律中含有的微分方程為低階線性方程，只需用4 階龍格-庫塔法進(jìn)行簡單的數(shù)值積分運(yùn)算，我們?cè)谄胀ǖ挠?jì)算機(jī)上用Matlab 編程實(shí)現(xiàn)該制導(dǎo)算法時(shí)，解算出一拍的制導(dǎo)指令只需要10 ms. 考慮到現(xiàn)代計(jì)算機(jī)的快速解算能力，該導(dǎo)引律在彈上用數(shù)字信號(hào)處理器實(shí)現(xiàn)并不困難。

圖3 指令濾波backstepping 視線法向?qū)б山Y(jié)構(gòu)框圖Fig.3 Block diagram of guidance law along the normal direction of LOS based on command filtered backstepping

2.3 基于Lyapunov 函數(shù)的x1-子系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

結(jié)合定義(9)式和(14)式，分別將(11)式～(13)式代入(20)式中，得

結(jié)合定義(14)式和(21)式～(23)式，可得修正跟蹤誤差(i=1，2，3)的動(dòng)態(tài)為

(27)式對(duì)時(shí)間t 求導(dǎo)并將(24)式～(26)式代入，得

式中:k1=min{k1i，i=1，2，3}. 求解(28)式，得

由(29)式可知，無論控制及中間虛擬控制是否飽和，修正跟蹤誤差(i =1，2，3)都將隨著時(shí)間t趨于無窮大而趨于0，而實(shí)際跟蹤誤差(i =1，2，3)無此性質(zhì)。但是，文中只考慮名義控制的飽和非線性，中間虛擬控制狀態(tài)(i=2，3)不存在飽和約束，亦即2.2 節(jié)中1 步和3 步中采用的是(8)式所示的指令濾波器，而4 步中采用的是(7)式所示的指令濾波器且只約束幅值。由此，誤差u2d-非0但有界，而誤差x1id-x01id(i=2，3)在(8)式所示的濾波器作用下可為任意小。則變量ζ13非0 但有界而變量ζ11和ζ12將趨近于0. 零化ζ11使得修正跟蹤誤差11趨于實(shí)際跟蹤誤差由此，視線角速率q·漸近趨近于0，滿足視線法向?qū)б蓇2的設(shè)計(jì)目標(biāo)。

3 視線方向?qū)б稍O(shè)計(jì)及穩(wěn)定性分析

若導(dǎo)彈在制導(dǎo)過程中，推力不可控或推力為0，則(4)式要依靠制導(dǎo)過程初始時(shí)刻目標(biāo)-導(dǎo)彈相對(duì)運(yùn)動(dòng)幾何關(guān)系保證。若導(dǎo)彈在制導(dǎo)過程中，推力大小和方向可控，為使?jié)M足(4)式所示的約束，則可以按如下步驟設(shè)計(jì)視線方向?qū)б蓇1.

3.1 視線方向?qū)б稍O(shè)計(jì)

選取虛擬控制

在虛擬控制μ2的作用下，有

求解(31)式，得

式中:x22(0)=(0). 選取(0)= -ζ，則對(duì)?t∈［0，tf)，有=x22≤-ζ ＜0，滿足(4)式所示的約束關(guān)系。

視線方向上導(dǎo)引律的設(shè)計(jì)目標(biāo)轉(zhuǎn)化為:在u1的控制作用下，使x23跟蹤μ2的變化，從而使目標(biāo)-導(dǎo)彈相對(duì)速度滿足(4)式所示的約束關(guān)系。記

定義跟蹤誤差

式中:k23=constant ＞0.

基于指令濾波backstepping 方法，過載指令約束下的視線方向?qū)б傻脑O(shè)計(jì)步驟如下:1)定義

式中:ζ24將在第3 步中定義。虛擬控制經(jīng)過指令濾波器產(chǎn)生帶約束的虛擬控制x24d及其對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù). 定義輔助微分方程

2)定義修正跟蹤誤差

3)定義名義控制

式中:k24=constant ＞0. 名義控制經(jīng)過指令濾波器產(chǎn)生帶約束的控制u1d. 定義輔助微分方程

在指令濾波器的作用下，u1d位于飽和界限范圍之內(nèi)，亦即是物理上可執(zhí)行的。由此，認(rèn)為

與視線法向?qū)б上嗤暰€方向?qū)б梢卜侨馕龅男问剑鋵?shí)現(xiàn)的結(jié)構(gòu)框圖與圖3類似，這里不再給出。

3.2 基于Lyapunov 函數(shù)的x2-子系統(tǒng)穩(wěn)定性分析

(47)式對(duì)時(shí)間t 求導(dǎo)并將(45)式和(46)式代入，得

式中:k2=min{k2j，j=3，4}.

設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律中所需的變量視線角及視線角速率、目標(biāo)-導(dǎo)彈相對(duì)距離及其相對(duì)時(shí)間的導(dǎo)數(shù)以及導(dǎo)彈的加速度可以通過測量獲得，導(dǎo)彈的加速度可以依據(jù)加速度的測量值通過濾波器估計(jì)獲取。

對(duì)于指令濾波backsteppping 而言，為了保證Lyapunov 穩(wěn)定性，只要求k1i(i=1，2，3)和k2j(j =3，4)大于0，而通常選擇k11＜k12＜k13，k23＜k24以獲得更好的響應(yīng)特性。根據(jù)文獻(xiàn)［10 -11］中指令濾波器參數(shù)的選取規(guī)則，阻尼比取為ζ' =1 且選取ω'n時(shí)保證下一步指令濾波器中的ω'n大于上一步指令濾波器的ω'n.

