不確定環境下后驗概率約束的匹配場處理

王奇，王英民，茍艷妮

(西北工業大學 航海學院，陜西 西安710072)

0 引言

匹配場處理(MFP)技術能夠成功地將水聲信道的物理特性和傳統的信號處理算法相結合，因此被廣泛地用于對水下目標的被動定位和海洋環境聲學參數反演等方面，其主要方法是采用聲傳播模型［1］(如簡正波模型、拋物方程模型、射線模型等)構建觀測海域的拷貝場向量，并與測量場數據進行“匹配”相關來估計聲源及信道信息［2］。MFP 主要分為兩大類:一是線性匹配場處理器(CMFP)，又稱為Bartlett 處理器;二是自適應匹配場處理器(AMFP). 通常，CMFP 具有優于AMFP 的穩健性，但AMFP 提供了理論上的最高陣增益和定位精度。

然而MFP 具有穩健性差的固有缺點，當環境參數具有不確定性時，也即當計算拷貝場向量所使用的水聲信道模型與實際環境失配時，匹配場處理效果變差，甚至失效。真實的海洋環境受風浪、內波和海水中懸浮物等的影響，是個時變和空變得復雜聲傳播信道。特別是在淺海環境中，海底地形具有更復雜的特點，而且航船等人為因素也使得淺海水聲信道變得更復雜多變，這些不確定因素都極大制約了MFP 的應用。

針對不確定海洋環境，國內外學者提出了許多寬容的MFP 方法，具有代表性的如:多約束匹配場處理器［3］(MCM)、最優不確定場處理器［4］(OUFP)、扇區聚焦(SF)方法［5］等。

MCM 等同于陣列信號處理中的線性約束最小方差波束形成器，屬于一種AMFP，通過對MFP 的權向量添加多個線性約束，從而為環境失配或陣形擾動提供主瓣保護。在MCM 的基礎上，衍生出了鄰域位置約束匹配場處理器(MV-NLC)和最小方差環境擾動約束的匹配場處理器(MV-EPC). MVNLC 以小范圍的位置約束來保護主瓣并克服環境失配，但算法的有效性依賴于環境失配與聲源位置變化的相似程度，等聲速波導中海深誤差常常對應聲源位置變化，但其他類型的環境失配如聲速剖面與地聲參數失配則并無此對應關系，此時算法失效;MV-EPC 利用環境參數擾動范圍內拷貝信號相關矩陣的一階和二階統計特性對主瓣進行保護。OUFP把不確定環境參數當做具有已知先驗知識的隨機變量，然后利用貝葉斯準則把先驗知識轉化為聲源位置的后驗概率密度(PPD)函數，從而實現對目標的定位，該方法是統計意義上最穩健的處理方法，但算法計算PPD 函數時需要在擾動環境參數空間內積分，運算量很大。以上方法的共同點是把環境參數的不確定性引入到了環境參數模型中，從而提高算法的穩健性。相反，SF 方法未使用環境擾動模型，而是用一定區域內的多個拷貝場向量構造了一個投影矩陣，利用投影矩陣消去了噪聲及環境失配對MFP 的影響，從而提高穩健性，但對扇區大小的選擇較難。

關于MFP 的穩健性，國內一些學者也進行了研究，如李建龍等提出了一種貝葉斯處理器［6］，利用測量場推導出了每種環境擾動出現的概率，以此為權系數對不同擾動時匹配場處理器的輸出進行加權，算法針對每種擾動都需要進行MFP，運算量很大;楊坤德等提出了環境擾動的線性匹配場處理器［7］(EPB)，該方法利用環境參數擾動時的拷貝信號相關矩陣構造了一種CMFP，獲得了一定的穩健性，但旁瓣較高。除此之外還有一些其他的穩健算法，如降階的MV-EPC、環境擾動約束的SF等。

以上方法主要從兩個角度考慮來提高算法的穩健性:一是構造在一定范圍內擾動的環境參數模型，在此基礎上為MFP 提供主瓣保護;二是在環境參數擾動模型下從概率估計的角度出發獲得更穩健的性能。鑒于此，本文首先對不確定性環境下的信號向量進行建模，在此基礎上利用貝葉斯準則推導出了位置參數的后驗概率估計，然后從PPD 的角度出發，把CMFP 和EPB 有機結合在了一起，在不確定環境下獲得了較好的寬容性。最后通過對仿真數據和美國SACLANT 研究中心1993年海試數據的處理分析，量化對比了CMFP、AMFP 和MFP-PPC 的定位性能，驗證了算法的在不確定環境下的有效性和穩健性。

