被動式半捷聯平臺的動力學模型及其穩定性分析

段曉敏，李杰，劉俊

(中北大學儀器科學與動態測試教育部重點實驗室，山西 太原030051)

0 引言

被動式半捷聯平臺的研究是為了解決捷聯式慣性導航系統在某些高速滾轉飛行的制導炮彈中無法有效應用的問題。彈體的高速滾轉會使得微機電系統(MEMS)陀螺儀無法有效測量滾轉角速率，從而不能準確地建立姿態矩陣［1-2］。被動式半捷聯平臺是一種采用機械裝置實現與彈體滾轉隔離的慣性平臺，被動式半捷聯平臺可以使微慣性測量單元(MIMU)在滾轉方向保持穩定，而在俯仰和偏航方向保持捷聯。影響被動式半捷聯平臺性能的因素有很多，其中彈體的飛行俯仰角是一個非常重要的影響因素，研究彈體飛行俯仰角的變化與被動式半捷聯平臺的穩定性關系具有重要的工程意義。

目前應用于小口徑常規火箭彈的滾轉穩定方案通常是采用伺服電機在滾轉軸穩定慣導系統，這種方案由于伺服電機的引入從而導致其抗過載能力較差。Imbault 等介紹了美國桑迪亞國家實驗室研發的一種微小型滾轉穩定式慣性測量系統，可應用于低過載、高轉速火箭彈的姿態測量［3］。王晨等對一種火箭彈大動態單軸平臺慣導系統的姿態算法進行了研究［4］。

無陀螺捷聯慣導系統可以應用于高速滾轉制導炮彈的姿態測量，但測量精度較低。在無陀螺捷聯慣導系統中引入磁傳感器對于測量彈體姿態有一定幫助，但磁傳感器通常容易受到外界干擾而產生較大的誤差。美國的ANSR 炮彈使用的是由6 個加速度計和一個三軸磁傳感器組成的捷聯式慣性導航系統，Ohlmeyer 等對此系統做了介紹［5］。由MEMS 傳感器組成的低成本MIMU 和磁傳感器的組合系統被用于滾轉炮彈姿態的測試，Davis 對此作了研究［6］。劉朝華等研究了利用MEMS 加速度計測量彈體滾轉角的方法［7］。李枚等針對振動和高速自旋的環境對微慣性測量單元與地磁傳感器組合導航方法進行了研究［8］。

本文給出的被動式半捷聯平臺，采用了由質量偏心結構提供回復力矩的設計實現平臺在彈體滾轉軸的穩定。該平臺可以給MIMU 提供合適的應用環境。這種方案避免了伺服電機的使用，同時MIMU由適用于高過載環境下的MEMS 工藝制造的三正交陀螺儀和三正交加速度計組成，從而可以提高系統整體的抗過載能力，同時這種平臺可以滿足制導炮彈對慣性測量系統的小體積和低成本的要求。

本文對被動式半捷聯平臺進行了動力學建模，得到了平臺內筒的運動微分方程。通過軟件仿真計算和高速轉臺實驗研究了彈體飛行俯仰角對平臺穩定性的影響。主要內容包括:被動式半捷聯平臺組成及工作原理，動力學建模，方程的數值求解和地面半實物仿真實驗。

1 平臺組成及工作原理

本文給出的被動式半捷聯平臺的設計利用了復擺在重力作用下的運動原理。其核心是采用了質量塊偏心安裝的結構獲得回復力矩來平衡由彈體的滾轉運動對平臺引起的摩擦力矩從而讓平臺獲得穩定。如圖1所示為復擺運動原理圖，當復擺受外力矩作用離開豎直方向的平衡位置后，由于復擺受到重力作用的原因，會產生回到平衡位置的回復力矩，從而維持復擺穩定在平衡位置附近。圖2為被動式半捷聯平臺的結構剖面圖，平臺主要由發射過載轉移裝置、軸承、質量塊、MIMU、電池和解算電路板組成。兩個深溝球軸承支撐起一個內筒，內筒內部用來安裝MIMU、解算電路板、電池和質量塊。質量塊用來降低內筒相對彈軸的質心位置。發射過載轉移裝置用來承受在發射瞬間內筒向后的沖擊力。彈體在飛行過程中高速滾轉時，平臺內筒利用質量偏心產生的回復力矩通過軸承與彈體滾轉軸保持隔離。

圖1 復擺運動原理示意圖Fig.1 Schematic diagram of compound pendulum motion

圖2 平臺結構剖面圖Fig.2 Sectional drawing of platform

被動式半捷聯慣性測量系統的工作原理如圖3所示，彈體飛行的俯仰角為α(t)，彈體高速滾轉，半捷聯平臺安裝在彈體內部，平臺內部安裝有MIMU和解算模塊，平臺和彈體之間相對轉速信息通過光電編碼器測出并由無線傳輸裝置傳送至平臺內部的解算模塊。

圖3 被動式半捷聯慣性測量系統工作示意圖Fig.3 Schematic diagram of the partial strapdown inertial measurement system