4 仿真驗(yàn)證

表1 導(dǎo)彈與目標(biāo)初始運(yùn)動(dòng)參數(shù)Tab.1 The initial motion parameters of missile and target

4.1 視線方向施加控制作用

視線方向施加控制作用時(shí)，將設(shè)計(jì)的視線法向?qū)б珊鸵暰€方向?qū)б删C合記為NG1，相關(guān)參數(shù)εi=90(i =1，2)，k11=0.2，k12=0.4，k13=2，k23=3.37，k24=5.43，σ =0.05. 指令濾波器參數(shù)如表2所示。為了進(jìn)行比較，引入局部滑模導(dǎo)引律［18］(PSMG):

表2 指令濾波器參數(shù)Tab.2 Parameters of command filter

視線方向施加控制作用時(shí)的數(shù)值仿真結(jié)果如圖4～圖7所示。從圖4和圖5可以看出，無論是PSMG 還是NG1，可實(shí)施的過載指令信號(hào)都受到了一定程度的飽和約束;由于在設(shè)計(jì)NG1 的過程中對(duì)飽和約束進(jìn)行了處理，所以視線角速率在約5.1 s 時(shí)收斂至0 附近的微小鄰域內(nèi)且直至最后一刻才發(fā)散，而PSMG 在設(shè)計(jì)過程中未對(duì)飽和約束進(jìn)行處理且未考慮自動(dòng)駕駛儀的動(dòng)態(tài)特性，其視線角速率發(fā)散較早，如圖6所示。最終，PSMG的脫靶量為9.85 m而NG1 的脫靶量只有0.05 m.由于兩種情況下沿視線方向的控制作用基本相同(如圖4所示)，以致導(dǎo)彈接近目標(biāo)的速度幾乎相等(如圖7所示)，最終二者的攔截時(shí)間基本相當(dāng)，PSMG 的攔截時(shí)間為7.70 s，NG1 的攔截時(shí)間為7.71 s.

圖4 視線方向施加控制時(shí)視線方向過載指令Fig.4 Acceleration command along LOS for controlling along LOS

圖5 視線方向施加控制時(shí)視線法向過載指令Fig.5 Acceleration command along the normal direction of LOS for controlling along LOS

圖6 視線方向施加控制時(shí)的視線角速率Fig.6 LOS angular rate for controling along LOS

4.2 視線方向不可控

視線方向不施加控制時(shí)，只考慮視線法向?qū)б桑洖镹G2，相關(guān)參數(shù)與視線方向施加控制的情況相同。同樣為了比較分析，引入增廣比例導(dǎo)引律(APN):

圖7 視線方向施加控制時(shí)目標(biāo)-導(dǎo)彈相對(duì)速度Fig.7 Relative velocity between target and missile for controlling along LOS

式中:N=3.4，假設(shè)目標(biāo)加速度atq準(zhǔn)確已知。

視線方向不施加控制時(shí)的數(shù)值仿真結(jié)果如圖8～圖10所示。在APN 和NG2 產(chǎn)生的過載指令都存在飽和現(xiàn)象的情況下，APN 的脫靶量為2.3 m而NG2 的脫靶量只有0.13 m. 同時(shí)，兩種情況下視線方向都未施加控制作用，導(dǎo)彈-目標(biāo)接近速度基本相當(dāng)，最終攔截時(shí)間都是8.66 s.

最后，對(duì)比NG1 和NG2 的結(jié)果可知，視線方向施加控制作用能夠使導(dǎo)彈以更快的速度接近目標(biāo)，攔截時(shí)間更短。需要強(qiáng)調(diào)的是，以往對(duì)PSMG 和APN 的理論分析都是在不考慮過載指令約束的情況下做出的，當(dāng)然性能良好。而將其應(yīng)用于過載指令受限的情況下出現(xiàn)了正、負(fù)飽和現(xiàn)象，導(dǎo)致脫靶量下降。

圖8 視線方向不可控時(shí)視線法向過載指令Fig.8 Acceleration command along the normal direction of LOS for uncontrolling along LOS

圖9 視線方向不可控時(shí)的視線角速率Fig.9 LOS angular rate for uncontrolling along LOS

圖10 視線方向不可控時(shí)目標(biāo)-導(dǎo)彈相對(duì)速度Fig.10 Relative velocity between target and missile for uncontrolling along LOS

5 結(jié)論

考慮到導(dǎo)彈過載指令的飽和非線性以及導(dǎo)彈自動(dòng)駕駛儀的動(dòng)態(tài)延遲特性，基于平面目標(biāo)-導(dǎo)彈相對(duì)運(yùn)動(dòng)方程，以“零化視線角速率”及“目標(biāo)-導(dǎo)彈相對(duì)速度應(yīng)小于一個(gè)負(fù)常數(shù)”為原則，采用指令濾波backstepping 方法設(shè)計(jì)了平面攔截導(dǎo)引律，指令濾波器不僅起到約束制導(dǎo)指令幅值的作用而且避免了傳統(tǒng)backstepping 方法中“項(xiàng)數(shù)爆炸”的現(xiàn)象。研究結(jié)果表明，設(shè)計(jì)的導(dǎo)引律在過載指令飽和時(shí)仍能保證制導(dǎo)系統(tǒng)穩(wěn)定且具有較高的制導(dǎo)精度。

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