1 不確定環境下穩健的匹配場處理

1.1 數據模型及匹配場處理基本原理

設N 元垂直線列陣接收的測量場數據向量在頻域可表示為

式中:ω 是聲源的角頻率;m 和ψ 分別表示聲源位置參數和聲傳播信道參數集;n 為加性高斯白噪聲;x(ω)是接收陣某個時刻在頻率ω 處的一個頻域快拍;復變量a(ω)表示陣接收到信號的強度;s(ω，m，ψ)是聲源位于m 處且環境參數向量為ψ 時，垂線陣接收信號的導向向量。

在進行MFP 的過程中，首先需要由測量場數據計算采樣協方差矩陣R，通常R 可表示成K 個頻域快拍的最大似然估計:

式中:H 代表共軛轉置;X 是由K 個如(1)式所示的頻域快拍組成的N×K 維矩陣，

此時匹配場處理器的輸出B(m)由采樣協方差矩陣R 和權向量w 組成:

設d 為N×1 維拷貝場向量，其中拷貝場向量可由簡正波聲場模型計算。令約束條件為

求解(5)式可得權向量為

此權量被稱為CMFP 的權向量，把wC代入(4)式可得到CMFP 的輸出功率為

用拉格朗日乘子法求解(4)式的最小值且結合(5)式的約束條件可得到AMFP 的權向量和輸出功率為

AMFP 具有優于CMFP 的陣增益及主旁瓣性能，但當水聲環境具有擾動時，特別是信噪比較大時，自適應匹配場極易出現嚴重的“目標自抑制”現象，因此穩健性遠不如CMFP.

1.2 后驗概率密度估計

根據貝葉斯準則聲源位置參數的PPD 函數可表示為

式中:p(m)和p(x)分別代表聲源位置m 和測量場x 的概率密度函數。在測量場數據x 已知的情況下，條件概率密度p(x|m)是位置參數m 的函數。

對(1)式所示的數據模型，由于N 元垂直線列陣各陣元的噪聲是獨立同分布的加性高斯白噪聲，則可以得到條件概率密度p(x|m)，即似然函數:

式中:d(m)是位置為m 時的拷貝場向量。

令?p(x|m)/?a =0 可以求得a 的最大似然估計:

把(12)式代入(11)式可求得似然函數為

式中:

對比(7)式和(14)式可以看出二者等價，(14)式中的BC(m)即是歸一化的線性Bartlett 相關。此時，根據貝葉斯準則PPD 函數可寫為

在高斯白噪聲環境下，對于(1)式所示的頻域快拍模型下，由于:

設在觀察海域，目標在每個網格點出現的概率相等，即p(m)為常數，當先驗概率密度函數p(x)未知時，為了保證PPD 積分為1，定義一個歸一化常量Cx［4，6］，則(15)式可寫為

從(18)式可看出，PPD 是聲源位置參數m 的函數且隨著匹配場處理器輸出的增加單調遞增。

1.3 后驗概率約束的穩健匹配場處理器

由于位置參數的后驗概率密度p(m|x)代表了位置m 處出現目標的概率，因此在由測量場和先驗知識得到p(m|x)后，可以構造如下匹配場處理器，稱為MFP-PPC:

式中:BPPC為MFP-PPC 的輸出功率;BC為CMFP 的輸出功率;BA為AMFP 的輸出功率。

從MFP-PPC 的輸出表達式可看出，該處理器由兩部分組成:一是位置參數的PPD;二是通用的AMFP. PPD 和常規的CMFP，眾所周知，CMFP 具有優于AMFP 的穩健性，因此MFP-PPC 將比單獨的AMFP 更穩健。

令η=(SNR+1)/2，η≥0.5，則(19)式可改寫為

由于調節η 可調整CMFP 對AMFP 約束的程度，因此把η 稱為約束因子。本文后續對MFP-PPC的仿真中使用MV-EPC［8］作為(20)式中的AMFP.

