變權重蛙跳算法在PMU 優化配置中的應用

牛勝鎖，張思為，梁志瑞

（華北電力大學新能源電力系統國家重點實驗室，保定071003）

相量測量單元PMU（phasor measurement unit）是基于全球定位系統GPS 的一種相量測量裝置，PMU 能夠實現廣域電網運行狀態的實時同步測量，為實現電力系統全局穩定性控制創造了條件，克服了現有以監控與數據采集系統、能量管理系統為代表的調度檢測系統不能檢測和辨識電力系統動態行為的缺點[1]。

在保證系統完全可觀測情況下，如何在電網中合理配置較少數目的PMU 是目前一個較為熱點的研究課題。針對此類問題通常考慮兩個方面：PMU 最優數目的確定和PMU 安裝位置的確定。文獻[2]提出了一種概率偏移粒子群算法，該方法對小規模網絡求解效率高，但不善于求解復雜網絡。文獻[3]提出一種遺傳算法和模擬退火法組合算法，有較強爬山性能，但收斂方向不準確，影響迭代效果；文獻[4]提出一種改進禁忌搜索法，避免了重復搜索，但缺乏搜索方向指引，較難得到最優結果。

本文提出一種變權重蛙跳算法[5]VWFLA（weighted and shuffled frog leaping algorithm）解決PMU 優化配置問題。該方法以PMU 配置數目最小為目標函數，以電力系統可觀測為約束條件，設計了算法的適應度函數，結合混合蛙跳算法的蛙體跳躍進化方式，并改進權重系數的更新策略，進一步提高了收斂效果和最優解集多樣性。最后通過對各方案進行冗余度分析得出最優方案。

1 PMU 優化配置問題的數學模型

1.1 PMU 測量規則

電力系統的節點電壓和支路電流可以通過直接測量或虛擬測量的方式獲得。其中虛擬測量是利用與其相關的測量經計算而得出待測量的方法。在電網中，結合歐姆定律和基爾霍夫電壓電流定律，得出以下4 條測量規則[6]：

（1）配置PMU 的節點，其節點電壓和與該節點相關的支路電流可直接量測，與該節點相鄰節點的電壓相量可計算得到；

（2）已知支路兩端節點電壓相量，則該支路電流可計算得到；

（3）未配置PMU 的零注入節點若其電壓已知，且其相關支路只有一條不可觀測，則該支路電流可計算得到；

（4）若零注入節點所有相連的節點電壓都已知，則該節點電壓可計算得出。

1.2 電力系統可觀的定義

如果PMU 量測能提供足夠的測量信息，從而通過狀態估計可計算出系統全部狀態量，就稱系統是可觀的。系統可觀性可從代數可觀與拓撲可觀兩種角度考察[6-8]。代數可觀計算需要滿秩的電網信息矩陣，計算量大、速度慢。本文結合系統拓撲信息和注入信息求解可觀測性問題，計算量和計算速度均優于代數可觀。而拓撲可觀是將電力系統看作一個由n 個頂點、b 條邊構成的圖，即

式中：V 為圖的頂點集合；E 為圖的邊集合。分別對應于系統的母線和支路集合。基于測量規則的測量網絡構成一個測量子圖，即

式中：V′?V；E′?E。如果測量子圖G′與圖G 的關系滿足V?V′，即子圖G′包含圖G 的所有頂點，則系統拓撲可觀。

1.3 問題的數學模型

由以上PMU 測量規則和電力系統可觀測判斷方法，PMU 優化配置問題的數學模型可表述為

式中：X 為n 個節點的PMU 配置矩陣，X=[x1，x2，…，xn]T，若第i 個節點配置PMU，則xi=1；否則xi=0；A 為支路-節點關聯矩陣。目標函數為配置PMU的數目最小，約束條件為系統完全可觀測（判據為：向量XA 中值最小的元素大于零，即每個元素均大于零）。

2 混合蛙跳算法的基本原理

混合蛙跳算法HFLA 是由Eusuff 等于2003年提出的一種新的元啟發式的搜索算法，通過模擬青蛙群體在覓食過程中所體現出的協同行為來完成對問題的求解。這種算法按照族群分類進行信息傳遞，并將全局信息的交換與局部進化搜索相結合[9-11]。

HFLA 算法首先隨機生成p 只青蛙組成初始群體，每只青蛙表示問題的解為

式中：j 為第j 只青蛙；q 為解空間的維數。在生成初始群體之后，將種群內青蛙個體按其適應度降序排列。然后將整個青蛙群體分成m 個子群，每個子群包含n 只青蛙。其中，第1 只青蛙分入第1 子群，第2 只青蛙分入第2 子群，第m 只青蛙分入第m 子群，第m+1 只青蛙分入第1 子群，第m+2只青蛙分入第2 子群，依次類推，直到全部青蛙劃分完畢。