2 平臺的動力學模型建立

首先分析彈體在飛行過程中的受力情況，假設彈體飛行時的攻角很小，彈體的受力情況如圖4所示，彈體在空中主要受到豎直向下的重力、垂直于彈軸方向的升力、分別沿彈軸前后兩個方向的推力和阻力的作用。另外，彈體在豎直方向的加速度為av(t)，其大小由重力和升力在豎直方向的分力的合力決定。

圖4 炮彈飛行時受力示意圖Fig.4 Force condition of the flying projectile

根據彈體在飛行時的受力情況和運動狀態可以分析得出安裝在其內部的被動式半捷聯平臺內筒的受力情況。如圖5所示，在彈體飛行過程中，由于炮彈的旋轉運動，使得彈體與半捷聯平臺內筒之間會通過軸承滾動產生摩擦力的作用。在豎直方向上，半捷聯式平臺內筒受到重力作用。在徑向上，由于炮彈受到空氣升力的作用，半捷聯平臺內筒會受到軸承對其支撐力的作用。在軸向上，由于炮彈受到推力和空氣阻力的作用，半捷聯平臺內筒也會受到軸承對其支撐力的作用。這里兩個支撐力分別構成了軸承的軸向載荷與徑向載荷。圖5中，C 為內筒質心，l 為擺的等效擺長。

圖5 平臺內筒受力示意圖Fig.5 Force condition of the platform’s inner cylinder

根據圖4彈體和圖5平臺內筒的受力情況，結合需要解決的問題，建立了如圖6所示的簡化力學模型。圖6(a)中，一個轉動慣量為I0、質量為m、擺長為l 的擺，在摩擦力矩Mf和重力G 的作用下產生的擺動角度為θ(t). 擺的支撐體(實際為彈體)在豎直方向上受到重力Gp的作用，同時還受到支撐力Fs(實際為升力)的作用，擺的支撐體在Gp和Fs的作用下在豎直方向形成加速度av(t). 另外，圖6(a)中的擺與彈體俯仰角的關系為如圖6(b)所示，擺的擺動平面始終與俯仰角為α(t)的直線(實際為彈體軸向)垂直。

根據圖5所示的內筒受力分析和圖6所示的簡化的力學模型來建立平臺內筒的動力學方程。圖6中擺受到的總的力矩和M 等于摩擦力矩Mf與重力回復力矩Mg的矢量和:

式中:Mg與重力加速度g、彈體在豎直方向的加速度av(t)、擺動角度θ(t)、擺長l 和彈體俯仰角α(t)之間的關系表達式為

從(2)式中可以看出，當俯仰角α(t)為90°時，回復力矩Mg為0.

軸承的摩擦力矩Mf的SKF 表達式［9］為

式中:Mrr為滾動摩擦力矩;Msl為滑動摩擦力矩;Msc為密封件摩擦力矩;Md為阻力損失、攪動、潑濺等的摩擦力矩。其中Mrr和Msl與彈體俯仰角的變化相關。俯仰角的變化會導致軸承軸向負荷與徑向負荷發生變化，而軸向負荷變化會導致滾珠與軸承軸向接觸面之間的滾動摩擦力矩和滑動摩擦力矩變化，徑向負荷變化會導致滾轉與軸承徑向接觸面的滾動摩擦力矩與徑向摩擦力矩發生變化，最終導致Mrr與Msl的變化。其變化關系為:隨著俯仰角的增大，Mrr和Msl的值會先增大，當俯仰角增大到一定值時，Mrr和Msl會達到最大值，此時當俯仰角再繼續增大時，Mrr和Msl又會逐漸減小。

由牛頓第二定律知，外力矩沿固定軸分量的代數和等于對該軸的轉動慣量與角加速度的乘積，因此總的力矩和M 還可以表示為

結合(1)式與(4)式得到

將(2)式帶入(5)式得到被動式半捷聯平臺內筒的動力學方程:

(6)式描述了被動式半捷聯平臺內筒轉動角度θ(t)與彈體俯仰角α(t)、彈體在豎直方向的加速度av(t)、軸承的摩擦力矩Mf、平臺內筒轉動慣量I0、內筒質量m、重力加速度g 以及等效擺長l 之間的關系。由于(6)式為二階齊次非線性常微分方程，無法用解析法對其進行求解，為了對平臺的穩定性做進一步的研究，需要借助Matlab 用數值積分法對方程進行求解。

3 俯仰角對平臺穩定性影響的計算仿真

在進行數值計算之前，需要先把(6)式簡化成一階微分方程組。引入輔助變量y1= θ(t)，y2=代入(6)式得到一階微分方程組:

方程組(7)式中，假設下落加速度av(t)=0，g為恒定值，計算所需其他參數采用某被動式半捷聯平臺實驗樣機的實際參數，如表1所示。

表1 半捷聯平臺計算參數Tab.1 Parameters of partial strapdown platform

由半捷聯平臺內筒的力學模型可知，在俯仰角α(t)＜90°時，質量偏心可以形成復擺運動效應，因此仿真時將α(t)值分別取0°、15°、30°、45°、60°和75°，軸承摩擦力矩Mf的大小與俯仰角α(t)相關，不同α(t)對應的Mf的計算值如表2所示。