2 仿真分析

2.1 仿真模型及參數設置

意大利西海岸的北厄爾巴島附近的海域是比較典型的淺海海域，本文以此地的環境模型進行仿真分析。仿真中采用的環境參數基線模型如圖1所示，以此構建測量場。假設地聲環境參數存在不確定性，因而無法得出環境參數的真實值，只能根據經驗確定環境參數位于以下范圍內:水深125.5 ～128.5 m，沉積層上表面聲速1 450 ～1 550 m/s，下表面聲速1 500 ～1 600 m/s，沉積層密度1.2 ～2.2 g/cm3，沉積層衰減系數0.0 ～0.4 dB/λ，沉積層厚度0 ～6.0 m，基底聲速1 550 ～1 650 m/s，基底密度1.2 ～2.2 g/cm3，基底衰減系數0.0 ～0.4 dB/λ.

圖1 淺海環境模型Fig.1 Environmental model in shallow water

仿真中使用一個48 元垂直線列陣接收信號，第一個陣元的深度為18.7 m，最后一個陣元的深度是112.7 m，陣元間距為2 m，陣孔徑為94 m. 假設聲源位于70 m 深，5 400 m 遠處，聲源頻率為170 Hz.

本文使用Kraken 簡正波模型計算測量場和拷貝場向量［9-10］，在算法的仿真運算過程中，設MVEPC 的隨機環境擾動的次數L 為30 次;觀測海域的距離3 ～8 km，步長50 m;深度2 ～127 m，步長1.3 m.在仿真MFP-PPC 的過程中還需要用到CMFP，其環境參數設為對MV-EPC 的隨機環境參數擾動，取均值。

2.2 仿真結果

圖2是不確定環境下，信噪比為5 dB 時3 種匹配場處理器的仿真結果。

圖2 信噪比為5 dB 時3 種處理器的模糊平面Fig.2 Ambiguity surfaces of the three processors when SNR is equal to 5 dB

其中圖2(a)是CMFP 的模糊度表面，雖然在圖中(70.9 m，5 450 m)處能夠看到一個主峰，但圖中還有多處旁瓣，如(80 m，4 000 m)處和(83 m，7 500 m)處的旁瓣，且旁瓣幅度較高，約-1.2 dB，不易和主瓣區分。圖2(b)是MV-EPC 的模糊度表面，由于引入了環境擾動約束，在主瓣得到保護的同時旁瓣得到一定程度的抑制，圖中可較容易找到目標。圖2(c)是MFP-PPC 的定位結果，當信噪比為5 dB時，η 約等于2.08，圖中(70.9 m，5 400 m)處的目標極易辨認。

圖3是圖2中目標位置處的深度切片圖和距離切片圖。從圖3(a)的距離切片可清楚地看出:CMFP 的旁瓣級最高;MV-EPC 的曲線最平滑，旁瓣和背景的差別最小;而MFP-PPC 的主瓣和旁瓣的差別以及主瓣和背景的差別最大，也就是說MFP-PPC 的目標最易于辨識。而且在距離切片中還可看出，CMFP 和MV-EPC 具有一定的距離定位誤差。從圖3(b)的深度切片中可看出，3 種處理器的深度定位一致，且MV-EPC 的曲線最平滑，MFP-PPC 的主瓣和背景差別最大。從深度和距離切片都可看出，由于MFP-PPC 是對MV-EPC 使用了后驗概率約束，因此MFP-PPC 的曲線既具有MV-EPC 的形狀特點，又具有CMFP 的形狀特點。

圖3 目標位置處的切片圖Fig.3 Slices of the localization of the target

為了對匹配場處理器的性能進行量化評估，引入兩個性能評估參數:輸出信干比(SINR)［11］和峰值背景比(PBR)［12］。輸出信干比量化了主瓣和旁瓣的差別，此值越大則主旁瓣越容易區分;峰值背景比量化了主瓣和背景的差別，此值越大則主瓣越容易辨別。

表1定量對比了3 種不同信噪比情況下3 種匹配場處理器的定位結果。對于MFP-PPC，η 取值根據信噪比改變。

從表1的結果可看出，3 種處理器對目標深度的定位基本相同，都為70.9 m，而在距離方向，CMFP和MV-EPC 約有50 m 左右的定位誤差，MFPPPC 定位完全正確。從表中還可看出，3 種信噪比時，MFP-PPC 的SINR 比MV-EPC 大1.2 ～2.5 dB，比CMFP 大1.5 ～3.4 dB，因此MFP-PPC 的主瓣和旁瓣最易區分;而MFP-PPC 的PBR 比MV-EPC 大2.9 ～3.14 dB，比CMFP 大3.3 ～3.56 dB，因此MFPPPC 的主瓣和背景差別最大。

表1 3 種匹配場處理器定位結果對比Tab.1 Comparison of the results of the three processors

2.3 約束因子的影響分析

只考慮(20)式中與約束因子有關的部分，令:

給等式兩端分別對x 求導得

由物理意義可知，η∈［0.5，+∞)，x∈［0，1］，則在定義域內?f/?x 單調遞增，?f/?x 的變化曲線如圖4所示，隨著η 及x 的增大，f(x)斜率變大，因此約束因子越大，后驗概率對AMFP 的約束效果越明顯，當η 取0 時，MFP-PPC 退化為AMFP.