子群中青蛙個體進化時，首先借助子群最好個體Xpb與最差個體Xpw產生新個體Xpw，new（視為青蛙的一次跳躍）。更新策略為

式中：D 為各分量的移動距離矩陣；M（rand（0，1））為0 和1 之間的隨機數矩陣；Dmax為青蛙所允許改變位置的最大值。

如果Xpw，new的適應度優于其父代個體Xpw，則替換之；否則借助種群最優個體Xgb與該子群的Xpw重新產生新個體Xpw，new（視為青蛙的第2 次跳躍）。如果優于父代個體則替換之；否則隨機產生一個新個體Xpw，new（視為青蛙的第3 次跳躍）替換父代個體。重復3 次跳躍式的更新操作直到設定的迭代次數。當所有子群局部深度搜索完成后，將所有子群的青蛙重新混合并排序和劃分子群，然后再次進行局部深度搜索，重復此操作直到滿足終止條件[11-12]。

3 變權重蛙跳算法求解PMU 優化配置問題

3.1 蛙體的結構編碼

在蛙跳算法中，相關參數大部分屬于連續實數域，因此蛙跳算法主要適用于連續空間域的優化問題，難于直接處理離散的組合優化問題[13]。PMU 優化配置問題屬于離散組合優化問題，所以在分析傳統蛙跳算法優化機理的基礎上，本文采用了整數編碼方式。第j 只青蛙的位置可表示為

式中的各維變量分別表示PMU 在n 個節點電力系統中的配置情況，xjk=0 表示不在k 節點配置PMU，xjk=1 表示在k 節點配置PMU。

3.2 蛙體的變權重更新策略

在電力系統線性量測模型的基礎上，根據蛙體跳躍進化的特點，構建系統狀態可觀性評估的適應度函數為

式中：E 為n×n 網絡拓撲矩陣；E′為Xi對應的m×n可觀測網絡矩陣；c 為懲罰因子，若系統完全可觀測，則c=1；否則c 取一個較小數值。對不能達到完全可觀測的蛙體Xi降低其適應度。

通過種群內青蛙個體的適應度進行降序排列，并分成若干子群，子群中青蛙個體進化的第1次跳躍變化為

式中：vij（t）為蛙體i 在第t 次迭代時移動速度矩陣的第j 維分量；w 為權重系數；r 為介于[0，1]之間的隨機數。新個體為

對Xpw，new、Xpw、Xgb的適應度進行比較分析，依次進行青蛙的第2 次跳躍和第3 次跳躍，直到設定的迭代次數。

當所有蛙體完成3 次跳躍搜索后對蛙體跳躍方向進行更新。根據種群整體進化后的基因編碼賦予相應的權重，對多次出現需要配置PMU 的節點賦予高權重，有利于其在跳躍的進化中繼續保留，對較少出現需要配置PMU 的節點賦予低權重，提高其跳躍進化中發生變異的概率。權重系數的變化公式為

式中，k1和k2為權重系數的取值限制，可以將w（xij）鉗位在[k1，k2]之間。經仿真結果分析，k1取（0.2～0.4），k2取（0.6～0.8），收斂效果較好。

3.3 冗余度分析

系統中獨立測量量的數目和狀態量數目之比稱為冗余度。PMU 數目相等的前提下，可以通過比較不同配置方案的冗余度來確定最優方案。從而提高實時信息的可靠性與完整性[14]。

對一個n 節點系統，其狀態量為n 維電壓向量，其獨立測量量為配置了PMU 的節點電壓向量以及與之關聯的電流向量。冗余度可表示為

式中：P 為配置了PMU 的節點集合；di為與配置了PMU 的節點i 相關聯的支路數。

3.4 算法實現流程

變權重蛙跳算法流程如圖1 所示。

4 算例分析

在Matlab 軟件環境下開發了基于變權重蛙跳算法的PMU 優化配置程序，并針對新英格蘭39母線系統和IEEE 57 母線系統進行了仿真分析。取蛙體個數為100 個，迭代次數為100 次。