表2 不同α(t)下Mf 的計算值Tab.2 Calculated values of friction torque Mf with different α(t)

將表1和表2中的參數代入方程組(7)式中，并設初值y1(0)=0，y2(0)=0，在Matlab 中利用4 階龍格-庫塔法進行計算求解得到如圖7所示的不同俯仰角下(t)和θ(t)解。

圖7(a)～圖7(f)分別顯示了俯仰角α(t)在0° ～75°時被動式半捷聯平臺內筒滾轉角速率(t)和角度θ(t)的時間曲線。從圖7(a)～圖7(f)中的(t)的曲線可以看出，(t)的計算值正負對稱，符合復擺的運動規律。從θ(t)的曲線可以看出，θ(t)的計算值都在正區間內，這是由于在求解方程時假定θ(t)和(t)初值為0，并且軸承摩擦力矩方向總是朝著軸承的旋轉方向。從圖7(a)～圖7(f)中可以看出(t)和θ(t)的幅值和周期都隨俯仰角α(t)的增大而增大，因此俯仰角α(t)越小，平臺越穩定。

圖7 仿真曲線圖Fig.7 Simulation results

4 地面半實物仿真實驗

為了對所建立的被動式半捷聯平臺的動力學模型以及圖7中的計算結果進行驗證，在三軸高速轉臺上對被動式半捷聯平臺樣機進行了地面半實物仿真實驗。用轉臺在滾轉方向的高速旋轉模擬彈體的高速滾轉，轉臺在俯仰方向的變化模擬彈體的俯仰角變化。將被動式半捷聯平臺樣機安裝在轉臺內部，通過安裝在平臺內筒的角速率傳感器測量得到內筒的擺動角速率(t)值，同時通過積分得到擺動角度θ(t)值。

設置轉臺滾轉方向保持10 r/s 的高轉速，俯仰方向分別設置在0°、15°、30°、45°、60°和75°. 實驗情況如圖8所示，實驗得到平臺內筒的擺動角速率(t)和角度θ(t)的曲線圖如圖9所示。

圖8 高速轉臺實驗Fig.8 Experiment on the high-speed turntable

圖9(a)～圖9(f)分別為轉臺俯仰方向設置在0° ～75°時被動式半捷聯平臺內筒的擺動角速率(t)和角度θ(t)的實測曲線。從圖9(a)～圖9(f)可以看出，平臺內筒在做復擺擺動運動，且擺動角速率(t)與角度θ(t)隨著俯仰角的增大而增大。將圖9中的實驗結果與圖7中的仿真結果進行對比，轉臺實驗結果與仿真計算結果中角速率(t)和角度θ(t)波形周期的差別不明顯，并且波形幅值隨俯仰角的增大而增大的規律也相符。但由于實驗所用的被動式半捷聯平臺樣機存在一定的機械加工誤差，以及轉臺與平臺之間存在一定的安裝誤差，導致實驗結果與計算結果也存在一些差別，比如圖9(a)中角速率波形的第二個波峰、圖9(d)中角速率波形的第一、二個波峰以及圖9(f)中角速率波形的第一個波谷都存在一定的抖動，這是由于受到機械誤差和轉臺震動影響軸承摩擦力矩瞬間發生跳變造成的。另外圖9(e)和圖9(f)中角速率曲線分別出現了兩個峰值相差較大的情況，產生這個變化的主要是因為隨著俯仰角的增大，軸承的啟動扭矩變大，而軸承啟動扭矩的變大導致軸承在從靜止到轉動的過程中所需克服的靜摩擦力矩增大。當軸承開始正常轉動后，軸承摩擦力矩恢復為正常的Mf，從而使后面的角速率曲線又恢復正常。總體上轉臺實驗曲線結果與計算求解曲線結果規律相吻合，驗證了所建立的平臺動力學模型，得出俯仰角越小，被動式半捷聯平臺越穩定的規律。

圖9 高速轉臺實驗結果Fig.9 Test results of the high-speed turntable

5 結論

本文介紹了一種適用于高速滾轉制導炮彈的被動式半捷聯平臺。通過對彈體及平臺進行力學分析，建立了半捷聯平臺內筒的動力學模型，通過數值計算得出了不同彈體俯仰角下半捷聯式平臺內筒的滾動角度和角速率，并在三軸高速轉臺上進行了半實物仿真實驗驗證。轉臺實驗結果與仿真結果都說明彈體俯仰角的大小對半捷聯式平臺有直接的影響，彈體俯仰角越小，半捷聯式平臺越穩定。本研究對被動式半捷聯平臺的適用條件研究做出了一定的理論貢獻，對于解決制導炮彈上慣性測量系統的應用問題具有一定的指導意義。

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