從MFP 的角度來分析，較大的η 對應較大的信噪比，此時AMFP 對環境失配更敏感，但是由于MFP-PPC 的約束效果隨著η 的變大而增強，后驗概率約束提供的主瓣保護特性也隨之增強，因此從這個角度也可看出MFP-PPC 的穩健性優于AMFP.

3 海試實驗驗證

3.1 實驗參數

圖4 約束因子的影響Fig.4 Efficiency of constraint factors

1993年10月26日和27日，美國SACLANT 研究中心在意大利西海岸的北厄爾巴島附近進行了為期兩天的海試，實驗海域是一個具有平整海底的典型淺海環境，水深在120 ～140 m 之間。實驗的陣型配置和環境參數的不確定性和2.1 節中的描述一樣，除此之外，在實驗中，陣型會隨著海浪、洋流等發生變化，無法保持理想情況下的垂直，即垂線陣各陣元的位置也具有不確定性。在兩天的實驗過程中，均使用HX-90G 聲源，聲源特性保持不變。此聲源發射中心頻率為170 Hz 的偽隨機信號，3 dB 帶寬為12 Hz. 數據采集系統的采樣頻率為1 kHz.

在26日的實驗中，聲源被錨定在距接收陣5 500 m±200 m 遠處，深度約為79 m，環境基線模型如圖1所示。27日使用一艘拖船以3 kn 的航速拖曳著聲源勻速直線航行，聲源的拖曳深度約為65 m，初始距離約為5.9 km，實驗采集了10 min 內線列陣接收到的信號。在兩天的實驗過程中，聲源發射信號的形式稍有不同，26日發射的是連續信號，27日在10 min 的測量時間內，每分鐘只有30 s發射信號［13］。

本節使用這次實驗采集的數據驗證MFP-PPC的性能。根據(2)式用前25 s 數據組成25 個快照，這些快照的平均即為采樣協方差矩陣的最大似然估計。其中快照的長度取2 s，快照間的重疊率為50%，對于1 kHz 的采樣率，每個快照包含2 000 個采樣點。

3.2 實驗結果

圖5是26日固定聲源第1 分鐘的定位結果。矩形所示區域是模糊度圖上幅度最高峰所在位置，也是匹配場處理器的定位結果，橢圓所示區域是真實目標的位置，當橢圓所示區域和矩形所示區域重合時圖中只畫出了矩形區域。若MFP 模糊平面的最大值位于真實位置附近(深度方向±10 m，距離方向±500 m)表明定位成功。

從圖5(a)可明顯看出，CMFP 定位結果錯誤，其定位結果為(104.7 m，7 450 m)，但是在真實位置處仍有峰值存在。圖5(b)是MV-EPC 的處理結果(73.5 m，5 300 m)，定位結果正確，但是圖中旁瓣幅度較高，主瓣和旁瓣僅僅相差約1 dB. 圖5(c)是MFPPPC 的模糊度圖，其中η 取2.08，從圖中可清楚看到目標，而且目標和旁瓣很容易區分，不會產生混淆。

圖5 固定聲源第1 分鐘的模糊平面Fig.5 Ambiguity surfaces of moored source at the first minute

圖6 固定聲源第1 分鐘定位切片圖Fig.6 Slices of the moored source at the first minute

圖6是使用26日第1 分鐘實驗數據進行MFP的定位切片圖，在真實的不確定環境中，CMFP 已經失效，因此切片圖中只對比了MV-EPC 和MFP-PPC的定位結果。從切片圖中可看出，MFP-PPC 具有更窄的主瓣和更低的旁瓣。26日第2 ～第10 分鐘的處理結果和第1 分鐘的處理結果類似，主要差別是CMFP 在第2、5、7、8 分鐘能夠正確定位，這幾分鐘內其確定的目標位置都近似為(76.1 m，5 300 m). 另外兩種處理器在10 min 內都能正確定位，性能差異和第1 分鐘幾乎相同，不再贅述。