圖1 變權重蛙跳算法流程Fig.1 Flow chart of VWFLA algorithm

4.1 算例1

New England 39 母線系統結構簡化圖見圖2。

圖2 New England 39 母線系統簡化圖Fig.2 Simplified diagram of New England 39-bus system

對圖2 網絡的PMU 優化配置問題分別用性能較好的遺傳算法[15-17]、粒子群算法[2，18]和本文算法進行求解，幾種算法的求解結果比較如表1 所示。

表1 幾種算法比較（算例1）Tab.1 Comparison of several algorithms（case 1）

由表1 可知，在相同迭代次數下，綜合考慮最優方案需配置的PMU 數目和所得最優方案個數，變權重蛙跳算法更優于其他算法。概率偏移粒子群法、蛙跳算法和變權重蛙跳算法的是其中計算效果較優的3 種算法。圖3 為這3 種算法在New England 39 母線系統完全可觀條件下的收斂效果分析。由圖3 可以看出，變權重蛙跳算法較性能優良的概率偏移粒子群法有著更好的收斂速度，這對求解多節點復雜網絡的PMU 優化配置問題更加有利。

由表1 和圖3 可以看出，變權重蛙跳算法相比其它算法在搜索方向性、收斂速度、可行解數目等方面都表現得更為出色。通過該算法求得的各方案如表2 所示，優選冗余度較大的1、3 號方案。

圖3 New England 39 母線系統變權重蛙跳算法、混合蛙跳算法和概率偏移粒子群法的收斂效果對比Fig.3 Comparison of VWFLA，HFLA and PBPSO for New England 39-bus system

表2 變權重蛙跳法求解New England 39 母線系統配置方案Tab.2 Optimal placement scheme of PMU for New England 39-bus system by VWFLA

方案1 的配置方式見圖2，通過優化配置，選擇關聯支路數較多的母線配置PMU，有效提高了觀測冗余度和量測精度，需要8 個PMU 即可達到系統完全可觀測。

4.2 算例2

IEEE 57 母線系統結構簡化圖見圖4，算法比較結果見表3，收斂效果比較如圖5 所示。

由表3 可知，利用概率偏移粒子群法和原蛙跳算法均未能得出最少配置11 臺PMU 的最優方案。而本文所提變權重蛙跳算法可在求得最優解的同時還可提供多種配置方案。由圖5 可以看出，本文算法在收斂性方面也更優于另外2 種算法。

利用變權重蛙跳算法求得的3 種最優配置方案如表4 所示，結果中可優選冗余度較大的2 號方案。方案2 的配置方式如圖4 所示，需要配置11個PMU 即可達到系統完全可觀測。相比其它方案，方案2 在關聯支路數較多的6 號和19 號母線配置PMU，明顯提高了系統觀測冗余度。

圖4 IEEE 57 母線系統簡化圖Fig.4 Simplified diagram of IEEE 57-bus system

表3 幾種算法比較（算例2）Tab.3 Comparison of several algorithms（case 2）

圖5 IEEE 57 母線系統變權重蛙跳算法、混合蛙跳算法和概率偏移粒子群法的收斂效果對比Fig.5 Comparison of VWFLA，HFLA and PBPSO for IEEE 57-bus system

表4 變權重蛙跳法求解IEEE 57 母線系統配置方案Tab.4 Optimal placement scheme of PMU for IEEE 57-bus system by VWFLA

由以上2 個仿真算例可知，變權重蛙跳算法與其他常用優化算法相比，更善于解決復雜網絡的PMU 配置問題。算法在保證求得最優解的同時具有更好的收斂速度，并可以給決策者提供更多可行的PMU 配置方案。復雜算例也驗證了這一結果。

5 結語

針對電力系統PMU 優化配置問題，本文提出應用一種變權重蛙跳算法來求解。通過算例仿真驗證，本文算法具有更高計算收斂速度和全局性，并具有最優方案多樣化的特點。通過不同算例比較分析，本文算法在分析多節點復雜網絡的PMU優化配置問題時更能體現其優勢。

[1]Phadke A G.Synchronized phasor measurements in power systems[J].IEEE Computer Applications in Power，1993，6（2）：10-15.

[2]劉斌，黃純，李波，等（Liu Bin，Huang Chun，Li Bo，et al）.改進二進制粒子群算法在PMU 優化配置中的應用（Application of improved binary particle swarm optimization algorithm in PMU placement）[J].電力系統及其自動化學報（Proceedings of the CSU-EPSA），2010，22（2）：5-10.

[3]田偉，王洪希，孫鐵軍（Tian Wei，Wang Hongxi，Sun Tiejun）.基于改進遺傳模擬退火算法的PMU 優化配置（PMU optimization configuration based on improved genetic simulated annealing algorithm）[J]. 華東電力（East China Electric Power），2007，35（11）：78-81.

[4]彭疆南，孫元章，王海風（Peng Jiangnan，Sun Yuanzhang，Wang Haifeng）. 考慮系統完全可觀測性的PMU 最優配置方法（An optimal PMU placement algorithm for full network observability）[J]. 電力系統自動化（Automation of Electric Power Systems），2003，27（4）：10-16.

[5]王茜，張粒子，舒雋，等（Wang Qian，Zhang Lizi，Shu Jun，et al）.基于閾值選擇策略的改進混合蛙跳算法在電網規劃中的應用（Application of improved shuffled frog leaping algorithm based on threshold selection strategy in transmission network planning）[J].電力系統保護與控制（Power System Protection and Control），2011，39（3）：34-39.

[6]彭春華（Peng Chunhua）.基于免疫BPSO 算法與拓撲可觀性的PMU 最優配置（Optimal PMU placement based on immune BPSO algorithm and topology observability）[J].電工技術學報（Transactions of China Electrotechnical Society），2008，23（6）：119-124.

[7]周躍偉，蔣建東（Zhou Yuewei，Jiang Jiandong）. 電力系統中基于MMT 算法的PMU 配置應用研究（PMU disposition research in power system based on MMT algorithm）[J].電力系統保護與控制（Power System Protection and Control），2010，38（4）：74-77.

[8]房大中，王建明，鍾德成（Fang Dazhong，Wang Jianming，Chung Takshing）.PMU 最優配置問題的混合優化算法（Hybrid optimization algorithm for optimal phasor measurement unit placement）[J].電力系統及其自動化學報（Proceedings of the CSU-EPSA），2008，20（1）：95-100.

[9]代永強，王聯國（Dai Yongqiang，Wang Lianguo）.帶記憶功能的混合蛙跳算法（Shuffled frog leaping algorithm with memory function）[J].計算機工程與設計（Computer Engineering and Design），2011，32 （9）：3170 -3173，3202.

[10]Thai-Hoang Huynh.A modified shuffled frog leaping algorithm for optimal tuning of multivariable PID controllers[C]//IEEE International Conference on Industrial Technology.Chengdu，China：2008.

[11]Liu Junwan，Li Zhoujun，Hu Xiaohua，et al.Multiobjective optizition shuffled frog-leaping biclustering[C]//IEEE International Conference on Bioinformatics and Biomedicine Workshops.Atlanta，USA：2011.

[12]駱劍平，李霞，陳泯融（Luo Jianping，Li Xia，Chen Minrong）.混合蛙跳算法的Markov 模型及其收斂性分析（The Markov model of shuffled frog leaping algorithm and its convergence analysis）[J].電子學報（Acta Electronica Sinica），2010，38（12）：2875-2880.

[13]許金元（Xu Jinyuan）.混合型蛙跳算法及其應用研究（Novel frog-leaping algorithm and its application）[J]. 計算機應用研究（Application Research of Computers），2011，28（8）：2835-2837.

[14]Makram E，Zheng Zhao，Girgis A. An improved model in optimal PMU placement considering sensitivity analysis[C]//IEEE/PES Power Systems Conference and Exposition，Phoenix，USA：2011.

[15]王艷松，韓美玉，譚志勇（Wang Yansong，Han Meiyu，Tan Zhiyong）.基于遺傳算法的PMU 配置對諧波狀態估計質量影響的研究（Study on the effect of PMU allocation on the quality of harmonic state estimation）[J]. 電力系統保護與控制（Power System Protection and Control），2010，38（21）：233-236，240.

[16]程濤，黃彥全，申鐵（Cheng Tao，Huang Yanquan，Shen Tie）.遺傳算法在PMU 優化配置中的應用（Application of genetic algorithm in optimizing the configuration of PMU）[J].電力系統及其自動化學報（Proceedings of the CSU-EPSA），2009，21（1）：48-51.

[17]張明光，趙金亮，王維洲，等（Zhang Mingguang，Zhao Jinliang，Wang Weizhou，et al）.基于自適應遺傳算法和蟻群算法融合的配電網重構（Distribution network reconfiguration based on the combination of adaptive genetic algorithm and ant colony algorithm）[J]. 電 氣 自 動 化（Electrical Automation），2011，33（6）：57-60.

[18]吳秀華，樸在林，徐靜，等（Wu Xiuhua，Piao Zailin，Xu Jing，et al）.基于改進粒子群優化算法的電力系統無功電壓綜合控制（Reactive power and voltage control based on improved particle swarm optimization in power system）[J].繼電器（Relay），2007，35（21）：28-33，38.