表2量化對比了3 種處理器在第2 分鐘的定位性能。在深度方向上，CMFP 的定位結果更接近目標的深度，但和另外兩種處理器的差別僅是一個深度網格的差距;在距離方向上3 種處理器定位結果一樣;但MV-EPC 的SINR 和PBR 比CMFP 高約1 dB，而MFP-PPC 比MV-EPC 高約2.5 dB. 從第2分鐘對固定聲源定位的數值結果可以看出，MFP-PPC具有最優的定位性能，MV-EPC 次之，CMFP 最差。

表2 固定聲源第2 分鐘定位結果Tab.2 Results of the moored source at the second minute

圖7是27日運動聲源在10 min 內的跟蹤定位曲線圖，η 同樣取2.08. 在10 min 的定位過程中，CMFP 只在第2、3、5、6、7、8 分鐘能正確定位目標，其他時間CMFP 失效，圖中未顯示失效的定位結果;MV-EPC 和MFP-PPC 處理器在10 min 內都能夠正確定位，而且從圖上看，MFP-PPC 的運動曲線更接近勻速直線運動，在10 min 內其斜率約為1.6 m/s，和運動聲源在距離方向的移動速度及軌跡吻合得最好。

但圖7(a)的距離定位結果比真實的目標距離近500 m 左右，可能原因是聲源處的水深比127 m深約13 m，在文獻［14］中進行了較詳細的論述，本文的距離定位結果和文獻［14］的處理結果一致。圖7(b)第1 分鐘3 種處理器的定位結果為71 m 左右，誤差約6 m 左右;在第6 分鐘MV-EPC 的誤差約3 m，另兩種處理器誤差約1 m;其他時刻正確定位后誤差大約都在2 m 之內。由于運動聲源是拖曳在航船后面，對于第1、2 分鐘，在運動初期會存在纜繩拉力太小及不穩定等物理現象，因此會導致聲源深度偏深，在這段時間3 種處理器的深度定位一致，可認為聲源在這段時間的深度就是71 m 左右。對于第6、9 分鐘，航船運行比較平穩，3 種處理器定位深度的不同主要是由于海水波浪的起伏、環境參數的不確定性及陣元位置的誤差等因素引起的，此時定位性能極大程度依賴于算法的穩健性，從圖7(b)中可清楚看到這兩分鐘MFP-PPC 比MV-EPC 定位更精確，在第9 分鐘CMFP 失效。

圖7 運動聲源10 min 定位曲線Fig.7 Tracking of the moving source at the whole ten minutes

圖8 運動聲源定位性能Fig.8 Localization performance for the moving source

圖8(a)是10 min 內運動聲源的SINR 曲線，其中能夠正確定位時MV-EPC 比CMFP 高約1.5 dB;MFP-PPC 比MV-EPC 高約3 dB. 圖8(b)是運動聲源的PBR 曲線，其中MV-EPC 比CMFP 高約1.7 dB;MFP-PPC 比MV-EPC 高約3 dB. 因此MFP-PPC 不僅最易于區分主瓣和旁瓣而且主瓣和背景的差別最明顯。從圖中可清楚看出MFP-PPC 具有更好的定位性能。

4 結論

淺海環境中由于先驗環境信息的不確定，陣元位置隨著風浪、潮汐的起伏，目標自身的運動等因素，使得構建的環境模型與真實環境極易出現失配，最終導致MFP 的性能嚴重下降。針對這種情況本文提出了一種后驗概率約束的MFP 方法。從算法的表達式可看出，位置參數的后驗概率估計是常規CMFP 功率輸出的單調增函數，因此算法的實質是用CMFP 為AMFP 提供了主瓣保護。同時后驗概率約束具有更廣泛的適用性，用CMFP 對環境擾動的匹配場處理器進行約束只是本文算法的一種特例。

針對典型不確定淺海環境，1)仿真數據分析表明:MFP-PPC 利用后驗概率約束為MV-EPC 提供了2 dB 左右的主瓣保護特性，不僅對聲速剖面、海水深度、基底及沉積層等地聲參數失配具有更好的寬容性，而且其定位精度也比MV-EPC 更準確。2)固定聲源的海試數據分析得出了和仿真數據相似的結果。3)運動聲源的海試數據分析表明:MFP-PPC 能夠很好地抑制由風浪、陣元位置、聲源運動等物理因素引起的定位誤差，特別是在10 min 的跟蹤定位過程中，其距離定位曲線與聲源運動軌跡吻合較好。

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